高中湘教版4.3向量与实数相乘第二课时学案

第二课时　数乘向量的应用以及单位向量

1．向量数乘的运算律

(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(x＋y)a＝xa＋ya，x(ya)＝(xy)a.

(2)设a，b是任意两个向量，λ是任意实数，则

λ(a＋b)＝λa＋λb.

预习交流1

下列两式：①(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)；②λ(a－b)＝λa－λb成立吗？

提示：成立，可由向量数乘的运算律推得．

2．向量共线的条件

预习交流2

若向量a是一个非零向量，那么向量b与a共线的条件是什么？

提示：当b＝λa时，由数乘向量的几何意义知b与a共线，b与a共线，必存在唯一的实数λ，使得b＝λa.

3．单位向量

长度为1的向量称为单位向量．我们知道，向量有两个要素：大小和方向．向量a的大小由|a|表示，而它的方向就由该方向上的单位向量a代表．

一、向量的数乘运算

计算下列各式：

(1)4(a＋b)－3(a－b)；

(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)；

(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)．

思路分析：利用向量的线性运算律计算．

解：(1)4(a＋b)－3(a－b)＝4a－3a＋4b＋3b＝a＋7b.

(2)3(a－2b＋c)－(2a＋b－3c)

＝3a－6b＋3c－2a－b＋3c＝a－7b＋6c.

(3)(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)

＝a－b－a－b＋a＋b

＝a＋b

＝0·a＋0·b＝0＋0＝0.

计算：(1)3(6a＋b)－9；

(2)－2；

(3)2(5a－4b＋c)－3(a－3b＋c)－7a.

解：(1)原式＝18a＋3b－9a－3b＝9a.

(2)原式＝－a－b

＝a＋b－a－b＝0.

(3)原式＝10a－8b＋2c－3a＋9b－3c－7a＝b－c.

向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并．

二、向量共线条件的应用

已知向量e1和e2不共线．

(1)如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3(e1－e2)，求证：A，B，D三点共线．

(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2共线，试确定实数k的值．

思路分析：(1)要证A，B，D三点共线，可证，共线(或与共线等)；(2)当ke1＋e2与e1＋ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，从而求得k的值．

(1)证明：∵＝e1＋e2，

＝＋＝2e1＋8e2＋3e1－3e2

＝5(e1＋e2)＝5，

∴∥.又∵AB∩BD＝B，

∴A，B，D三点共线．

(2)解：∵ke1＋e2与e1＋ke2共线，

∴存在λ使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，

则(k－λ)e1＝(λk－1)e2.

由于e1与e2不共线，

只能有

则k＝±1.

已知向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，其中e1，e2不共线，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使d＝λa＋μb与c共线？

解：∵d＝λa＋μb

＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)

＝(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2，

要使d与c共线，则应存在实数k，使d＝kc，

即(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke1－9ke2，

∴∴λ＝－2μ.

故存在这样的实数λ，μ，只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．

1．若b＝λa(λ∈R)，则b与a共线．由此可以判断向量共线问题．若b与a(a≠0)共线，则必存在唯一实数λ，使b＝λa.据此可以求两个共线向量中的系数问题．

2．用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数λ，使得a＝λb(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)．证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线．

三、向量线性运算的应用

如图所示，OADB是以向量=a，=b为边的平行四边形．又BM=BC，CN=CD，试用a，b表示，，.

思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示．

解：===(－)=(a－b)，

∴=+=b+a－b=a+b，

==.

∴=+=+=

=(+)=(a+b)=a+b.

=－=(a+b)－a－b=a－b.

1．已知在△ABC中，D是BC边的中点，用向量，表示向量为________．

答案：＋

解析：∵＝，

∴－＝－，2＝＋.

∴＝＋.

2．如图所示，点E在△ABC的边BC上，且CE＝3EB，设＝a，＝b，用a，b表示.

解：∵CE＝3EB，

∴＝.

又∵＝－，

∴＝＋＝＋

＝a＋(b－a)＝a＋b.

在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用．

1．下列计算正确的数目是(　　)

①(－3)·2a＝－6a　②2(a＋b)－(2b－a)＝3a　③(a＋2b)－(2b＋a)＝0

A．0      B．1      C．2      D．3

答案：C

解析：①②正确，③错误，应有(a＋2b)－(2b＋a)＝0.

2．化简为(　　)

A．a＋b      B．a＋b      C．a＋b      D．a＋b

答案：C

解析：原式＝a＋b＋a－a＋b＝a＋b.

3．下面向量a，b共线的有(　　)

①a＝2e1，b＝－2e2；

②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；

③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；

④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.(e1，e2不共线)

A．②③      B．②③④      C．①③④      D．①②③④

答案：A

解析：①中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线；

②中b＝－2a，故a与b共线；

③中b＝a，故a与b共线；

④中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数λ，使e1＋e2＝λ(2e1－2e2)，于是λ无解．故a与b不可能共线．

4．已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，其对角线交点为O，则等于(　　)

A．a＋b      B．a＋b      C．(a＋b)      D．a＋b

答案：C

解析：＋＝＋＝＝2，所以＝(a＋b)，故选C．

5．已知向量a与b不共线，m＝a－b，n＝xa＋3b，若m与n共线，则x的值等于__________．

答案：－6

解析：依题意存在实数λ，使m＝λn，

即＝λ(xa＋3b)，

即于是λ＝－，x＝－6.