必修24.5向量的数量积学案

4.5.1　向量的数量积

1．向量的数量积

(1)定义：设a，b是任意两个向量，〈a，b〉是它们的夹角，取值范围是[0，π]，则定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉称为a与b的数量积．

(2)两个向量的数量积是实数而不是向量．

(3)数量积a·b也称为a与b的内积．

(4)数量积a·b一定要在a与b之间用一点“·”表示，因此也称为“点积”或“点乘”，不能将a·b写成a×b或ab.

(5)向量a，b的夹角规定为a，b之间所夹的最小非负角，用〈a，b〉表示，其取值范围规定为[0，π]，且有〈a，b〉＝〈b，a〉．

(6)如果a，b共线，则有

a·b＝

(7)当a，b之中有一个为零时，它们的夹角〈a，b〉没有确定的值，但a，b仍有确定的值0，即a·b＝0.

预习交流1

向量的数量积是一个实数，它的正负与什么有关？

提示：由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉知，当a·b＞0时，〈a，b〉∈；当a·b＜0时，〈a，b〉∈；当a·b＝0时，〈a，b〉＝，因此a·b取值的正负由这两个向量的夹角所决定．

预习交流2

由a·b＝0一定能推出a或b是零向量吗？

提示：不一定，当a·b＝0时，可能有a≠0，b≠0，而〈a，b〉＝，此时a⊥b.

预习交流3

在△ABC中，与的夹角是什么？与的夹角等于B吗？

提示：〈，〉＝A，但〈，〉≠B，而是〈，〉＝π－B，一定要注意向量的方向．

2．向量数量积的运算律

数量积满足如下的运算律：

(1)交换律：a·b＝b·a，对任意向量a，b成立；

(2)与数乘的结合律：(λa)·b＝λ(a·b)，对任意向量a，b和实数λ成立；

(3)分配律(distributive law)：(a＋a′)·b＝a·b＋a′·b，对任意向量a，a′，b成立．

预习交流4

实数运算中满足消去律，即若a，b，c为实数，当b≠0时，由ab＝bc可得a＝c；那么在数量积运算中，当a，b，c为向量，且b≠0时，由a·b＝b·c能否可得a＝c?

提示：对于向量的数量积，该推理不正确，即a·b＝b·ca＝c.

由图很容易看出，虽然a·b＝b·c，但a≠c.

预习交流5

向量的数量积运算是否满足结合律(a·b)c＝a(b·c)呢？

提示：对于实数a，b，c有(ab)c＝a(bc)；但对向量a，b，c，(a·b)c＝a(b·c)未必成立，这是因为(a·b)c表示一个与c共线的向量，而a(b·c)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．

一、向量的夹角问题

在正方形ABCD中，两对角线AC与BD相交于点O，求：

(1)与的夹角；

(2)与的夹角；

(3)与的夹角；

(4)与的夹角．

思路分析：按照向量夹角的定义，以及正方形的性质求解．

解：(1)，反向共线，故〈，〉＝π；

(2)〈，〉＝∠BAC＝；

(3)与垂直，故〈，〉＝；

(4)〈，〉＝π－〈，〉＝π－＝.

在等边△ABC中，求(1)〈，〉；(2)〈，〉；(3)〈，〉．

解：(1)〈，〉＝；

(2)〈，〉＝π－〈，〉＝；

(3)〈，〉＝〈，〉＝.

求两个向量的夹角时，一定要注意向量的方向，通常把两个向量平移到共同的起点，再求它们之间的夹角．

二、向量数量积的计算

已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b，(2)a⊥b，(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积．

思路分析：已知|a|与|b|，求a·b，只需确定其夹角θ.注意当a∥b时，有θ＝0°和θ＝180°两种可能．

解：(1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°，

a·b＝|a||b|cos 0°＝4×5＝20；

若a与b反向，则θ＝180°，

∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20.

(2)当a⊥b时，θ＝90°.∴a·b＝|a||b|cos 90°＝0.

(3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a||b|cos 30°

＝4×5×＝10.

1．已知a·b＝6，|a|＝3，a和b的夹角为45°，则|b|＝________.

答案： 4

解析：由题意知6＝3|b|cos 45°，∴|b|＝4.

2．在边长为2的正方形ABCD中，·＝______.

答案：4

解析：依题意||＝2，||＝2，〈，〉＝，于是·＝2×2×cos＝4.

求两个向量数量积的关键是求出两个向量的模以及它们之间的夹角，然后利用数量积的定义进行计算．

三、利用数量积求两个向量的夹角

在等腰△ABC中，已知AB=AC=6，·=－18，求∠B的大小．

思路分析：先由数量积的定义求出∠A的大小，再求∠B．

解：因为·=||·||·cos〈，〉

=6×6×cos A=36cos A．

所以36cos A=－18.所以cos A=.

因此∠A=120°，于是∠B==30°.即∠B等于30°.

已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝2，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)

A．      B．      C．      D．

答案：B

解析：设向量a与b的夹角为θ.

∵a·b＝|a||b|cos θ，

∴cos θ＝＝＝.∴θ＝.

求两个向量的夹角的关键是求出两个向量的模以及它们的数量积，利用数量积的定义式求出夹角的余弦，再求夹角，注意夹角的取值范围．

1．在边长为1的正三角形ABC中，·＝(　　)

A．      B．－      C．      D．－

答案：C

解析：·＝1×1×cos 60°＝.

2．若|a|＝|b|＝2，且a·b＝2，则a与b的夹角为(　　)

A．180°      B．90°      C．60°      D．0°

答案：C

解析：设a与b的夹角为θ，则a·b＝2×2×cosθ＝2，

∴cos θ＝.又∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝60°.

3．对非零向量a，b，若a·b＝－|a||b|，则必有(　　)

A．a＝b      B．|a|＝|b|      C．a⊥b      D．a∥b

答案：D

解析：由a·b＝－|a||b|知〈a，b〉＝180°，因此a∥b.

4．若|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，则a·(4b)的值为(　　)

A．12      B．－12      C．12      D．－12

答案：B

解析：a·(4b)＝4(a·b)＝4|a||b|cos〈a，b〉＝4×2×3×cos 120°＝－12.

5．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC为__________三角形．

答案：钝角

解析：a·b＝·＝||||cos〈，〉

＝||||cos(π－B)＝－||||cos B＞0，

∴cos B＜0，故∠B为钝角．∴△ABC为钝角三角形．