数学选择性必修 第二册3.1 条件概率与事件的独立性导学案

这是一份数学选择性必修 第二册3.1 条件概率与事件的独立性导学案，共4页。

教 材 要 点
要点一 贝叶斯公式❶
设事件A，B，则P(B|A)＝称为贝叶斯公式(又称逆概率公式)．
批注❶ 贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯(1702～1716)发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系．
要点二 贝叶斯公式的推广
设A1，A2，…，An满足AiAj＝∅(i≠j)，且A1＝Ω.若P(Ai)>0(i＝1，2，…，n)，则对任一事件B(其中P(B)>0)，由条件概率及全概率公式，有P(Ai|B)＝

基 础 自 测
1．一道考题有4个，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确的概率为，而乱猜正确的概率为.在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是( )
A． B．C． D．
2．李老师一家要外出游玩几天，家里有一盆花交给邻居帮忙照顾，如果这几天内邻居记得浇水，那么花存活的概率为0.8，如果这几天内邻居忘记浇水，那么花存活的概率为0.3，假设李老师对邻居不了解，即可以认为邻居记得和忘记浇水的概率均为0.5，几天后李老师回来发现花还活着，则邻居记得浇水的概率为________．
题型探究·课堂解透——强化创新性
贝叶斯公式的应用
例1 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02.加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．
(1)求任意取出的零件是合格品的概率；
(2)如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率．
方法归纳
若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验结果具体结果怎样未知，那么：(1)如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，类似于求条件概率. 熟记这个特征，在遇到相关的题目时，可以准确地选择方法进行计算，保证解题的正确高效．
巩固训练1 设某公路上经过的货车与客车的数量之比为2∶1，货车中途停车修理的概率为0.02，客车中途停车修理的概率为0.01，今有一辆汽车中途停车修理，求该汽车是货车的概率．
贝叶斯公式推广的应用
例2 某商店从三个厂购买了一批灯泡，甲厂占25%，乙厂占35%，丙厂占40%，各厂的次品率分别为5%，4%，2%.
(1)求消费者买到一只次品灯泡的概率；
(2)若消费者买到一只次品灯泡，则它是哪个厂家生产的可能性最大？
方法归纳
(1)全概率中，事件B发生的概率通常是在试验之前已知的，习惯上称之为先验概率．而贝叶斯公式中如果在一次试验中，已知事件A确已发生，再考察事件B发生的概率，即在事件A发生的条件下，计算事件B发生的条件概率，它反映了在试验之后，A发生的原因的各种可能性的大小，通常称之为后验概率．
(2)两者最大的不同之处在于处理的对象不同，全概率公式常用来计算复杂事件的概率，而贝叶斯公式是用来计算简单条件下发生的复杂事件的概率．
巩固训练2 有朋自远方来，他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1，0.4.而他坐火车、坐船、坐汽车、坐飞机迟到的概率分别是0.25，0.3，0.1，0，实际上他是迟到了，推测他坐哪种交通工具来的可能性大．(结果保留小数点后两位)
*3.1.5 贝叶斯公式
新知初探·课前预习
[基础自测]
1．解析：设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”，
由全概率公式：
P(A)＝P(B)P(A|B)＋P()P(A|)＝×1＋＝.
又由贝叶斯公式： P(B|A)＝＝＝.
答案：B
2．解析：设事件B表示“邻居记得浇水”，表示“邻居忘记浇水”，A表示“花还活着”，
由题意得，P(B)＝0.5，P()＝0.5，P(A|B)＝0.8，P(A|)＝0.3，
则P(B|A)＝
＝＝.
答案：
题型探究·课堂解透
例1 解析：设Ai表示“第i台机床加工的零件”(i＝1，2)；B表示“出现废品”；C表示“出现合格品”．
(1)P(C)＝P(A1CA2C)＝P(A1C)＋P(A2C)＝
P(A1)P(C|A1)＋P(A2)P(C|A2)
＝×(1－0.03)＋×(1－0.02)≈0.973.
(2)P(A2|B)＝＝＝＝0.25.
巩固训练1 解析：设B表示“中途停车修理”，A1表示“经过的是货车”，A2表示“经过的是客车”，
则B＝A1B由题意得，P(A1)＝，P(A2)＝，P(B|A1)＝0.02，P(B|A2)＝0.01，
由贝叶斯公式得，P(A1|B)＝＝＝.
例2 解析：记事件B表示“消费者买到一只次品灯泡”，A1，A2，A3分别表示“买到的灯泡是甲、乙、丙厂生产的灯泡”，根据题意得，
P(A1)＝25%，P(A2)＝35%，P(A3)＝40%，P(B|A1)＝5%，P(B|A2)＝4%，P(B|A3)＝2%.
(1)P(B)＝＝0.034 5.
(2)P(A1|B)＝＝≈0.362 3，
P(A2|B)＝＝≈0.405 8，
P(A3|B)＝＝≈0.231 9，
所以买到乙厂产品的可能性最大．
巩固训练2 解析：令A1＝“坐火车来”，A2＝“坐船来”，A3＝“坐汽车来”，A4＝“坐飞机来”，B＝“他迟到了”，
则Ω＝A1且A1、A2、A3、A4两两互斥，
P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.2，P(A3)＝0.1，P(A4)＝0.4，
P(B|A1)＝0.25，P(B|A2)＝0.3，P(B|A3)＝0.1，P(B|A4)＝0，
于是得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＋P(A4)P(B|A4)
＝0.3×0.25＋0.2×0.3＋0.1×0.1＋0.4×0＝0.145，
P(A1|B)＝＝≈0.52，
P(A2|B)＝＝≈0.41，
P(A3|B)＝＝≈0.07，
P(A4|B)＝＝0，
比较四个概率值知，他坐火车和坐船的概率较大，坐火车的可能性最大，坐汽车的可能性很小，不可能是坐飞机过来的．