高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆导学案

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.1 椭圆导学案，共8页。

(2)掌握椭圆的标准方程．
新知初探·课前预习——突出基础性
教 材 要 点
要点一 椭圆的定义
平面上到两个定点F1，F2的________________________为常数(大于|F1F2|)❶的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两个焦点间的距离叫作椭圆的________．
用集合语言描述椭圆的定义：P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a，2a＞|F1F2|}．
要点二 椭圆的标准方程
批注❶ (1)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数>|F1F2|时，动点M的轨迹为椭圆；
(2)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数＝|F1F2|时，动点M的轨迹为以F1，F2为两端点的线段；
(3)当动点M满足|MF1|＋|MF2|＝常数<|F1F2|时，动点M的轨迹不存在．
批注❷ 椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．因此由椭圆的标准方程判断椭圆的焦点位置时，要根据方程中分母的大小来判断，简记为“焦点位置看大小，焦点随着大的跑”．
基 础 自 测
1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)椭圆的两种标准方程中，虽然焦点位置不同，但都有a2＝b2＋c2.( )
(2)平面内到两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的集合是椭圆．( )
(3)方程＝1(a>0，b>0)表示的曲线是椭圆．( )
(4)设F1(－4，0)，F2(4，0)为定点，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是椭圆．( )
2．设P是椭圆＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于( )
A．4 B．5 C．8 D．10
3．椭圆＋y2＝1的焦点坐标是( )
A．(0，±) B．(±，0)
C．(0，±) D．(±，0)
4．方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则( )
A．m＞n＞0 B．n＞m＞0
C．mn＞0 D．mn＜0
5．已知椭圆的焦距是6，且椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，则椭圆的标准方程是____________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
题型1 椭圆的定义的应用
例1 已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6
C．4 D．12
方法归纳
应用椭圆定义的两个技巧
巩固训练1 已知F1，F2是椭圆C：＝1的两个焦点，点P在椭圆上＝0，则△PF1F2的面积是( )
A．3 B．6
C．2 D．2
题型2 椭圆方程的判断
例2 (多选)已知曲线C：mx2＋ny2＝1( )
A．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m＞n＞0，则C是椭圆，其焦点在x轴上
C．若m＝n＞0，则C是圆，其半径为
D．若m＝0，n＞0，则C是两条直线
方法归纳
用分类讨论的数学思想，结合直线、圆、椭圆的特征，逐一验证．
巩固训练2 [2022湖南嘉禾一中测试]已知方程＝1表示一个焦点在y轴上的椭圆，则实数m的取值范围为( )
A．(3，4) B．(2，3)
C．(2，3)
题型3 求椭圆的标准方程
例3 求满足下列条件的椭圆的标准方程．
(1)两焦点的坐标分别是(－4，0)，(4，0)，且椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10；
(2)经过P1(，1)，P2(－，－)两点；
(3)以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)．
方法归纳
1．利用待定系数法求椭圆的标准方程
(1)先确定焦点位置；(2)设出方程；(3)寻求a，b，c的等量关系；(4)求a，b的值，代入所设方程．
2．当焦点位置不确定时，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)．因为它包括焦点在x轴上(mn)两类情况，所以可以避免分类讨论，从而简化了运算．
巩固训练3 (1)已知焦点在x轴上的椭圆，焦距为8，且2a＝10，则该椭圆的标准方程是( )
A．＝1
B．＝1
C．＝1
D．＝1或＝1
(2)已知椭圆的焦点为F1(－2，0)，F2(2，0)，且经过(，－)，则椭圆的方程为____________．
题型4 椭圆中的焦点三角形问题(数学探究)
例4 已知点P是椭圆＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积．
方法归纳
1．椭圆中的焦点三角形：椭圆上的一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2，称为焦点三角形．解决椭圆的焦点三角形的问题，通常要利用椭圆的定义，结合正弦定理、余弦定理等知识求解．
2．若本题以小题形式出现，则也可用焦点三角形的面积公式速解；记∠F1PF2＝θ，则＝b2tan .
巩固训练4 已知椭圆＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．
易错辨析 忽略椭圆焦点位置的讨论致错
例5 已知椭圆的标准方程为＝1(m>0)，并且焦距为6，则实数m的值为________．
解析：∵2c＝6，∴c＝3.
当椭圆的焦点在x轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝25，b2＝m2.由a2＝b2＋c2，得25＝＝16，又m>0，故m＝4.当椭圆的焦点在y轴上时，由椭圆的标准方程知a2＝m2，b2＝25.由a2＝b2＋c2，得m2＝25＋9＝34，又m>0，故m＝.
综上可知，实数m的值为4或.
答案：4或
【易错警示】
第3章 圆锥曲线与方程
3．1 椭圆
3．1.1 椭圆的标准方程
新知初探·课前预习
[教材要点]
要点一
距离之和 焦距
要点二
F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a2＝b2＋c2
[基础自测]
1．(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．解析：由椭圆方程知a2＝25，则a＝5，|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.故选D.
答案：D
3．解析：由题设方程可知椭圆焦点在x轴上且c＝＝，
∴焦点坐标为(±，0)．
答案：B
4．解析：方程＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m＞n＞0.
答案：A
5．解析：由题意可知椭圆的焦距是6，可得2c＝6，即c＝3，又由椭圆上的点到两个焦点的距离之和等于10，可得2a＝10，即a＝5，
则b2＝a2－c2＝25－9＝16，
当焦点可以在x轴上时，椭圆的方程为＝1；
当椭圆的焦点在y轴上时，椭圆的方程为＝1.
答案：＝1或＝1
题型探究·课堂解透
例1 解析：由椭圆的方程得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4.
答案：C
巩固训练1 解析：因为＝0＝0，
所以，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
则(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|＝|F1F2|2，
由椭圆的定义可得：(2a)2－2|PF1||PF2|＝(2c)2，
所以|PF1|·|PF2|＝2a2－2c2＝2b2＝6，
所以＝|PF1|·|PF2|＝3.
答案：A
例2 解析：对于A，若m＞n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为＝1，因为m＞n＞0，所以＜，即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确，B错误；
对于C，若m＝n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为x2＋y2＝，此时曲线C表示圆心在原点，半径为的圆，故C不正确；
对于D，若m＝0，n＞0，则mx2＋ny2＝1可化为y2＝，y＝±，此时曲线C表示平行于x轴的两条直线，故D正确．
答案：AD
巩固训练2 解析：因为方程＝1表示一个焦点在y轴上的椭圆，
所以有解得2＜m＜3，
所以实数m的取值范围为2＜m＜3.
答案：B
例3 解析：(1)因为椭圆的焦点在x轴上，所以设椭圆的标准方程为＝1(a>b>0)．
又c＝4，2a＝10，则a＝5，b2＝a2－c2＝9.
于是所求椭圆的标准方程为＝1.
(2)方法一 ①当焦点在x轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)．
由已知，得⇒，
即所求椭圆的标准方程是＝1.
②当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＝1(a>b>0)，
由已知，得⇒
与a>b>0矛盾，此种情况不存在．
综上，所求椭圆的标准方程是＝1.
方法二 设椭圆的方程为Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)，
故⇒
即所求椭圆的标准方程是＝1.
(3)由题意，知焦点F1(0，2)，F2(0，－2)，
设所求椭圆方程为＝1(λ>0)，
将x＝2，y＝代入，得＝1，
解得λ＝8或λ＝－2(舍去)．
∴所求椭圆的标准方程为＝1.
巩固训练3 解析：(1)椭圆的焦距为8，且2a＝10，
∴a＝5，c＝4，则b＝＝3，
∴椭圆方程为＝1.
(2)设椭圆的标准方程为＝1(a＞b＞0)，依题意得c＝2，
2a＝|PF1|＋|PF2|＝＝2，
∴a＝，则b2＝a2－c2＝6，故椭圆的标准方程为＝1.
答案：(1)A (2)＝1
例4 解析：由椭圆的标准方程，知a＝，b＝2，
∴c＝＝1，∴|F1F2|＝2.
又由椭圆的定义，知
|PF1|＋|PF2|＝2a＝2.
在△F1PF2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cs ∠F1PF2，
即4＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|－2|PF1|·|PF2|cs 30°，
即4＝20－(2＋)|PF1|·|PF2|，
∴|PF1|·|PF2|＝16(2－)．
＝|PF1|·|PF2|sin ∠F1PF2＝×16(2－)×＝8－4.
巩固训练4 解析：由＝1，可知a＝2，b＝，所以c＝＝1，从而|F1F2|＝2c＝2.
在△PF1F2中，由余弦定理得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cs ∠PF1F2，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1| ①，
由椭圆定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4 ②，
联立①②可得|PF1|＝.
所以＝|PF1||F1F2|sin ∠PF1F2＝×2×＝.
答案：焦点在x轴上
焦点在y轴上❷
标准方程
＝1(a>b>0)
＝1(a>b>0)
图形
焦点坐标
________________
__________________
a，b，c的关系
____________________________
出错原因
纠错心得
易错之处是认为焦点在x轴上，从而漏掉一解．
涉及椭圆的标准方程的问题，如果没有明确地指出椭圆焦点的位置，一般都要分两种可能的情况进行讨论，不能想当然地认为焦点在x轴上或y轴上去求解．