高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线同步达标检测题

这是一份高中数学湘教版（2019）选择性必修 第一册第3章 圆锥曲线与方程3.3 抛物线同步达标检测题，共3页。试卷主要包含了若f＝eq \f，则f′等于等内容，欢迎下载使用。

1．若f(x)＝eq \f(1,x)，则f′(－2)等于( )．
A.eq \f(1,4) B．0
C．－eq \f(1,2) D．－eq \f(1,4)
解析 由求导公式得f′(x)＝－eq \f(1,x2)，故f′(－2)＝－eq \f(1,4).选D.
答案 D
2．已知函数y＝x3上一点P处的切线l的方程为y＝3x－2，那么点P的坐标
为( )．
A．(1,1) B．(－1，－1)
C．(1,1)或(－1，－1) D．(2,8)
解析 令y′＝3x2＝3，得x＝±1.
当x＝1时，y＝1，此时点P(1,1)在直线l上；当x＝－1时，y＝－1，因为点(－1，－1)不在直线l上，舍去，选A.
答案 A
3．不恒为零的函数f(x)满足f′(x)＝f(x)，则f(x)可能是( )．
A．c B．xe
C．ex D．ln x
答案 C
4．曲线y＝x4在点P(2,16)处的切线方程是____________．
解 点P(2,16)在曲线y＝f(x)＝x4上，切线斜率k＝f′(2)＝4×23＝32，故切线方程是y＝32x－48.
答案 32x－y－48＝0
5．曲线y＝eq \f(1,x)和y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是________．
解析 曲线的交点是(1,1)，两条切线斜率分别是－1,2，切线方程分别是y＝－x＋2，y＝2x－1，如图．与x轴的交点是(2,0)，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，0))，两切线的交点是(1,1)，则所围成的三角形的面积是eq \f(3,4)，填eq \f(3,4).
答案 eq \f(3,4)
6．已知曲线y＝eq \f(4,x)在点P(1,4)处的切线与直线l平行且距离等于eq \r(17)，求直线l的方程．
解 点P(1,4)在曲丝y＝f(x)＝eq \f(4,x)上，则f′(x)＝－eq \f(4,x2)，
故切线斜率是f′(1)＝－4，
从而切线方程是是y－4＝－4(x－1)，即4x＋y－8＝0.
设l方程为：4x＋y＋c＝0，由两平行线距离为eq \r(17)得：eq \f(|c＋8|,\r(42＋12))＝eq \r(17)，∴c＝9或－25，∴直线l方程为：4x＋y＋9＝0或4x＋y－25＝0.
eq \a\vs4\al\c1(综合提高 限时25分钟)
7．若f(x)＝lgax，且f′(2)＝eq \f(1,2ln 3)，则a等于( )．
A．2 B．3
C．4 D．6
解析 f′(x)＝eq \f(1,xln a)，f′(2)＝eq \f(1,2ln a )＝eq \f(1,2ln 3)，∴a＝3.
答案 B
8．若f0(x)＝cs x，f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2011(x)等于( )．
A．sin x B．－sin x
C．cs x D．－cs x
解析 f1(x)＝－sin x，f2(x)＝－cs x，f3(x)＝sin x，f4(x)＝cs x，f5(x)＝－sin x，…，f2011(x)＝f4×502＋3(x)＝f3(x)＝sin x.
答案 A
9．已知y＝eq \f(1,2)x＋b是曲线y＝ln x(x>0)的一条切线，则实数b＝____________.
解析 y′＝eq \f(1,x)，由eq \f(1,x)＝eq \f(1,2)得x＝2，故切点为(2，ln 2)，切线方程为y－ln 2＝eq \f(1,2)(x－2)，即y＝eq \f(1,2)x－1＋ln 2，∴b＝ln 2－1.
答案 ln 2－1
10．若函数f(x)＝eq \f(1,3)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，则f′(1)＝________.
解析 ∵f(x)＝eq \f(1,3)x3－f′(－1)·x2＋x＋5，∴f′(x)＝x2－2f′(－1)·x＋1，将x＝－1代入上式得f′(－1)＝1＋2f′(－1)＋1，∴f′(－1)＝－2，再令x＝1，得f′(1)＝6.
答案 6
11．求下列函数的导数：
(1)f(x)＝ln 5；
(2)f(x)＝cs2eq \f(x,2)－sin2eq \f(x,2)；
(3)f(x)＝lg x；
(4)f(x)＝cs xtan x；
(5)f(x)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(tan\f(x,2)－ct\f(x,2))).
解 (1)f′(x)＝0；
(2)f(x)＝cs x，f′(x)＝－sin x；
(3)f′(x)＝eq \f(1,xln 10)；
(4)f(x)＝sin x，f′(x)＝cs x；
(5)f(x)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(sin \f(x,2),cs\f(x,2))－\f(cs\f(x,2),sin\f(x,2))))＝eq \f(sin2\f(x,2)－cs2\f(x,2),2sin\f(x,2)cs\f(x,2))＝eq \f(－cs x,sin x)＝－ct x，∴f′(x)＝eq \f(1,sin2x).
12．求过点(1,1)且和曲线y＝x3相切的直线方程．
解 设切点为(x0，y0)，因为y′＝3x2，所以该切线方程为y－y0＝3xeq \\al(2,0)(x－x0)，即y＝3xeq \\al(2,0)x－2xeq \\al(3,0)，又该直线过点(1,1)，得3xeq \\al(2,0)－2xeq \\al(3,0)＝1，即2xeq \\al(3,0)－3xeq \\al(2,0)＋1＝0.
所以(2x0＋1)(x0－1)2＝0，
解得x0＝－eq \f(1,2)或x0＝1，
即切点为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(1,8)))或(1,1)．
所以切线方程为3x－4y＋1＝0或3x－y－2＝0