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2021-2022学年苏科版八年级数学上册期末模拟测试卷（2）（word版 含答案）
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这是一份2021-2022学年苏科版八年级数学上册期末模拟测试卷（2）（word版 含答案），共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（2）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4 B．8 C．﹣4和4 D．﹣8和8
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
4．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．10°
6．下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程总投资1269亿元，将1269亿用科学记数法表示，结果并精确到百亿约为（ ）
A．13×1010 B．1.2×1011 C．1.3×1011 D．0.12×1012
8．某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x﹣5 B．y＝x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
9．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B． C．10 D．
10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24 B．10 C．12 D．36
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．在实数0.23，π，﹣，，0.3030030003中，无理数的个数是 ．
12．比较大小关系 1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
14．如图，长为8厘米的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C竖直往上拉橡皮筋被拉长了2厘米到D，则此时D点的坐标为 ．
15．已知一次函数y＝kx﹣4的图象与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k的值为 ．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝ °．
17．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C（0，4），点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA＝12，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）（2分）求证：DE＝CE．
（2）（3分）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）（3分）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）（2分）求△ABC的面积．
22．（8分）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ；
（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；
证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABCD＝c2，
S正方形EFGB＝
又∵S正方形EFGB＝ + ，
∴ ＝ + ，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ ．
23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．
（1）（2分）请求出∠BAC的度数；
（2）（3分）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．
24．（7分）如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）（3分）求△AOB的面积．
（2）（4分）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
25．（7分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）（2分）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）（2分）求线段CD对应的函数表达式；
（3）（3分）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
26．（7分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）（2分）如图1，若∠B＝90°，则线段AB＝ ，DC＝ ；
（2）（2分）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（3）（3分）如图2，若将（2）中的条件“∠B＝90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．
27．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，﹣2）．
（1）（2分）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）（2分）点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝2，求点P的坐标；
（3）（2分）点Q在y轴上，若S△AQB＝3，求点Q的坐标．
28．（10分）如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0），并且满足．
（1）（2分）直接写出点A，点C的坐标；
（2）（3分）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使得△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）（5分）如图2，在（2）的条件下，若∠DOC＝∠DCO，点G是第二象限中一点，并且OA平分∠DOG，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，探究∠DOG，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，直接写出结论．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
答案：B．
2．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4 B．8 C．﹣4和4 D．﹣8和8
解：∵（﹣4）3＝﹣64
∴﹣64的立方根为﹣4，
答案：A．
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为（﹣3，5）．
答案：D．
4．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．
答案：D．
5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．10°
解：∵AD是等腰△ABC的底边上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝55°﹣45°＝10°，
答案：D．
6．下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：因为2.42＜6＜2.52，
所以，
所以，
所以8.89，
所以与4+2的值最接近的是9．
答案：C．
7．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程总投资1269亿元，将1269亿用科学记数法表示，结果并精确到百亿约为（ ）
A．13×1010 B．1.2×1011 C．1.3×1011 D．0.12×1012
解：1269亿≈1300亿＝1.3×1011，
答案：C．
8．某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x﹣5 B．y＝x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
解：由一次函数的图象与直线y＝x+6平行，设直线解析式为y＝x+b，
把（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣1+b，即b＝﹣3，
则这个一次函数解析式为y＝x﹣3．
答案：C．
9．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B． C．10 D．
解：如图1所示，
则AB＝＝2；
如图2所示，
AB＝＝10，
故它运动的最短路程为10，
答案：C．
10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24 B．10 C．12 D．36
解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，10），
当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8＝10，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝10，BE⊥AD，
解得AE＝5，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝5，
BE²+AE²＝AB²，
解得BE＝，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝10×＝10，
答案：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．在实数0.23，π，﹣，，0.3030030003中，无理数的个数是 2 ．
解：在所列的实数中，无理数有π，﹣，共2个．
答案：2．
12．比较大小关系 ＞ 1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴＜＜2，
即＞1.5，
答案：＞．
13．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是 25° ．
解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°．
∵是等腰直角三角尺，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠2＝25°．
答案：25°．
14．如图，长为8厘米的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C竖直往上拉橡皮筋被拉长了2厘米到D，则此时D点的坐标为 （4，3） ．
解：∵筋被拉长了2厘米，
∴长度变为10厘米，
过D作DH⊥AB于H，
由题意得，AH＝BH＝AB＝4，AD＝5，
∴DH＝＝＝3，
∴D点的坐标为（4，3），
答案：（4，3）．
15．已知一次函数y＝kx﹣4的图象与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k的值为 ± ．
解：∵令x＝0，则y＝﹣4；令y＝0，则x＝，
∴直线与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（，0），
∴一次函数y＝2x+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的斜边长为：＝，
∴一次函数y＝kx﹣4的图象与两坐标轴围成的三角形周长为4++||＝12，
解得k＝±．
答案：±．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝ 20 °．
解：∵∠C＝50°，∠A＝90°，
∴∠ABC＝40°，
∵DE⊥BC，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠ABC＝20°，
答案：20．
17．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是 36° ．
解：设∠B＝x°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2x°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B＝36°，
答案：36°．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C（0，4），点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA＝12，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为 7 ．
解：过N作NH∥CM，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，4），S△CQA＝12，
∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，
∴AQ＝6，
∴CH＝6，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝3，
又∵CO＝4，
∴OP＝CP+OC＝3+4＝7．
答案：7．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
解：原式＝4﹣1﹣3+3﹣
＝3﹣．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
21．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5＝．
22．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：
（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；
证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABCD＝c2，
S正方形EFGB＝ （a+b）2
又∵S正方形EFGB＝ 4S△ABF + S正方形ABCD ，
∴ （a+b）2 ＝ 4×ab + c2 ，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ a2+b2＝c2 ．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由勾股定理得，a2+b2＝c2，
答案：a2+b2＝c2；
（2）证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABCD＝c2，
S正方形EFGB＝（a+b）2
又∵S正方形EFGB＝4S△ABF+S正方形ABCD，
∴（a+b）2＝4×ab+c2，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
答案：（a+b）2；4S△ABF；S正方形ABCD，（a+b）2，c2，a2+b2＝c2．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．
（1）请求出∠BAC的度数；
（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．
（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°；
（2）证明：在BC上截取BF＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBF，
∵OB＝OB，
∴△BEO≌△BFO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOF，
∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝60°，
∴∠POC＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝60°，
∴∠COF＝∠POC，
又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，
∴△CPO≌△CFO（ASA），
∴CP＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CP．
24．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝﹣；令x＝0，则y＝1，
∴A（﹣，0），B（0，1），
∴OA＝，OB＝1
∴△AOB的面积＝＝；
（2）作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝，
∴C（1，），
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣，0），C（1，）代入得，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+．
25．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
26．在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠B＝90°，则线段AB＝ AD ，DC＝ BC ；
（2）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（3）如图2，若将（2）中的条件“∠B＝90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．
解：（1）如图1，∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠B＝∠D＝90°．
又∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
在△ABC和△ADC中，
．
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
∴AB＝AD，DC＝BC．
故答案是：AD；BC；
（2）解：AC＝AD+AB，理由如下：
如图1，∵对角线AC平分∠BAD，∠DAB＝120°，
∴∠CAD＝∠CAB＝60°．
又∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°．
∴∠ACD＝∠ACB＝30°．
∴AD＝AC，AB＝AC．
∴AC＝AD+AB；
（3）成立，理由如下：
如图2，以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠CAB＝6 0°，
∴△ACE为等边三角形．
∴EC＝AC，∠E＝60°．
又∵∠B+∠D＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠BCD＝60°．
∴∠ACD＝∠ECB＝60°﹣∠BCA．
又∵∠CAD＝∠E＝60°，
∴△ACD≌△ECB （ASA）
∴AD＝BE．
∴AB+AD＝AB+BE＝AE．
又∵△ACE为等边三角形，
∴AE＝AC．
∴AB+AD＝AC．
27．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，﹣2）．
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝2，求点P的坐标；
（3）点Q在y轴上，若S△AQB＝3，求点Q的坐标．
解：（1）设解析式为：y＝kx+b，
将（1，0）和（2，﹣2）代入得：，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y＝﹣2x+2；
把x＝﹣2代入y＝﹣2x+2得，y＝6，
把x＝3代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n＝﹣2m+2，
∵m﹣n＝2，
∴m﹣（﹣2m+2）＝2，
解得m＝，n＝﹣，
∴点P的坐标为（，﹣）；
（3）设点Q的坐标为（0，b），
∵直线y＝﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
∴S，
解得：b＝8或b＝﹣4，
∴点Q的坐标为（0，8）或（0，﹣4）．
28．如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0），并且满足．
（1）直接写出点A，点C的坐标；
（2）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使得△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠DOC＝∠DCO，点G是第二象限中一点，并且OA平分∠DOG，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，探究∠DOG，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，直接写出结论．
解：（1）∵+|b﹣8|＝0，
∴a﹣b+2＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
∴A（0，6），C（8，0），
答案：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
由运动知，OQ＝t，PC＝2t，
∴OP＝8﹣2t，
∵D（4，3），
∴S△ODQ＝OQ×|xD|＝t×4＝2t，
S△ODP＝OP×|yD|＝（8﹣2t）×3＝12﹣3t，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t＝12﹣3t，
∴t＝2.4，
∴存在t＝2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）∴2∠GOA+∠ACE＝∠OHC，
理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC＝∠DOC+∠AOD＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝90°，
又∵∠DOC＝∠DCO，
∴∠OAC＝∠AOD，
∵y轴平分∠GOD，
∴∠GOA＝∠AOD，
∴∠GOA＝∠OAC，
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC＝∠ACE，
同理∠FHO＝∠GOD，
∵OG∥FH，
∴∠DOG＝∠FHO，
∴∠DOG+∠ACE＝∠FHO+∠FHC，
即∠DOG+∠ACE＝∠OHC
2021-2022学年上学期八年级数学期末模拟测试卷（2）
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4 B．8 C．﹣4和4 D．﹣8和8
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
4．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．10°
6．下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程总投资1269亿元，将1269亿用科学记数法表示，结果并精确到百亿约为（ ）
A．13×1010 B．1.2×1011 C．1.3×1011 D．0.12×1012
8．某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x﹣5 B．y＝x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
9．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B． C．10 D．
10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24 B．10 C．12 D．36
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．在实数0.23，π，﹣，，0.3030030003中，无理数的个数是 ．
12．比较大小关系 1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
13．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是 ．
14．如图，长为8厘米的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C竖直往上拉橡皮筋被拉长了2厘米到D，则此时D点的坐标为 ．
15．已知一次函数y＝kx﹣4的图象与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k的值为 ．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝ °．
17．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是 ．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C（0，4），点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA＝12，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为 ．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（4分）计算：．
20．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）（2分）求证：DE＝CE．
（2）（3分）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
21．（5分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）（3分）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）（2分）求△ABC的面积．
22．（8分）阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是： ；
（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；
证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABCD＝c2，
S正方形EFGB＝
又∵S正方形EFGB＝ + ，
∴ ＝ + ，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ ．
23．（5分）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．
（1）（2分）请求出∠BAC的度数；
（2）（3分）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．
24．（7分）如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）（3分）求△AOB的面积．
（2）（4分）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
25．（7分）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）（2分）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）（2分）求线段CD对应的函数表达式；
（3）（3分）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
26．（7分）在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）（2分）如图1，若∠B＝90°，则线段AB＝ ，DC＝ ；
（2）（2分）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（3）（3分）如图2，若将（2）中的条件“∠B＝90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．
27．（6分）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，﹣2）．
（1）（2分）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）（2分）点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝2，求点P的坐标；
（3）（2分）点Q在y轴上，若S△AQB＝3，求点Q的坐标．
28．（10分）如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0），并且满足．
（1）（2分）直接写出点A，点C的坐标；
（2）（3分）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使得△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）（5分）如图2，在（2）的条件下，若∠DOC＝∠DCO，点G是第二象限中一点，并且OA平分∠DOG，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，探究∠DOG，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，直接写出结论．
一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．下面四个图形分别是可回收垃圾、其他垃圾、厨余垃圾、有害垃圾的标志，这四个标志中是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
答案：B．
2．﹣64的立方根是（ ）
A．﹣4 B．8 C．﹣4和4 D．﹣8和8
解：∵（﹣4）3＝﹣64
∴﹣64的立方根为﹣4，
答案：A．
3．点M在第二象限，距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，则M点的坐标为（ ）
A．（5，﹣3） B．（﹣5，3） C．（3，﹣5） D．（﹣3，5）
解：∵点P位于第二象限，
∴点的横坐标为负数，纵坐标为正数，
∵点距离x轴5个单位长度，距离y轴3个单位长度，
∴点的坐标为（﹣3，5）．
答案：D．
4．若正比例函数y＝（m﹣2）x的图象经过点A（x1，y1）和点B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则m的取值范围是（ ）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
解：根据题意，知：y随x的增大而减小，
则k＜0，即m﹣2＜0，m＜2．
答案：D．
5．如图，E点在等腰△ABC的底边上的高AD上，且BE⊥CE，若∠BAC＝70°，则∠ABE的度数为（ ）
A．25° B．20° C．15° D．10°
解：∵AD是等腰△ABC的底边上的高，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠BAC＝35°，
∴∠ABD＝90°﹣35°＝55°，
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，
∵BE⊥CE，
∴∠BEC＝90°，
∴∠EBC＝45°，
∴∠ABE＝55°﹣45°＝10°，
答案：D．
6．下列整数中，与4+2的值最接近的是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
解：因为2.42＜6＜2.52，
所以，
所以，
所以8.89，
所以与4+2的值最接近的是9．
答案：C．
7．港珠澳大桥是中国境内一座连接着香港、珠海和澳门的桥隧工程，工程总投资1269亿元，将1269亿用科学记数法表示，结果并精确到百亿约为（ ）
A．13×1010 B．1.2×1011 C．1.3×1011 D．0.12×1012
解：1269亿≈1300亿＝1.3×1011，
答案：C．
8．某个一次函数的图象与直线y＝x+6平行，并且经过点（﹣2，﹣4），则这个一次函数的解析式为（ ）
A．y＝﹣x﹣5 B．y＝x+3 C．y＝x﹣3 D．y＝﹣2x﹣8
解：由一次函数的图象与直线y＝x+6平行，设直线解析式为y＝x+b，
把（﹣2，﹣4）代入得：﹣4＝﹣1+b，即b＝﹣3，
则这个一次函数解析式为y＝x﹣3．
答案：C．
9．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，B为CD的中点．一只蚂蚁从A点出发沿长方体的表面到达B点，则它运动的最短路程为（ ）
A． B． C．10 D．
解：如图1所示，
则AB＝＝2；
如图2所示，
AB＝＝10，
故它运动的最短路程为10，
答案：C．
10．如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（ ）
A．24 B．10 C．12 D．36
解：在图1中，作BE⊥AD，垂足为E，
在图2中，取M（6，6），N（12，10），
当点P从点A到点B时，对应图2中OM线段，得AB＝x＝6，
当点P从B到D时，对应图2中曲线MN从点M到点N，得AB+BD＝x＝12，解得BD＝6，
当点P到点D时，对应图2中到达点N，得AD＝AP＝y＝8＝10，
在△ABD中，AB＝BD＝6，AD＝10，BE⊥AD，
解得AE＝5，
在Rt△ABE中，AB＝6，AE＝5，
BE²+AE²＝AB²，
解得BE＝，
∴▱ABCD的面积＝AD×BE＝10×＝10，
答案：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分。不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上）
11．在实数0.23，π，﹣，，0.3030030003中，无理数的个数是 2 ．
解：在所列的实数中，无理数有π，﹣，共2个．
答案：2．
12．比较大小关系 ＞ 1.5（填“＞”、“＝”或“＜”）．
解：∵2＜＜3，
∴3＜+1＜4，
∴＜＜2，
即＞1.5，
答案：＞．
13．一个等腰直角三角尺和一把直尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝20°，则∠2的度数是 25° ．
解：∵AB∥CD，
∴∠3＝∠1＝20°．
∵是等腰直角三角尺，
∴∠2+∠3＝45°．
∴∠2＝25°．
答案：25°．
14．如图，长为8厘米的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C竖直往上拉橡皮筋被拉长了2厘米到D，则此时D点的坐标为 （4，3） ．
解：∵筋被拉长了2厘米，
∴长度变为10厘米，
过D作DH⊥AB于H，
由题意得，AH＝BH＝AB＝4，AD＝5，
∴DH＝＝＝3，
∴D点的坐标为（4，3），
答案：（4，3）．
15．已知一次函数y＝kx﹣4的图象与两坐标轴围成的三角形周长为12，则k的值为 ± ．
解：∵令x＝0，则y＝﹣4；令y＝0，则x＝，
∴直线与两坐标轴的交点分别为（0，﹣4），（，0），
∴一次函数y＝2x+b的图象与两坐标轴所围成的三角形的斜边长为：＝，
∴一次函数y＝kx﹣4的图象与两坐标轴围成的三角形周长为4++||＝12，
解得k＝±．
答案：±．
16．如图，在△ABC中，∠A＝90°，DE⊥BC，垂足为E．若AD＝DE且∠C＝50°，则∠ABD＝ 20 °．
解：∵∠C＝50°，∠A＝90°，
∴∠ABC＝40°，
∵DE⊥BC，
∴∠A＝∠BED＝90°，
在Rt△ABD和Rt△EBD中，
，
∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），
∴∠ABD＝∠DBE，
∴∠ABD＝∠ABC＝20°，
答案：20．
17．如图，△ABC中，BA＝BC，DE是边AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点D、E，连接AD，若AD恰好为∠BAC的平分线，则∠B的度数是 36° ．
解：设∠B＝x°，
∵DE是边AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC＝2∠BAD＝2x°，
∵BA＝BC，
∴∠C＝∠BAC＝2x°，
在△ABC中，根据三角形的内角和定理得：∠BAC+∠B+∠C＝180°，
即x+2x+2x＝180，
解得：x＝36，
∴∠B＝36°，
答案：36°．
18．如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，点C（0，4），点Q在x轴的负半轴上，且S△CQA＝12，分别以AC、CQ为腰，点C为直角顶点在第一、第二象限作等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，连接MN交y轴于P点，则OP的值为 7 ．
解：过N作NH∥CM，交y轴于H，则∠CNH+∠MCN＝180°，
∵等腰Rt△CAN、等腰Rt△QCM，
∴∠MCQ+∠ACN＝180°，
∴∠ACQ+∠MCN＝360°﹣180°＝180°，
∴∠CNH＝∠ACQ，
又∵∠HCN+∠ACO＝90°＝∠QAC+∠ACO，
∴∠HCN＝∠QAC，
在△HCN和△QAC中，
，
∴△HCN≌△QAC（ASA），
∴CH＝AQ，HN＝QC，
∵QC＝MC，
∴HN＝CM，
∵点C（0，4），S△CQA＝12，
∴×AQ×CO＝12，即×AQ×4＝12，
∴AQ＝6，
∴CH＝6，
∵NH∥CM，
∴∠PNH＝∠PMC，
在△PNH和△PMC中，
，
∴△PNH≌△PMC（AAS），
∴CP＝PH＝CH＝3，
又∵CO＝4，
∴OP＝CP+OC＝3+4＝7．
答案：7．
三、解答题（本大题共10小题，共64分。请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．计算：．
解：原式＝4﹣1﹣3+3﹣
＝3﹣．
20．如图，在△ABC中，AB＝AC，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，交AC于点E．
（1）求证：DE＝CE．
（2）若∠CDE＝35°，求∠A的度数．
（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD＝∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠BCD，
∴∠EDC＝∠ECD，
∴DE＝CE．
（2）解：∵∠ECD＝∠EDC＝35°，
∴∠ACB＝2∠ECD＝70°．
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180°﹣70°﹣70°＝40°．
21．如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
解：（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC＝5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5＝．
22．阅读材料，回答问题：
（1）中国古代数学著作《周髀算经》有着这样的记载：“勾广三，股修四，径隅五．”这句话的意思是：“如果直角三角形两直角边为3和4时，那么斜边的长为5．“上述记载表明了在Rt△ABC中，如果∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，那么a，b，c三者之间的数量关系是：
（2）对于这个数量关系，可以利用面积法进行了证明．已知四个全等的直角三角形围成如图所示的正方形，请你参考右图，将下面的证明过程补充完整；
证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABCD＝c2，
S正方形EFGB＝ （a+b）2
又∵S正方形EFGB＝ 4S△ABF + S正方形ABCD ，
∴ （a+b）2 ＝ 4×ab + c2 ，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴ a2+b2＝c2 ．
解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由勾股定理得，a2+b2＝c2，
答案：a2+b2＝c2；
（2）证明：∵S△ABC＝ab，S正方形ABCD＝c2，
S正方形EFGB＝（a+b）2
又∵S正方形EFGB＝4S△ABF+S正方形ABCD，
∴（a+b）2＝4×ab+c2，
整理得a2+2ab+b2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2．
答案：（a+b）2；4S△ABF；S正方形ABCD，（a+b）2，c2，a2+b2＝c2．
23．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．
（1）请求出∠BAC的度数；
（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．
（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ACD＝60°；
（2）证明：在BC上截取BF＝BE，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠OBF，
∵OB＝OB，
∴△BEO≌△BFO（SAS），
∴∠BOE＝∠BOF，
∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝60°，
∴∠POC＝∠BOE＝60°，
∴∠COF＝60°，
∴∠COF＝∠POC，
又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，
∴△CPO≌△CFO（ASA），
∴CP＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CP．
24．如图，一次函数y＝2x+b经过M（1，3），它的图象与x轴，y轴分别交于A，B两点．
（1）求△AOB的面积．
（2）将该直线绕点A顺时针旋转45°至直线l，过点B作BC⊥AB交直线l于点C，求点C的坐标及直线l的函数表达式．
解：（1）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点M（1，3），
∴3＝2+b，
解得b＝1，
∴y＝2x+1，
令y＝0，则x＝﹣；令x＝0，则y＝1，
∴A（﹣，0），B（0，1），
∴OA＝，OB＝1
∴△AOB的面积＝＝；
（2）作CD⊥y轴于D，
∵∠BAC＝45°，BC⊥AB，
∴∠ACB＝45°，
∴AB＝BC，
∵∠ABO+∠BAO＝90°＝∠ABO+∠CBD，
∴∠BAO＝∠CBD，
在△AOB和△BDC中，
，
∴△AOB≌△BDC（AAS），
∴BD＝OA＝，CD＝OB＝1，
∴OD＝OB﹣BD＝，
∴C（1，），
设直线l的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣，0），C（1，）代入得，
解得，
∴直线l的解析式为y＝x+．
25．甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（时）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：
（1）轿车到达乙地时，求货车与甲地的距离；
（2）求线段CD对应的函数表达式；
（3）在轿车行进过程，轿车行驶多少时间，两车相距15千米．
解：（1）由图象可得，
货车的速度为300÷5＝60（千米/小时），
则轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是60×4.5＝270（千米），
即轿车到达乙地时，货车与甲地的距离是270千米；
（2）设线段CD对应的函数表达式是y＝kx+b，
∵点C（2.5，80），点D（4.5，300），
∴，
解得，
即线段CD对应的函数表达式是y＝110x﹣195（2.5≤x≤4.5）；
（3）当x＝2.5时，两车之间的距离为：60×2.5﹣80＝70，
∵70＞15，
∴在轿车行进过程，两车相距15千米时间是在2.5～4.5之间，
由图象可得，线段OA对应的函数解析式为y＝60x，
则|60x﹣（110x﹣195）|＝15，
解得x1＝3.6，x2＝4.2，
∵轿车比货车晚出发1.5小时，3.6﹣1.5＝2.1（小时），4.2﹣1.5＝2.7（小时），
∴在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米，
答：在轿车行进过程，轿车行驶2.1小时或2.7小时，两车相距15千米．
26．在四边形ABCD中，∠B+∠D＝180°，对角线AC平分∠BAD．
（1）如图1，若∠B＝90°，则线段AB＝ AD ，DC＝ BC ；
（2）如图1，若∠DAB＝120°，且∠B＝90°，试探究边AD、AB与对角线AC的数量关系并说明理由．
（3）如图2，若将（2）中的条件“∠B＝90°”去掉，（2）中的结论是否成立？请说明理由．
解：（1）如图1，∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠B＝∠D＝90°．
又∵对角线AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC．
在△ABC和△ADC中，
．
∴△ABC≌△ADC（AAS）．
∴AB＝AD，DC＝BC．
故答案是：AD；BC；
（2）解：AC＝AD+AB，理由如下：
如图1，∵对角线AC平分∠BAD，∠DAB＝120°，
∴∠CAD＝∠CAB＝60°．
又∵∠B+∠D＝180°，∠B＝90°，
∴∠D＝90°．
∴∠ACD＝∠ACB＝30°．
∴AD＝AC，AB＝AC．
∴AC＝AD+AB；
（3）成立，理由如下：
如图2，以C为顶点，AC为一边作∠ACE＝60°，∠ACE的另一边交AB延长线于点E，
∵∠CAB＝6 0°，
∴△ACE为等边三角形．
∴EC＝AC，∠E＝60°．
又∵∠B+∠D＝180°，∠DAB＝120°，
∴∠BCD＝60°．
∴∠ACD＝∠ECB＝60°﹣∠BCA．
又∵∠CAD＝∠E＝60°，
∴△ACD≌△ECB （ASA）
∴AD＝BE．
∴AB+AD＝AB+BE＝AE．
又∵△ACE为等边三角形，
∴AE＝AC．
∴AB+AD＝AC．
27．在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点A（1，0）和B（2，﹣2）．
（1）当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；
（2）点P（m，n）在该函数的图象上，且m﹣n＝2，求点P的坐标；
（3）点Q在y轴上，若S△AQB＝3，求点Q的坐标．
解：（1）设解析式为：y＝kx+b，
将（1，0）和（2，﹣2）代入得：，
解得：，
∴这个函数的解析式为：y＝﹣2x+2；
把x＝﹣2代入y＝﹣2x+2得，y＝6，
把x＝3代入y＝﹣2x+2得，y＝﹣4，
∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．
（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，
∴n＝﹣2m+2，
∵m﹣n＝2，
∴m﹣（﹣2m+2）＝2，
解得m＝，n＝﹣，
∴点P的坐标为（，﹣）；
（3）设点Q的坐标为（0，b），
∵直线y＝﹣2x+2与y轴的交点为（0，2），
∴S，
解得：b＝8或b＝﹣4，
∴点Q的坐标为（0，8）或（0，﹣4）．
28．如图1，以直角△AOC的直角顶点O为原点，以OC，OA所在直线为x轴和y轴建立平面直角坐标系，点A（0，a），C（b，0），并且满足．
（1）直接写出点A，点C的坐标；
（2）如图1，坐标轴上有两动点P，Q同时出发，点P从点C出发沿x轴负方向以每秒2个单位长度的速度匀速运动，点Q从点O出发沿y轴正方向以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当点P到达点O整个运动随之结束；线段AC的中点D的坐标是D（4，3），设运动时间为t秒．是否存在t，使得△DOP与△DOQ的面积相等？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；
（3）如图2，在（2）的条件下，若∠DOC＝∠DCO，点G是第二象限中一点，并且OA平分∠DOG，点E是线段OA上一动点，连接CE交OD于点H，当点E在OA上运动的过程中，探究∠DOG，∠OHC，∠ACE之间的数量关系，直接写出结论．
解：（1）∵+|b﹣8|＝0，
∴a﹣b+2＝0，b﹣8＝0，
∴a＝6，b＝8，
∴A（0，6），C（8，0），
答案：（0，6），（8，0）；
（2）由（1）知，A（0，6），C（8，0），
∴OA＝6，OB＝8，
由运动知，OQ＝t，PC＝2t，
∴OP＝8﹣2t，
∵D（4，3），
∴S△ODQ＝OQ×|xD|＝t×4＝2t，
S△ODP＝OP×|yD|＝（8﹣2t）×3＝12﹣3t，
∵△ODP与△ODQ的面积相等，
∴2t＝12﹣3t，
∴t＝2.4，
∴存在t＝2.4时，使得△ODP与△ODQ的面积相等；
（3）∴2∠GOA+∠ACE＝∠OHC，
理由如下：
∵x轴⊥y轴，
∴∠AOC＝∠DOC+∠AOD＝90°，
∴∠OAC+∠ACO＝90°，
又∵∠DOC＝∠DCO，
∴∠OAC＝∠AOD，
∵y轴平分∠GOD，
∴∠GOA＝∠AOD，
∴∠GOA＝∠OAC，
∴OG∥AC，
如图，过点H作HF∥OG交x轴于F，
∴HF∥AC，
∴∠FHC＝∠ACE，
同理∠FHO＝∠GOD，
∵OG∥FH，
∴∠DOG＝∠FHO，
∴∠DOG+∠ACE＝∠FHO+∠FHC，
即∠DOG+∠ACE＝∠OHC
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