2022年中考数学一轮总复习训练：与圆有关的位置关系（Word版含答案）

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与圆有关的位置关系考点1　点、线与圆的位置关系1.若点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,2为半径的圆内,则a的取值范围为 (  )　　　　　　　　　　　　　　　　　　A.a<-1 B.a>3C.-1<a<3 D.a≥-1且a≠02.如图,已知☉O的半径为6,点O到某条直线的距离为8,则这条直线可以是 (  )A.l1 B.l2 C.l3 D.l4考点2　与切线有关的证明与计算3.以O为中心的量角器与直角三角板ABC按如图所示摆放,直角顶点B在零刻度线所在直线DE上,且量角器与三角板只有一个公共点P,若点P对应的读数为35°,则∠CBD的度数是(  )A.55° B.45° C.35° D.25°4.下面是投影屏上出示的抢答题,需要回答横线上符号代表的内容.如图,已知AB与☉O相切于点A,点C,D在☉O上,连接AC,AD,CD.求证:∠CAB=∠D.证明:连接AO并延长,交☉O于点E,连接EC.∵AB与☉O相切于点A,∴∠EAB=90°,∴∠EAC+∠CAB=90°.∵　@　是☉O的直径, ∴∠ECA=90°(直径所对的圆周角是90°),∴∠E+∠EAC=90°,∴∠E=　◎　. ∵=,∴　▲　=∠D(同弧所对的　※　相等), ∴∠CAB=∠D.下列选项中,回答正确的是 (  )A.@代表AD B.◎代表∠CABC.▲代表∠DAC D.※代表圆心角5.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为2 cm的☉P的圆心P在直线OA上,且与点O的距离为6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时☉P运动的时间是              (  )A.3 s或10 s　  B.3 s或8 s　 C.2 s或8 s　  D.2 s或10 s6.[2021湖南怀化]如图,已知☉O的半径为5 cm,AB是☉O的直径,CD是过☉O上点C的直线,且AD⊥DC于点D,AC平分∠BAD,E是BC的中点,OE=3 cm.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)求AD的长.                 7.[2021湖南衡阳]如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B.(1)求证:CD是☉O的切线;(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.              8.[2021四川南充]如图,A,B是☉O上两点,且AB=OA,连接OB并延长到点C,使BC=OB,连接AC.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)点D,E分别是AC,OA的中点,DE所在直线交☉O于点F,G,OA=4,求GF的长.            考点3　三角形的内心与外心9.[原创新题]如图,在△ABC中,∠A=80°,点O是△ABC的内心,则∠BOC的度数为 (  )A.100° B.160° C.80° D.130°10.[2020江苏连云港]10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内,A,B,C,D,E,O均是正六边形的顶点.则点O是下列哪个三角形的外心?              (  )A.△AED B.△ABD C.△BCD D.△ACD11.[2020河北九地市模拟二]如图,已知E是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为              (  )A.18　  B.24　  C.30　  D.36考点4　正多边形和圆12.[2021江苏徐州]如图,一枚圆形古钱币的中间是一个正方形孔,已知圆的直径与正方形的对角线之比为3∶1,则圆的面积约为正方形面积的              (  )A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍13.[2021石家庄28中质量检测]如图,☉O与正五边形ABCDE的边AB,DE分别相切于点B,D,则所对的圆心角∠BOD的大小为　　°. 【能力提升】1.[2021浙江嘉兴]已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为              (  )A.相离 B.相交C.相切 D.相交或相切2.[2021湖北荆门]如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO= (  )A.30° B.35° C.45° D.55°(第2题)　　(第3题)3.[2021山西]如图,在☉O中,AB切☉O于点A,连接OB交☉O于点C,过点A作AD∥OB交☉O于点D,连接CD.若∠B=50°,则∠OCD为              (   )A.15° B.20° C.25° D.30°4.[2020石家庄一模]如图,以点O为圆心、4为半径作扇形AOB,AO⊥BO,点E在OA上,且OE=2,CD垂直平分OB,动点P在线段CD上运动(不与点D重合).设△ODP的外心为点I,连接EI,则EI的最小值为              (  )A.1 B.2C.2-1 D.+15.[2021江苏南京]如图,FA,GB,HC,ID,JE是五边形ABCDE的外接圆的切线,则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=　　°. 6.[2021唐山乐亭一模]如图,☉O的半径是5,点A在☉O上.点P是☉O所在平面内一点,且AP=2,过点P作直线l,使l⊥PA.(1)点O到直线l距离的最大值为　　; (2)若M,N是直线l与☉O的公共点,则当线段MN的长度最大时,OP的长为 　. 7.[2021石家庄新华区一模]在Rt△OAB中,∠AOB=90°,OA=OB=4,以点O为圆心,2为半径画圆,过点A作☉O的切线,切点为P,且点P在OA上方,连接OP.将OP绕点O按逆时针方向旋转得到OH,连接AH,BH.设旋转角为α(0°<α<360°).(1)当α=90°时,如图,求证:BH是☉O的切线;(2)当BH与☉O相切时,求旋转角α的度数和点P运动路径的长;(3)当△AHB的面积最大时,请直接写出此时点H到AB的距离.                   答案1.C　由题意知|a-1|<2,∴-1<a<3.故选C.2.B3.C　∵量角器与三角板只有一个公共点P,∴直线AB是☉O的切线,∴∠OPB=90°.又∵∠ABC=90°,∴OP∥BC,∴∠CBD=∠POB=35°,故选C.4.B　@表示AE,◎表示∠CAB,▲表示∠E,※表示圆周角.5.D　过点P作PH⊥CD于点H.在Rt△OPH中,∠POH=30°,∴OP=2PH.当点P在点O左侧且☉P与直线CD相切时,OP=2PH=4 cm,∴☉P运动的距离为6-4=2(cm),∴☉P运动的时间是2 s.当点P在点O右侧且☉P与直线CD相切时,OP=2PH=4 cm,此时☉P运动的距离为6+4=10(cm),∴☉P运动的时间是10 s.故选D.6.(1)证明:连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠BAD,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴AD∥OC.又AD⊥DC,∴OC⊥DC.又OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵点O,E分别是AB,BC的中点,∴OE是△ABC的中位线,∴AC=2OE=6 cm.∵∠BAC=∠DAC,∴cos∠BAC=cos∠DAC,∴=,即=,∴AD=.7.(1)证明:如图,连接OD,则OD=OB,∴∠OBD=∠ODB.又∵∠OBD=∠CDA,∴∠ODB=∠CDA.∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ODB+∠ODA=90°,∴∠CDA+∠ODA=90°,∴OD⊥CD.又OD是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.(2)如图,连接OE.∵点E是的中点,∴∠BOE=∠EOD.又∵∠BOE=2∠BDE=60°,∴∠EOD=60°.又EO=DO,∴△ODE是等边三角形,∴DO=DE=2.在Rt△DOC中,∠DOC=180°-∠BOE-∠EOD=60°,∴CD=OD=2.8.(1)证明:∵AB=OA=OB,∴△OAB是等边三角形,∴∠AOB=∠OBA=∠OAB=60°.∵BC=OB,∴BC=AB,∴∠BAC=∠C.∵∠OBA=∠BAC+∠C=60°,∴∠BAC=∠C=30°,∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°,∴OA⊥AC.∵点A在☉O上,∴AC是☉O的切线.(2)如图,连接OF,过点O作OH⊥GF于点H,则GF=2HF,∠OHE=∠OHF=90°.∵点D,E分别是AC,OA的中点,∴OE=AE=OA=×4=2,DE∥OC,∴∠OEH=∠AOB=60°,∴OH=OEsin∠OEH=,∴HF===,∴GF=2HF=2. 9.D　∵∠A=80°,∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=100°.∵点O是△ABC的内心,∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=50°,∴∠BOC=180°-50°=130°.故选D.10.D　因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等,且OA=OC=OD,所以点O是△ACD的外心,故选D.11.B　连接AF,AD.∵点E是△ABC的外心,∴点E是△ABC外接圆的圆心.又∵P,Q分别是AB,AC的中点,∴PE垂直平分AB,QE垂直平分AC,∴AF=BF=5,AD=CD=4,∴AF2=DF2+AD2,∴∠ADF=90°,∴S△ABC=AD·BC=×4×(5+3+4)=24.12.B　简化示意图如图所示,设AB=6a,则CD=2a,OA=3a,所以正方形的面积为CD·CD=2a2,圆的面积为π×(3a)2=9πa2,9πa2÷(2a2)≈14,故选B.13.144　∵五边形ABCDE为正五边形,∴∠BAE=∠DEA=180°-=108°.∵AB,DE为☉O的切线,∴∠ABO=∠EDO=90°,∴∠BOD=(5-2)×180°-∠BAE-∠DEA-∠ABO-∠EDO=540°-108°-108°-90°-90°=144°.【能力提升】1.D2.B　方法一:连接OA,如图.∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°.∵∠P=70°,∴∠BOA=360°-∠PBO-∠PAO-∠P=110°.∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=(180°-∠BOA)=(180°-110°)=35°,故选B.方法二:∵PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,∴PA=PB,∠PBO=90°.∵∠P=70°,∴∠PBA=∠PAB==55°,∴∠ABO=90°-∠PBA=35°.3.B　如图,连接OA.∵AB是☉O的切线,∴∠OAB=90°.∵∠B=50°,∴∠O=90°-50°=40°,∴∠D=∠O=20°.∵OC∥AD,∴∠OCD=∠D=20°. 4.B　分析可知,△ODP的外心为线段OP的中点,当点P与点C重合时,EI最小,如图,连接CE,∵∠EOD=∠CDB=90°,∴OE∥CD.又∵CD==2=OE,∴四边形OECD为平行四边形,∴OD∥CE,∴∠OEC=90°,∴EImin=OC=2.5.180　如图,延长GB与AF相交,延长HC与BG相交,延长ID与CH相交,延长JE与DI相交,延长FA与EJ相交,则构造出一个新的五边形,其内角和为540°.由切线长定理可推出,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,∠7=∠8,∠9=∠10,∴∠1+∠3+∠5+∠7+∠9=×(180°×5-540°)=180°,即∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ=180°.6.(1)7　(2)　(1)连接OA,∵l⊥PA,∴当点P在☉O外且O,A,P三点共线时,点O到直线l的距离最大,最大值为AO+AP=5+2=7.(2)∵M,N是直线l与☉O的公共点,∴当线段MN的长度最大时,线段MN是☉O的直径,如图.∵l⊥PA,∴∠APO=90°.∵AP=2,OA=5,∴OP==.7.(1)证明:∵∠POH=90°,∠AOB=90°,∴∠AOP=∠BOH.又OA=OB,OP=OH,∴△AOP≌△BOH,∴∠OPA=∠OHB.∵AP是☉O的切线,∴∠OPA=90°,∴∠OHB=90°,即OH⊥BH于点H,∴BH是☉O的切线.(2)如图,过点B作☉O的切线BC,BD,切点分别为C,D,连接OC,OD,则有OC⊥BC,OD⊥BD.∵OC=2,OB=4,∴cos∠BOC===,∴∠BOC=60°.同理,∠BOD=60°.当点H与点C重合时,由(1)知α=90°,∴的长为=π.当点H与点D重合时,α=∠POC+∠BOC+∠BOD=90°+2×60°=210°,∴优弧PH的长为=π.故当BH与☉O相切时,旋转角α=90°或210°,点P运动路径的长为π或π.(3)2+2.解法提示:过点O作ON⊥AB于点N.在Rt△ONB中,∠OBN=45°,OB=4,∴ON=4sin 45°=2,故当△AHB的面积最大时,点H到AB的距离为2+2.