高中数学苏教版必修11.3 交集、并集教学设计及反思

子集、交集、并集、补集的综合练习教案

　　教学目的

　　(1)深化对子、交、并、补集等一系列概念的理解；

　　(2)灵活应用元素与集合关系的两个基本特征——确定性和互异性，解决集合的确定、集合之间关系的确定等问题，提高学生的判断能力和论证能力；

　　(3)利用韦恩图及坐标系的直观性，认识并解决有关集合的问题，提高数形结合的能力．

　　教学过程

一、确定集合，确定集合的相互关系

　　[例1](板书)判定下列集合之间的包含关系或相等关系．

　　(1)M={2m－1，m∈Z}，N={4n±1，n∈Z}；

　　(2)M={2m，m∈Z}，N={4n±2，n∈Z}；

　　师：请大家逐个回答例1中的各题，并说明理由．

　　生：(1)M=N．这是因为M、N都是奇数集．

　　师：M={奇数}，这是众所周知的，但是由4n是偶数，4n±1必是奇数这一事

　　应当说明任何一个奇数必定都可以写成4n＋1或4n－1的形式，能做到这一点吗？

　　[使学生深知，正确的判断必须有充分的理由，并借此深化对集合相等的概念的认识，培养学生思维的严密性．]

　　生：奇数都可以写成2m－1(m∈Z)的形式，当m是偶数时，设m=2n，则2m－1=4n－1；当m是奇数时，设m=2n＋1，则2m－1=4n＋1，由此可知，不论

　　师：很好．如果强调一下整数m只有奇数和偶数这两种可能性，论述就更完整了．下面请回答第(2)题．

　　这一结论．然后要求学生说明理由．)

　　(这一回答将所有属于M而不属于N的元素完全列举出来了，是有说服力的，但不是最好的方法．)

　　于N的所有元素无一遗漏地全部列出，而只需举出一个反例即可，例如0∈M，但

　　[为确认一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了，这是一种重要的论证方法．会举反倒是重要的推理能力，教学中应注意对学生的培养．]

　　师：请回答第(3)题．

　　师：这一结论能说明什么呢？

　　生：E是一个无理方程的解集，F是将此无理方程两端平方后所得的方程的解

　　师：对！方程两端同时平方不一定是解方程的同解变形，可能产生增根，因此要验根．下面再请回答第(4)题．

　　师：这一结论又能说明什么呢？

　　生：P是一个分式不等式的解集，Q是将此不等式去分母后所得的整式不等式

　　师：对！对于分式不等式采用去分母的方法也不一定是同解变形．应当避免这种将解分式方程的方法盲目套用到解分式不等式中去．

　　[学生套用解方程的方法解不等式是一种常见的负迁移，稍不小心就会出错，要常提醒．]

　　求a．

　　(此题用作深化对元素与集合关系的两个基本特征——确定性与互异性在解题中作用的认识，增强对字母进行讨论的能力．由于题意明确，思路清楚，可由学生自己解决．)

　　解∵A∩B={9}，∴9∈A．

　　若2a－1=9，则a=5，此时A={－4，9，25}，B={9，0，－4}，这样A∩B={9，－4}，与已知矛盾，应舍去．

　　当a=3时，A={－4，5，9}，B={－2，－2，9}，B中两个元素都是－2，与互异性相矛盾，应舍去；

　　当a=－3时，A={－4，－7，9}，B={9，－8，4}，符合题意．

　　答：a=－3．

　　师：此题说明：当集合的元素用字母或含有字母的式子表示时，对所求得的结果一定要检验，凡与已知条件或元素与集合关系的两个基本特征——确定性、互异性相矛盾的结果都应舍去．

　　[在教学中，应当培养学生对字母进行讨论的习惯．]

　　{4，6，8}，求A、B．

　　师：此题的条件与结论，正好和求两个已知集合的交集与并集相反．

　　[这就是逆向思维．进行这样的思维训练，有助于提高学生思维的灵活性．]

　　不难得知，I中共有1，2，3，4，5，6，7，8，9九个元素，其中2，1，9，4，6，8六个元素的归属已经确定，因此只需确定余下的三个元素3，5，7的归属，就可得出结论．凭你们的直觉，结论应当怎样？

　　师：怎样说明呢？结论直接说明不容易，能不能运用反证法呢？

　　师：最后的结论是什么？

　　生：A={2，3，5，7}，B={2，4，6，8}．

　　[先凭直觉作出猜测，然后推证猜测成立，这是一种常见的思维模式．]

　　师：元素与集合关系的另一个基本特征——互异性在解此例题的过程中用到了吗？

　　生：……．(不容易回答．)

　　师：我们在分析此例的过程中，先根据已知条件确定了1，2，4，6，8，9的归属，然后集中讨论3，5，7的归属，最后确定A与B．这一推理正是依据了“互异性”才得出的．

二、韦恩图及数轴的应用

　　[例4](板书)某班学生共50人，喜欢打羽毛球的有30人，喜欢打乒乓球的有25人，两样都喜欢的有15人，求两样都不喜欢的人数．

　　师：我们尚未学过计算各个集合元素个数的方法，但是借助于韦恩图可显示出各相关集合的元素个数的相互关系．

　　解 设I={某班学生}，

　　A={喜欢打羽毛球的人}，

　　B={喜欢打乒乓球的人}，

　　则 A∩B={两样都喜欢的人}，

　　A∪B={两样中至少喜欢一样的人}，

　　(上述过程可在教师的启发下由学生自己来完成．)

　　数；能否借助于韦恩图(图1)，找出它们之间的相互关系？

　　生：n(A∪B)=n(A)＋n(B)－n(A∩B)，

　　师：对！请由此算出结果．

　　生：30＋25－15=40是至少喜欢一样的人数，50－40=10是两样都不喜欢的人数．

　　师：借助于韦恩图得出的结论是有一般性的(证明略)，但要注意不能写成A=30，B=25，A∩B=15，这种写法是与集合的符号相悖的．

　　师：此题中涉及的集合较多，关系也较复杂，所以要认清题意，设计出解题程序．

　　等式的解集，通过对字母系数的讨论来确定集合C，并解决C与其他集合的关系．

　　[这一解题原则具有普遍意义．]

　　生：A={x|－2＜x＜3}，B={x|x＜－4或x＞2}，

　　时，结果有何不同？

　　生：当a＞0时，C={x|a＜x＜3a}；

　　当a＜0时，C={x|3a＜x＜a}；

　　么方法能比较直观地显示这两个集合之间的关系呢？

　　生：可借助于数轴．

　　(由于学生已有将不等式的解集表示在数轴上的训练，完全有可能做出这样的判断．)

　　师：我们一起来看图2．

　　(1)当a＞0时，

　　当a＜0时，C是负半轴上的一个区间，而A∩B是正半轴上的一个区间，因

　　当a＜0时，

意和寻求解题途径的关键．

　　讨论数轴上区间的覆盖时，要处理好端点的取舍．

　　用一个开区间或闭区间覆盖一个开区间时，是允许有一个或两个端点重合的．这

　　用一个闭区间覆盖一个闭区间时，也允许端点重合．

　　而用一个开区间覆盖一个闭区间时，则不允许开区间的任何一个端点与闭区间的

三、小结

　　今天我们通过五个例题，对子集、交集、并集、补集的概念进行了综合练习．有两个重要的结论：

　　集合的确定以及集合之间关系的确定，应通过元素与集合关系的两个基本特征来加以解决．

　　韦恩图及坐标轴体现了数、形结合，应自觉加以应用．

四、作业

　　1．判定下列集合之间的关系：

　　(1)M={(x，y)|x＋y＞0且xy＞0}，N={(x，y)|x＞0且y＞0}；

　　求a的值．

　　5}，A∩B={1}，求p、q、r的值．

　　4．设A={x|(x＋2)(x＋1)(x－1)＞0}，B={x|x2＋ax＋b≤0}，已知A∪B={x|x＞－2}，A∩B={x|1＜x≤3}，求a、b的值．

　　5．某班共50人，报名参加数学课外小组的有30人，报名参加物理小组的有35人，报名参加化学小组的有25人，同时报名参加数学、物理两个小组的有22人，报名参加数学、化学两个小组的有20人，报名参加物理、化学两个小组的有18人，同时报名参加三个小组的有15人，求没有报名参加其中任何一个小组的人数．

　　自我评述

　　现行高中数学教材中，只是介绍了集合的一些基本概念，没有系统研究集合的运算．因此，有关子集、交集、并集、补集等问题，只能依据它们的定义，归结为元素与集合的关系，或是借助于韦恩图、坐标系作直观性说明，即便在这一范围内，也是大有文章可做的．

　　培养学生的逻辑思维能力，是数学教学的重要任务．依据定义进行推理，是培养逻辑思维能力的重要一环．在这方面，初中阶段不大可能进行很多的训练．进入高中以后，这种训练是应逐步加强的．在高中代数教材的第一部分内容——集合的教学中，有必要也有可能将培养这种能力作为一项重要的教学内容．

　　本节课中对例1～例3的分析与讨论，反复应用了集合的子、交、并、补的定义及元素与集合关系的两个基本特征——确定性与互异性．各例题中所需判断的结论，既有需要经过证明加以肯定的，又有需要经过构造反例加以否定的．

　　例1～例3的解题过程中，首先要求学生作出判断，这是考察和培养学生的直觉思维能力的过程．直觉思维得出的结论不一定都正确，应当用分析的方法完成其推理与证明．但是，直觉思维往往具有发散性、创造性的品质，有意识地创造一定条件让学生运用直觉思维的形式进行思考并作出判断应当在教学中予以加强．

　　思维有方，表达无术，这是当前中学生一个突出的缺陷．教师的示范和对学生进行适当的训练是纠正这一缺陷的重要措施．例3的解题过程中，既注意利用学生思维有方的优点，又注意通过教师的示范及学生必要的模仿克服其表达无术的不足．初中阶段的数学教学虽然也安排了用图像法解方程组及用代数方法解平面几何的问题等内容和习题，但学生尚未形成数形结合的思维习惯．在高中数学教学中，数形结合应当成为一条重要的教学原则．现行高中数学教材中，数形结合的知识体系主要集中于平面解析几何和立体几何中，处理边角关系的问题也有较多的应用，但是代数教材中体现数形结合思想和方法的内容比较少，学生不容易留下较深的印象，更不容易形成良好的思维习惯和方法．因此，在代数教学中需要有意识地适当补充这一方面的教学内容，加强这一方面的训练．

　　在集合的子、交、并、补等概念的教材中，已引入了韦恩图，但仅仅是作为表示集合的一种方法，没有发挥其作为解决有关集合问题方法的作用．本节课中例4对高一学生来说，要求是高了一些，一方面由于我校学生基础较好，另一方面采用数形结合的方法，发挥韦恩图的作用，大多数学生还是能接受的．事实上，例4中通过韦恩图显示出的关系式

　　是具有一般性的．