湘教版必修24.3向量与实数相乘学案

课    题：平面向量的坐标运算（1）

教学目的：

（1）理解平面向量的坐标的概念；

（2）掌握平面向量的坐标运算；

（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线

教学重点：平面向量的坐标运算

教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教    具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、复习引入：

1向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法

向量加法的三角形法则和平行四边形法则

2．向量加法的交换律：+=+

3．向量加法的结合律：(+) +=+ (+)

4．向量的减法向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差即：a  b = a + (b) 

5．差向量的意义： = a,  = b, 则= a  b

    即a  b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量

6．实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ

（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=

7．运算定律  λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ     

8． 向量共线定理  向量与非零向量共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ

9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2

(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一λ1，λ2是被，，唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标表示

   如图，在直角坐标系内，我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得

…………

我们把叫做向量的（直角）坐标，记作

…………

其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示

与相等的向量的坐标也为

特别地，，，

如图，在直角坐标平面内，以原点O为起点作，则点的位置由唯一确定

设，则向量的坐标就是点的坐标；反过来，点的坐标也就是向量的坐标因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示

2．平面向量的坐标运算

（1） 若，，则，

两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差

设基底为、，则

即，同理可得

（2） 若，，则

一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标

==( x2, y2)  (x1,y1)= (x2 x1, y2 y1)

（3）若和实数，则

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标

设基底为、，则，即

三、讲解范例：

例1已知平面上三点的坐标分别为A(2, 1), B(1, 3), C(3, 4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点

解：当平行四边形为ABCD时，由得D1=(2, 2)

当平行四边形为ACDB时，得D2=(4, 6)

当平行四边形为DACB时，得D3=(6, 0)

例2已知三个力 (3, 4),  (2, 5), (x, y)的合力++=

求的坐标

解：由题设++=   得：(3, 4)+ (2, 5)+(x, y)=(0, 0)

即：    ∴    ∴(5,1)

四、课堂练习：

1．若M(3, -2)  N(-5, -1) 且 ,  求P点的坐标；

解：设P(x, y)  则(x-3, y+2)=(-8, 1)=(-4, )

  ∴     ∴P点坐标为(-1, -)

2．若A(0, 1),  B(1, 2),  C(3, 4)  则2=(-3,-3)

3．已知：四点A(5, 1), B(3, 4),  C(1, 3),  D(5, -3)  求证：四边形ABCD是梯形

解：∵=(-2, 3)   =(-4, 6)       ∴=2        

∴∥  且  ||||       ∴四边形ABCD是梯形

五、小结  1．向量的坐标概念   2．向量坐标的运算

六、课后作业：

七、板书设计（略）

八、课后记：