湘教版必修24.3向量与实数相乘第一课时导学案

4.3　向量与实数相乘

第一课时　向量与实数相乘及向量的平行

1．向量与实数相乘

一般地，实数与向量按下面的法则相乘：

将向量v乘以一个正数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相同，长度|λv|是|v|的λ倍．

将向量v乘以一个负数λ，得到一个向量λv，它的方向与v相反，长度|λv|是|v|的|λ|倍．

向量v乘以0得到的0v是零向量．

预习交流1

向量与实数相乘和实数与实数相乘有何不同？

提示：向量与实数相乘的结果仍然是一个向量，而实数与实数相乘的结果是一个实数．

预习交流2

向量与实数可以进行加法、减法运算吗？

提示：向量与实数不能进行加减运算．

预习交流3

向量与实数相乘的几何意义是什么？

提示：向量数乘的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向扩大或缩小．当λ＞0时，沿着a的方向扩大(λ＞1)或缩小(0＜λ＜1)为原来的λ倍；当λ＜0时，沿着a的反方向扩大(|λ|＞1)或缩小(|λ|＜1)为原来的|λ|倍．

2．向量的平行

(1)当非零向量a，b方向相同或相反时，我们既称a，b共线，也称a，b平行．

(2)零向量的方向可以任意规定．我们规定：零向量与所有的向量平行．

(3)按照向量与实数乘法的法则，任一向量a与它的任一实数倍的方向相同或相反，因此a与λa平行．

(4)若向量a为非零向量，则两个向量a与b平行⇔存在λ∈R，b＝λa.即其中一个向量是另一个向量的实数倍．

预习交流4

向量平行与直线平行有何区别？

提示：向量平行是指它们所在的直线重合或平行，而两直线平行时，它们不能重合．

一、向量数乘运算的理解

已知a是非零向量，判断下列说法是否正确，并说明理由：

(1)2a的方向与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍；

(2)－2a的方向与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的；

(3)－2a与2a是一对相反向量；

(4)若m∈R，且ma＝0，则必有m＝0.

思路分析：根据向量数乘的定义进行分析判断．

解：(1)正确．∵2＞0，∴2a与a方向相同，且|2a|＝2|a|；

(2)正确．∵－2＜0，∴－2a与a方向相反，且|－2a|＝2|a|；又5＞0，∴5a与a方向相同，且|5a|＝5|a|.

故－2a与5a方向相反，且|－2a|＝|5a|；

(3)正确．由于－2a与2a的方向相反，且|－2a|＝|2a|，故－2a与2a是相反向量；

(4)正确．由于ma＝0，而a是非零向量，因此只能有m＝0.

已知λ，μ∈R，则在以下各命题中，正确的命题共有(　　)

(1)当λ＜0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；

(2)当λ＞0，a≠0时，λa与a的方向一定相同；

(3)当λμ＞0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；

(4)当λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．

A．1个    B．2个

C．3个    D．4个

答案：D

解析：命题(1)(2)(3)(4)均正确，因为由λ与向量a的积λa的方向规定，易知(1)(2)正确，对于命题(3)(4)，当λμ＞0时，λ与μ同正或同负，所以λa与μa都与a同向或者都与a反向，所以λa与μa同向．当λμ＜0时，则λ与μ异号，λa与μa中，一个与a同向，一个与a反向，所以λa与μa方向相反，故(3)(4)也正确，故选D．

1．一个向量有两个要素：方向和模，对于向量与实数相乘λa，其方向取决于λ的正负，其模的大小取决于|λ|.

2．注意实数与向量的积的特殊情况，当λ＝0时，λa＝0；而λ≠0，若a＝0时，也有λa＝0.

二、向量的共线问题

有以下说法：①方向不相同的两个向量一定不平行；②共线的向量，若始点不同，则终点一定不同；③若，是共线向量，则A，B，C，D必在同一条直线上；④若向量a与向量b共线，b与c共线，则a与c共线；⑤相等向量一定是共线向量．其中正确说法的序号是__________．

思路分析：按照共线向量、相等向量等概念进行判断，注意零向量的特殊性．

答案：⑤

解析：①错，方向不相同，但方向相反的两个向量也是平行向量；②错，共线的向量，当始点不同时，终点可以相同，因为它们的模可以不同；③错，当与是共线向量时，A，B，C，D可能不在同一直线上；④错，当b是零向量时，任意a与c都与b共线，但a与c不一定共线；⑤正确，相等向量方向相同，一定共线．

下列说法中正确的是(　　)

A．若向量a与向量b不共线，则a与b方向一定不相同

B．由于零向量方向不确定，故它不与任何向量平行

C．若向量a与b平行，则a＝b

D．在梯形ABCD中，与是共线向量

答案：A

平面几何的三点共线与两个向量共线不同：首先共线向量不考虑起点，其次明确共线向量可分为如下四种情况：(1)方向相同、模相等；(2)方向相同、模不等；(3)方向相反、模相等；(4)方向相反、模不等．

在正六边形ABCDEF中，＝a，＝b，求，，.

思路分析：用向量a，b表示，，，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解．

解：如图所示，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF和四边形ABCO均为平行四边形．

根据向量的三角形法则，有＝＋＝＋2＝b＋2a＝2a＋b.

根据向量的平行四边形法则，有

＝＋＝a＋b，

故有＝2＝2a＋2b.

在平行四边形ABCO中，＝＋＝a＋a＋b＝2a＋b.

而＝＝＝a＋b.

由三角形法则得＝＋＝b＋a＋b＝a＋2b.

如图所示，四边形ABCD，CEFG，DCGH都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是(　　)

A．||=||

B．与共线

C．=

D．与共线

答案：C

解析：依题意，||不一定等于||，故不一定有=，选C．

确定一个向量的要素有两个：方向和模，要从这两个方面对向量之间的关系作出判断．

1．两个非零向量a，b，若满足b＝－2a，则有(　　)

A．a与b方向相同      B．a与b方向相反

C．|a|＝2|b|             D．|a|＝|b|

答案：B

解析：因为－2＜0，所以－2a与a方向相反，且|－2a|＝2|a|，即|b|＝2|a|，选B．

2．m∈R，下列说法正确的是(　　)

A．若ma＝0，则必须m＝0

B．若m≠0，a≠0，则ma与a方向相同

C．若m≠0，a≠0，则|ma|＝m|a|

D．若m≠0，a≠0，则ma与a共线

答案：D

解析：由ma＝0可得m＝0或a＝0，故A错；当m≠0时，ma与a方向相同或相反，故B错；当m≠0时，|ma|＝|m||a|，故C错，只有D正确．

3．在正方形ABCD中，下列说法正确的是(　　)

A．＝          B．＝

C．与共线      D．与共线

答案：C

解析：结合图形知只有C项正确．

4．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，则以图中点A，B，C，D，E， F，O中的任意一点为始点，与始点不同的另一点为终点的所有向量中，除向量外，与向量共线的向量共有(　　)

A．6个      B．7个

C．8个      D．9个

答案：D

解析：由正六边形的性质可知，与共线的向量共有，，，，，，，，，共9个．

5．四边形ABCD中，＝，则四边形ABCD是(　　)

A．平行四边形      B．梯形      C．菱形      D．矩形

答案：B

解析：由＝得∥且||＝||，所以||≠||.所以四边形ABCD是梯形．