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    专题11 与圆有关的位置关系(分层训练)-2024年中考数学总复习重难考点强化训练(全国通用)

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    专题11 与圆有关的位置关系(分层训练)-2024年中考数学总复习重难考点强化训练(全国通用)

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    这是一份专题11 与圆有关的位置关系(分层训练)-2024年中考数学总复习重难考点强化训练(全国通用),文件包含专题11与圆有关的位置关系分层训练全国通用原卷版docx、专题11与圆有关的位置关系分层训练全国通用解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共67页, 欢迎下载使用。


    【基础训练】
    一、单选题
    1.(2023上·福建福州·九年级福建省福州第八中学校考期中)如图,P为⊙O外一点,PA为⊙O的切线,A为切点,PO交⊙O于点B,∠P=30°,OB=4,则线段OP的长为( )
    A.6B.43C.4D.8
    【答案】D
    【分析】连接OA,通过直角三角形的性质求解即可.
    【详解】连接OA,
    ∴OA=OB=4,
    ∵PA为⊙O的切线,A为切点,
    ∴∠OAP=90°,
    ∵∠P=30°,
    ∴OP=2OA=8,
    故选D.
    【点睛】此题考查了圆的切线的性质,涉及了直角三角形的性质,解题的关键是掌握圆切线的有关性质.
    2.(2023上·河北邢台·九年级统考阶段练习)已知⊙O的半径等于8cm,圆心O到直线l的距离为9cm,则直线l与⊙O的公共点的个数为( )
    A.0B.1C.2D.3个或3个以上
    【答案】A
    【分析】圆的半径为r, 圆心到直线的距离为d, 当d>r时,圆与直线相离,直线与圆没有交点,当d=r时,圆与直线相切,直线与圆有一个交点,d<r时,圆与直线相交,直线与圆有两个交点,根据原理可得答案.
    【详解】解:∵ ⊙O的半径等于r为8cm,圆心O到直线l的距离为d为9cm,
    ∴ d>r,
    ∴ 直线l与⊙O相离,
    所以直线l与⊙O的公共点的个数为0,
    故选A
    【点睛】本题考查的是圆与直线的位置关系,圆与直线的位置关系有相离,相交,相切,熟悉三种位置关系对应的公共点的个数是解本题的关键.
    3.(2023·吉林长春·统考中考真题)如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )
    A.35°B.45°C.55°D.65°
    【答案】C
    【分析】根据切线的性质,得∠ABC=90°,再根据直角三角形的性质,即可求解.
    【详解】解:∵AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,
    ∴AB⊥BC,即∠ABC=90°,
    ∵∠BAC=35°,
    ∴∠ACB=90°-35°=55°,
    故选C.
    【点睛】本题主要考查切线的性质以及直角三角形的性质,掌握圆的切线的性质定理,是解题的关键.
    4.(2022·山西吕梁·统考一模)如图,四边形ABCD内接于⊙O,BE与⊙O相切于点B,连接AC,∠D=120°,∠ACB=40°,则∠CBE的度数为( )
    A.80°B.70°C.60°D.75°
    【答案】A
    【分析】连接OB、OC,利用圆内接四边形的性质,利用∠D可求出∠ABC,则在△ABC中,求出∠CAB,因为BE与⊙O相切,则可证得∠CBE=∠BAC,即可得解.
    【详解】连接OB、OC,如图,
    ∵四边形ABCD内接于⊙O,∠D=120°,
    ∴∠D+∠ABC=180°,
    ∴∠ABC=180°-120°=60°,
    ∵∠ACB=40°,
    ∴在△ABC中,∠CAB=180°-∠ACB-∠ABC=80°,
    ∵BE与⊙O相切,
    ∴∠CBE+∠OBC=90°,
    ∵OC=OB,
    ∴∠OBC=∠OCB,
    ∵根据圆周角定理有∠COB=2∠BAC,
    又∵∠OBC+∠OCB+∠COB=180°,
    ∴2∠OBC+2∠BAC=180°,
    ∴∠OBC+∠BAC=90°,
    又已证得∠CBE+∠OBC=90°,
    ∴∠CBE=∠BAC=80°,
    故选:A.
    【点睛】本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理、圆内接四边形的性质以及圆的切线等知识,掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键.
    5.(2022·广西崇左·统考一模)已知⊙O的半径是3,若OP=4,则点P( )
    A.在⊙O上B.在⊙O内C.在⊙O外D.无法判定
    【答案】C
    【分析】点在圆上,则d=r;点在圆外,d>r;点在圆内,d【详解】解:∵OP=4>3,
    ∴点P在⊙O外,
    故选:C.
    【点睛】考查了点与圆的位置关系,解题的关键是掌握判断点与圆的位置关系,就是比较点与圆心的距离和半径的大小关系.
    6.(2023·广东广州·统考中考真题)如图,RtΔABC中,∠C=90°,AB=5,csA=45,以点B为圆心,r为半径作⊙B,当r=3时,⊙B与AC的位置关系是( )
    A.相离B.相切C.相交D.无法确定
    【答案】B
    【分析】根据RtΔABC中,∠C=90°, csA=45,求出AC的值,再根据勾股定理求出BC 的值,比较BC与半径r的大小,即可得出⊙B与AC的位置关系.
    【详解】解:∵RtΔABC中,∠C=90°, csA=45,
    ∴csA=ACAB=45
    ∵AB=5,
    ∴AC=4
    ∴BC=BC2−AC2=3
    当r=3时,⊙B与AC的位置关系是:相切
    故选:B
    【点睛】本题考查了由三角函数解直角三角形,勾股定理以及直线和圆的位置关系等知识,利用勾股定理解求出BC是解题的关键.
    7.(2023·广东汕头·统考一模)如图,AB与⊙O相切于点A,OB交⊙O于点C,点D在⊙O上,连接AD、CD,OA,若∠ABO=40°,则∠ADC的度数为( )
    A.20°B.25°C.40°D.50°
    【答案】B
    【分析】先根据切线的性质得到∠OAB=90°,则利用互余可计算出∠O=50°,然后根据圆周角定理得到∠ADC的度数.
    【详解】解:∵AB是⊙O的切线,
    ∴OA⊥AB,
    ∴∠OAB=90°,
    ∵∠ABO=40°,
    ∴∠O=90°−40°=50°,
    ∴∠ADC=12∠O=12×50°=25°.
    故选:B.
    【点睛】本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了圆周角定理.
    8.(2022·河南周口·校考二模)如图,AB切⊙O于点B,OA交⊙O于点C,过点B作BD∥AO交⊙O于点D,连接CD.若∠DCO=25°,则∠A的度数为( )
    A.35°B.40°C.50°D.55°
    【答案】B
    【分析】连接OB,由切线的性质得出∠OBA=90°,根据平行线的性质得到∠OBDC的度数,由圆周角定理得出∠AOB=50°,则可得出答案.
    【详解】解:连接OB,如图,
    ∵AB切⊙O于点B,
    ∴OA⊥AB,
    ∴∠OBA=90°,
    ∵BD∥OA,
    ∴∠DCO=∠BDC=25°.
    ∴∠BOC=2∠BDC=50°,
    ∴∠A=90°﹣50°=40°,
    故选:B.
    【点睛】本题考查切线的性质,圆周角定理,熟练掌握切线的性质定理和圆周角定理是解题的关键.
    9.(2022上·江苏泰州·九年级统考阶段练习)如图,⊙O半径OC=5cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交⊙O于A,B两点,AB=8cm,将直线l沿OC所在直线向下平移,若l恰好与⊙O相切时,则平移的距离为( )
    A.1cmB.2cmC.3cmD.8cm
    【答案】B
    【分析】连接OA,由垂径定理和勾股定理得OH=3,当点H平移到点C时,直线与圆相切,求得CH=OC-OH=2cm.
    【详解】解:连接OA,
    ∵OH⊥AB,
    ∴AH=4,OA=OC=5,
    ∴OH=3,
    ∵当点H平移到点C时,直线与圆相切,
    ∴CH=OC-OH=2cm,
    即直线在原有位置向下移动2cm后与圆相切.
    故选:B.
    【点睛】本题利用了垂径定理,勾股定理,及切线的概念求解,正确掌握各定理并应用是解题的关键.
    10.(2023·河南信阳·统考一模)如图,AB是⊙O的直径,直线DE与⊙O相切于点C,过点A,B分别作AD⊥DE,BE⊥DE,垂足为点D,E,连接AC,BC.若AD=1,CE=3,则OA的长为( )
    A.1B.3C.2D..23
    【答案】C
    【分析】连接OC,根据切线的性质和三角函数求得∠ACD=30°,从而得到△AOC是等边三角形,进而即可求解.
    【详解】解:连接OC,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∵直线DE与⊙O相切于点C,
    ∴OC⊥DE,
    ∵AD⊥DE,BE⊥DE,
    ∴AD∥OC∥BE,
    ∵OA=OB,
    ∴DC=CE=3,
    ∵AD=1,
    ∴tan∠ACD=ADCD=33,
    ∴∠ACD=30°,
    ∴∠ACO=90°−30°=60°,
    ∵OA=OC,
    ∴△AOC是等边三角形,
    ∴OA=AC,
    ∵AC=2AD=2,
    ∴OA=AC=2.
    故选C.
    【点睛】本题考查了切线的性质,锐角三角函数,30°角的直角三角形的性质等,求得∠ACD=30°是解题的关键.
    11.(2023上·山东济宁·九年级统考期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,以C为圆心,2.4cm长为半径的圆与AB的位置关系是( )
    A.相切B.相交C.相离D.不能确定
    【答案】A
    【分析】利用面积法求出直角三角形ABC的斜边AB上的高,即得到圆心到直线的距离,然后比较它和圆的半径的大小,得到直线与圆的位置关系
    【详解】解:∵∠C=90°,AC=3cm,BC=4cm,
    ∴AB=AC2+BC2=5cm,
    设直角三角形ABC的斜边AB上的高是h,
    ℎ=AC⋅BCAB=3×45=2.4cm,
    ∵2.4=2.4,即圆心C到直线AB的距离等于圆的半径,
    ∴直线与圆的位置关系是相切.
    故选:A.
    【点睛】本题考查直线与圆的位置关系,解题的关键是掌握直线与圆位置关系的判定方法.
    12.(2023上·甘肃定西·九年级校联考阶段练习)已知∠ABC=60°,点O在∠ABC的平分线上,OB=5cm,以点O为圆心,2cm为半径作⊙O,则⊙O与BC的位置关系是( )
    A.相离B.相交C.相切D.不确定
    【答案】A
    【分析】过点O作OD⊥BC于点D,根据30度角所对的直角边等于斜边一半,得到OD=52cm,又因为OD大于半径,即可得到⊙O与BC的位置关系.
    【详解】解:过点O作OD⊥BC于点D,
    ∵∠ABC=60°,点O在∠ABC的平分线上,
    ∴∠OBC=30°,
    在Rt△OBD中,OB=5cm,
    ∴OD=12OB=52cm,
    ∵52cm>2cm,
    ∴⊙O与BC的位置关系是相离,
    故选:A.
    【点睛】本题考查了角平分线的定义,30度角所对的直角边等于斜边一半,直线和圆的位置关系,熟练掌握直线和圆的位置关系是解题关键.
    13.(2022·上海松江·校考三模)已知△ABC,AB=10cm,BC=6cm,以点B为圆心,以BC为半径画圆⊙B,以点A为圆心,半径为r,画圆⊙A.已知⊙A与⊙B外离,则r的取值范围为( )
    A.0【答案】C
    【分析】设⊙B半径为Rcm,则R=6cm,根据两圆外离的条件得到AB>r+R,从而得到r的范围.
    【详解】解:设⊙B半径为Rcm,则R=BC=6cm,
    ∵⊙A与⊙B外离,
    ∴AB>r+R,
    ∴r即r<4,
    ∵r>0,
    ∴0故选:C.
    【点睛】本题考查圆与圆的位置关系:两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为R,r,两圆外离⇔d>R+r;两圆外切⇔d=R+r;两圆相交⇔R−rr);两圆内含⇔dr).
    14.(2023·湖北鄂州·校考模拟预测)如图,ΔABC的内切圆⊙O与AB,BC,AC分别相切于点D,E,F,连接OE,OF,若∠C=90°,AC=3,BC=4,则阴影部分的面积为( )
    A.2−12πB.4−12πC.4−πD.1−14π
    【答案】D
    【分析】先由勾股定理求出AB的长,再判定四边形CEOF是正方形,由切线长定理建立方程求出圆的半径,进而计算扇形面积即可解答;
    【详解】解:由题意△ABC中AB=AC2+BC2=32+42=5,
    ∠C=90°,OF⊥AC,OE⊥BC,
    ∴四边形CEOF是矩形,
    OE=OF,
    ∴矩形CEOF是正方形,
    由切线长定理可得CF=CE,AF=AD,BE=BD,
    ∴AB=AD+DB=AF+BE,
    设圆的半径为x,则(3-x)+(4-x)=5,解得x=1,
    扇形EOF面积=90°360°π⋅12=14π,
    ∴阴影面积=正方形CEOF面积-扇形EOF面积=1-14π,
    故选:D;
    【点睛】本题考查了勾股定理,正方形的判定和性质,切线长定理,扇形面积计算;结合图形求出内切圆半径是解题关键.
    15.(2022·广东深圳·深圳市观澜第二中学校考模拟预测)如图,如图,AB是⊙O的直径,点C是⊙O上一点,AD与过点C的切线垂直,垂足为D,直线DC与AB的延长线交于点P,弦CE平分∠ACB,交AB于点F,连接BE,BE=72.下列四个结论:①AC平分∠DAB;②PF2=PB⋅PA;③若BC=12OP,则阴影部分的面积为74π−4943;④若PC=24,则tan∠PCB=34.其中正确的是( )
    A.2个B.3个C.4个D.5个
    【答案】B
    【分析】①连接OC,根据CD是⊙O的切线,AD⊥CD,推出AD∥OC,得到∠DAC=∠ACO,根据OC=OA,推出∠BAC=∠ACO,得到∠DAC=∠BAC=12∠BAD,得到AC平分∠DAB,此结论正确;
    ②根据AB是⊙O的直径,推出∠ACB=90°,得到∠CAB+∠CBA=∠OCB+∠PCB=90°,根据OB=OC,推出∠OBC=∠OCB,得到∠CAB=∠PCB,根据∠P=∠P,推出△PCB∽△PAC,推出PCPA=PBPC,得到PC2=PB⋅PA,根据CE平分∠ACB,推出∠ACE=∠BCE,根据∠PCF=∠PCB+∠BCE,∠PFC=∠ACE+∠BAC,推出∠PCF=∠PFC,得到PC=PF,得到PF2=PB⋅PA,此结论正确;
    ③根据若BC=12OP,推出BC是Rt△OPC斜边OP上的中线,推出OB=PB=BC=12OP,根据OB=OC,推出OB=OC=BC,得到△OBC是等边三角形,得到∠BOC=60°,连接AE,则AE=BE=72,根据∠AEB=90°,推出AB=AE2+BE2=2BE=14,得到OB=7,推出S阴影=S扇形BOC−S△BOC =60π×72360−3×724 =49π6−4934,此结论不正确;
    ④根据OC=OA=7,PC=24,∠OCP=90°,推出OP=OC2+PC2=25,得到PA=OP+OA=32,根据AD∥OC,推出CDOA=PCOP,得到CD=7×2425,根据△POC∽△PAD,推出ADOC=PAOP,得到AD=7×3225,根据∠PCB=∠BAC=∠DAC,推出tan∠PCB=tan∠DAC=CDAD=7×24257×3225=2432=34,此结论正确.
    【详解】①连接OC,
    ∵CD是⊙O的切线,
    ∴CD⊥OC,
    ∵AD⊥CD,
    ∴AD∥OC,
    ∴∠DAC=∠ACO,
    ∵OC=OA,
    ∴∠BAC=∠ACO,
    ∴∠DAC=∠BAC=12∠BAD,
    ∴AC平分∠DAB,
    故AC平分∠DAB正确;
    ②∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠CAB+∠CBA=90°,
    ∵∠OCB+∠PCB=90°,
    ∴∠CAB+∠CBA=∠OCB+∠PCB,
    ∵OB=OC,
    ∴∠OBC=∠OCB,
    ∴∠CAB=∠PCB,
    ∵∠P=∠P,
    ∴△PCB∽△PAC,
    ∴PCPA=PBPC,
    ∴PC2=PB⋅PA,
    ∵CE平分∠ACB,
    ∴∠ACE=∠BCE,
    ∵∠PCF=∠PCB+∠BCE,∠PFC=∠ACE+∠BAC,
    ∴∠PCF=∠PFC,
    ∴PC=PF,
    ∴PF2=PB⋅PA,
    故PF2=PB⋅PA正确;
    ③∵若BC=12OP,
    ∴BC是Rt△OPC斜边OP上的中线,
    ∴OB=PB=BC=12OP,
    ∵OB=OC,
    ∴OB=OC=BC,
    ∴△OBC是等边三角形,
    ∴∠BOC=60°,
    连接AE,则AE=BE=72,
    ∵∠AEB=90°,
    ∴AB=AE2+BE2=2BE=14,
    ∴OB=7,
    ∴S阴影=S扇形BOC−S△BOC
    =60π×72360−3×724
    =49π6−4934,
    故若BC=12OP,则阴影部分的面积为74π−4943不正确;
    ④∵OC=OA=7,PC=24,∠OCP=90°,
    ∴OP=OC2+PC2=25,
    ∴PA=OP+OA=32,
    ∵AD∥OC,
    ∴CDOA=PCOP,
    ∴CD=7×2425,
    ∵△POC∽△PAD,
    ∴ADOC=PAOP,
    ∴AD=7×3225,
    ∵∠PCB=∠BAC=∠DAC,
    ∴tan∠PCB=tan∠DAC=CDAD=7×24257×3225=2432=34.
    故若PC=24,则tan∠PCB=34正确.
    故选:B.
    【点睛】本题主要考查了圆的切线,角平分线,圆周角,勾股定理,平行线,相似三角形,等边三角形,扇形面积,锐角三角函数等,解决问题的关键是添加辅助线,熟练掌握圆的切线的性质,角平分线的定义,圆周角定理的推论,勾股定理解直角三角形,平行线分线段成比例定理,相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,扇形面积计算公式,正切的定义.
    二、填空题
    16.(2023·辽宁抚顺·校联考一模)已知⨀O的半径为6,A为线段OP的中点,当OP的长度为10时,点A与⨀O的位置关系为 .
    【答案】点A在圆内 .
    【分析】知道OP的长,点A是OP的中点,得到OA的长与半径的关系,求出点A与圆的位置关系.
    【详解】解:∵OP=10,A是线段OP的中点,
    ∴OA=5,小于圆的半径6,
    ∴点A在圆内.
    故答案为点A在圆内.
    【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系,根据OP的长和点A是OP的中点,得到OA=5,小于圆的半径,可以确定点A的位置.
    17.(2023·广西防城港·统考一模)已知⊙O的半径为6,且点A到圆心的距离是5,则点A与⊙O的位置关系是 .
    【答案】A在⊙O内
    【分析】根据当d【详解】解:∵OA∴点A在⊙O内,
    故答案为:A在⊙O内.
    【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系,关键要记住若半径为r,点到圆心的距离为d,则有:当d>r时,点在圆外;当d=r时,点在圆上,当d18.(2023上·广西·九年级统考阶段练习)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,以点C为圆心r为半径作圆,如果⊙C与AB有唯一公共点,则半径r的值是 .
    【答案】6013
    【分析】由题意易知⊙C与AB有唯一公共点,说明⊙C与直线AB相切,即过点C作CD⊥AB,CD的长即为⊙C的半径r.
    【详解】解:由题意得:⊙C与AB有唯一公共点,说明⊙C与直线AB相切,过点C作CD⊥AB,如图所示:
    ∵∠C=90°,AB=13,AC=5,
    ∴BC=AB2−AC2=12,
    ∵AC⋅BC=AB⋅CD,
    ∴CD=AC⋅BCAB=6013,即r=6013;
    故答案为6013.
    【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系及切线定理,熟练掌握直线与圆的位置关系及切线定理是解题的关键.
    19.(2023上·河北唐山·九年级统考期末)如图,AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一点,PC是⊙O的切线,C为切点.若PA=8,sinP=13.则⊙O的半径为 .
    【答案】2
    【分析】如图,连接OC,由sinP=13,设圆的半径为r,证明PB=2r ,再求解r ,再利用勾股定理可得答案.
    【详解】解:如图,连接OC,
    ∵ PC是⊙O的切线,
    ∴∠PCO=90°,
    而sinP=13,
    ∴OCOP=13, 设圆的半径为r, 则rr+PB=13,
    ∴PB=2r,
    ∵ PA=8,
    ∴r+r+2r=8, 解得:r=2.
    ∴⊙O的半径为2.
    故答案为:2.
    【点睛】本题考查的是圆的切线的性质,锐角三角函数的应用,解题的关键熟练掌握切线的性质以及锐角三角函数.
    20.(2023·福建宁德·统考二模)如图,点A为⊙O上一点,点P为AO延长线上一点,PB切⊙O于点B,连接AB,若∠APB=40°,则∠A的度数为 .
    【答案】25°
    【分析】连接OB,由切线的性质可以算出∠BOP的度数,再利用圆周角定理即可算出∠A的度数.
    【详解】连接OB,
    ∵PB切⊙O于点B
    ∴∠OBP=90°,
    又∵∠APB=40°
    ∴∠BOP=90°-40°=50°
    ∴∠A=12∠BOP=25°
    故答案为:25°
    【点睛】本题考查了切线的性质以及圆周角定理,连接OB,构造除直角三角形是解题的关键.
    21.(2023·云南昆明·统考二模)已知直线l:y=−12x+2,若⊙P的半径为1,圆心P在y轴上,当⊙P与直线l相切时,则点P的坐标是 .
    【答案】0,2−52或0,2+52
    【分析】先计算直线与两坐标轴交点A、B,再根据勾股定理得到AB=25,设P坐标为(0,m)(m>0),即OP=m,若P在B点下边时,BP=2-m,根据切线的性质得到∠PN′B=90°,根据相似三角形的性质得到m=2−52,此时P0,2−52;若P在B点上边时,同法求得P0,2+52.
    【详解】解:令x=0,得y=2,令y=0,得x=4
    ∴直线l经过点A(4,0),B(0,2),
    ∴AB=42+22=25,
    设P坐标为(0,m)(m>0),即OP=m,
    若P在B点下边时,BP=2﹣m,
    当AB是⊙O的切线,
    ∴∠PN'B=90°.
    ∵∠PBN'=∠ABO,∠PN'B=∠BOA=90°,
    ∴△PBN'∽△ABO,
    ∴PN′OA=BPAB,
    ∴14=2−m25
    ∴m=2−52
    此时P(0,2−52);
    若P在B点上边时,BP=m﹣2,
    同理△BPN∽△BAO,则有PNOA=BPAB,
    ∴14=m−225,
    ∴m=2+52,此时P(0,2+52),
    综上所述:P(0,2−52)或P(0,2+52),
    故答案为:(0,2−52)或(0,2+52).
    【点睛】本题考查了切线的判定和性质,解答本题的关键是画出示意图,熟练掌握切线的性质,难度一般.
    22.(2023·浙江宁波·校考三模)已知,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,BC=5.点D在△ABC的一边上,⊙D是以D为圆心,CD为半径,并与△ABC的一边相切,则CD= .

    【答案】2或209
    【分析】根据题意,进行分类讨论,①当点D在AC上时,⊙D与AB边相切,根据中点的定义进行解答;②当点D在BC边上时,⊙D与AB边相切,根据相似三角形性质进行解答;③当点D在AB边上时,不符合题意,舍去.
    【详解】解:根据勾股定理可得:AC=AB2−BC2=4,
    ①当点D在AC上时,
    ∵CD=AD,
    ∴CD=12AC=2;

    ②当点D在BC边上时,
    设CD=DE=x,
    ∵⊙D与AB相切,
    ∴DE⊥AB,
    ∵∠BAC=90°,
    ∴DE∥AC,
    ∴∠BDE=∠BCA,∠BED=∠BAC,
    ∴△BDE∽△BCA,
    ∴DEAC=BDBC,即x4=5−x5,
    解得:x=209,

    ③当点D在AB边上时,不符合题意,舍去.

    综上:CD=2或209,
    故答案为:2或209.
    【点睛】本题主要考查了勾股定理,切线的判定和性质,相似三角形的判定和性质,解题的关键是熟练掌握切线的判定定理和相似三角形对应边成比例.
    23.(2023上·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨德强学校校考开学考试)如图,PA切⊙O于点A,直径BC的延长线交PA于点P,PA=6,PC=2,∠P的正切值为 .
    【答案】43
    【分析】连接OA,设半径OA=OC=x,则OP=x+2,由切线的性质可得∠OAP=90°,进而根据勾股定理列方程求得OA=8,最后再根据正切值的定义计算即可.
    【详解】解:如图,连接OA,
    设半径OA=OC=x,则OP=x+2,
    ∵PA切⊙O于点A,
    ∴∠OAP=90°,
    ∵在Rt△OAP中,OA2+AP2=OP2,
    ∴x2+62=(x+2)2,
    解得:x=8,
    ∴OA=8,
    ∴在Rt△OAP中,tan∠P=OAAP=86=43,
    故答案为:43.
    【点睛】本题考查了切线的性质,勾股定理,正切值的定义,熟练掌握切线的性质是解决本题的关键.
    24.(2023·安徽芜湖·校联考二模)如图,在Rt△ABO中,OB=4,∠A=30°,⊙O的半径为r,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(其中点Q为切点).当⊙O与直线AB只有一个公共点时,r= ;当r=3时,线段PQ长度的最小值为 .
    【答案】 23 3
    【分析】先利用直角三角形的性质、勾股定理可得AB=8,OA=43,设⊙O与直线AB的切点为点C,连接OC,再根据圆的切线的性质可得OC⊥AB,且OC=r,然后利用三角形的面积公式求出OC长即可得;连接OP,OQ,先根据圆的切线的性质可得OQ⊥PQ,OQ=r=3,再利用勾股定理可得PQ=OP2−3,从而可得当OP⊥AB时,OP取得最小值,线段PQ长度最小,同上可得OP的最小值为23,由此即可得出答案.
    【详解】解:∵在Rt△ABO中,OB=4,∠A=30°,∠AOB=90°,
    ∴AB=2OB=8,OA=AB2−OB2=43,
    当⊙O与直线AB只有一个公共点时,则⊙O与直线AB相切,
    如图,设⊙O与直线AB的切点为点C,连接OC,
    则OC⊥AB,且OC=r,
    ∴S△ABO=12OA⋅OB=12AB⋅OC,
    ∴OC=OA⋅OBAB=43×48=23,
    即r=23;
    如图,连接OP,OQ,
    ∵PQ与⊙O的相切于点Q,
    ∴OQ⊥PQ,OQ=r=3,
    在Rt△POQ中,PQ=OP2−OQ2=OP2−3,
    要使线段PQ长度最小,则只需OP取得最小值即可,
    由垂线段最短可知,当OP⊥AB时,OP取得最小值,
    由上可知,OP的最小值为23,
    则线段PQ长度的最小值为(23)2−3=3,
    故答案为:23,3.
    【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形、勾股定理、圆的切线的性质等知识点,熟练掌握圆的切线的性质是解题关键.
    25.(2022·江苏盐城·校考一模)如图,在ΔABC中,∠ACB=45°,AB=4,点E、F分别在边BC、AB上,点E为边BC的中点,AB=3AF,连接AE、CF相交于点P,则ΔABP面积最大值为 .
    【答案】1+2
    【分析】作AH∥BC交CF的延长线于点H,则△AHF∼△BCF,得AHBC=AFBF=12,所以AH=12BC=EC,再证明△APH≅△EPC,则AP=PE=12AE,所以SΔABP=12SΔABE=14SΔABC,可知当SΔABC最大时,则SΔABP最大;作△ABC的外接圆⊙O,作CG⊥AB于点G,OD⊥AB于点D,OI⊥CG于点I,连接OC,可证明当点I与点O重合,即C、O、D三点在同一条直线上时,CG最大,此时S△ABC最大;当点C在DO的延长线上,连接OA、OB,则∠AOB=2∠ACB=90°,由勾股定理求得OC=OA=22,而OD=AD=BD=12AB=2,所以CD=2+22,即可求得S△ABC最大=4+42,SΔABP最大=1+2.
    【详解】解:如图1,作AH∥BC交CF的延长线于点H,则△AHF∼△BCF,
    ∵AB=3AF,EC=EB=12BC,
    ∴ AHBC=AFBF=12,
    ∴AH=12BC,
    ∴AH=EC,
    ∵∠H=∠PCE,∠APH=∠EPC,
    ∴△APH≅△EPC(AAS),
    ∴AP=PE=12AE,
    ∴SΔABP=12SΔABE,
    ∵SΔABE=12SΔABC,
    ∴SΔABP=14SΔABC,
    ∴当SΔABC最大时,则SΔABP最大;
    作△ABC的外接圆⊙O,作CG⊥AB于点G,OD⊥AB于点D,OI⊥CG于点I,连接OC,
    ∵∠ODG=∠OIG=∠IGD=90°,
    ∴四边形OIGD是矩形,
    ∴IG=OD,
    ∵IC≤OC,
    ∴IC+IG≤OC+OD,
    即CG≤OC+OD,
    ∴当点I与点O重合,即C、O、D三点在同一条直线上时,CG最大,此时SΔABC最大;
    如图2,△ABC的外接圆⊙O,OD⊥AB于点D,点C在DO的延长线上,连接OA、OB,
    ∵∠ACB=45°,
    ∴∠AOB=2∠ACB=90°,
    ∵OA2+OB2=AB2,OA=OB,AB=4,
    ∴2OA2=42,
    ∴OC=OA=22,
    ∵AD=BD,
    ∴OD=AD=BD=12AB=2,
    ∴CD=2+22,
    ∴SΔABC最大=12×4×2+22=4+42,
    ∴SΔABP最大=14×4+42=1+2,
    ∴ΔABP面积最大值为1+2,
    故答案为:1+2.
    【点睛】此题重点考查三角形的外接圆、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短等知识,正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.
    三、解答题
    26.(2022·河南郑州·郑州外国语中学校考模拟预测)如图,已知AB是⊙O的直径,BD是⊙O的弦,延长BD到C,使DC=BD,连接AC,过点D作DE⊥AC,垂足为E.
    (1)求证:AB=AC;
    (2)求证:DE是⊙O的切线;
    (3)若⊙O的半径为6,∠BAC=60°,则DE=________.
    【答案】(1)见解析;(2)见解析;(3)33.
    【分析】(1)连接AD,由直径所对的圆周角度数及中点可证AD是BC的垂直平分线,根据线段垂直平分线的性质可得结论;
    (2)连接OD,由中位线的性质可得OD∥AC,由平行的性质与切线的判定可证;
    (3)易知△ABC是等边三角形,由等边三角形的性质可得CB长及∠C度数,利用直角三角形30度角的性质及勾股定理可得结果.
    【详解】(1)连接AD.
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°.
    ∴AD⊥BC
    又∵DC=BD,
    ∴AD是BC的垂直平分线
    ∴AB=AC.
    (2)连接OD.
    ∵DE⊥AC,
    ∴∠CED=90°.
    ∵O为AB中点,D为BC中点,
    ∴OD∥AC.
    ∴∠ODE=∠CED=90°.
    ∴DE是⊙O的切线.
    (3)由(1)得AC=AB
    ∵∠BAC=60°
    ∴△ABC是等边三角形
    ∴∠C=60°,BC=AB=2×6=12
    ∴DC=BD=12BC=6
    在Rt△CED中,∠CDE=90°−60°=30°
    ∴CE=12CD=3
    根据勾股定理得CE2+DE2=CD2
    ∴DE=CD2−CE2=62−32=33
    【点睛】本题考查了圆与三角形的综合,涉及的知识点主要有圆的切线的判定、圆周角定理的推论、垂直平分线的性质、等边三角形与直角三角形的性质,灵活的将图形与已知条件相结合是解题的关键.
    27.(2023·河南·统考一模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以直角边BC为直径作⊙O、交AB于点D,E为AC的中点,连接DE
    (1)求证:DE为⊙O的切线;
    (2)已知BC=4.填空.
    ①当DE= 时,四边形DOCE为正方形;
    ②当DE= 时,△BOD为等边三角形.
    【答案】(1)证明见解析;(2)①2;②23.
    【分析】(1)连接CD,根据圆周角定理得出∠CDB=90°,根据直角三角形性质得出DE=CE=AE,求出∠ACD+∠DCO=∠EDC+∠CDO,求出OD⊥DE,根据切线的判定得出即可;
    (2)①若四边形DOCE为正方形,则OC=OD=DE=CE=2;
    ②若△BOD为等边三角形,则∠DOE=60°,则Rt△ODE中,则DE=23.
    【详解】(1)如图,连接CD,OE,
    ∵BC为⊙O的直径,
    ∴∠BDC=90°,
    ∵DE为Rt△ADC的斜边AC上的中线,
    在△COE与△DOE中,OD=CC,OE=OE,DE=CE,
    ∴△COE≌△DOE,
    ∴∠OCE=∠ODE=90°,
    DE为⊙O的切线;
    (2)①若四边形DOCE为正方形,则OC=OD=DE=CE,
    ∵BC=4,
    ∴DE=2.
    ②若△BOD为等边三角形,
    ∴∠BOD=60°,
    ∴∠COD=180°﹣∠BOD=120°,
    ∴∠DOE=60°,
    ∴Rt△ODE中,DE=OD⋅tan60°=23.
    故答案为2,23.
    【点睛】本题为圆的综合题,涉及到直角三角形中线定理、正方形的性质,等边三角形的性质以及切线的判定和性质,熟练掌握圆的相关性质以及等边三角形、正方形的性质是解题的关键.
    28.(2023·内蒙古鄂尔多斯·三模)如图,AB、CN为⊙O的直径,弦CD⊥OB于点E,点F在AB延长线上,CN交弦AD于点M,B为OF的中点,sin∠ADO= 12.
    (1)求证:CF为⊙O的切线;
    (2)求CE= 3,求图中阴影部分的面积.
    【答案】(1)见解析
    (2)2π3−32
    【分析】(1)连接BC,根据特殊角的三角函数值得出∠ADO=30°,进而证明△OBC是等边三角形,△OCF是直角三角形,即可得出结论;
    (2)根据勾股定理求得CE,进而求得OM =1,DM=3,根据图中阴影部分的面积=S扇形DON−S△DOM,即可求解.
    【详解】(1)证明:连接BC,
    ∵sin∠ADO= 12.
    ∴∠ADO=30°,
    ∵OD=OA,
    ∴∠A=30°,
    ∴∠DOB=2∠A=60°,
    ∵CD⊥OB
    ∴BC=BD,
    ∴∠BOC=∠BOD=60°,
    ∴△OBC是等边三角形,
    ∴BC=OB,
    ∵B为OF的中点,
    ∴OF=2BC,
    ∴OB=BC=BF,
    ∴∠BCF=∠FBC=12180°−∠CBF=12180°−120°=30°,
    ∴∠OCF=∠OCB+∠BCF=90°,
    ∴△OCF是直角三角形,
    ∴∠OCF=90°,
    ∵OC是⊙O的半径,
    ∴CF为⊙O的切线;
    (2)解:∵∠OCF=90°,∠COF=60°,
    ∴∠F=30°,
    ∴∠A=∠F,
    ∴ AD∥CF,
    ∴CN⊥AD,
    ∴∠AMO=90°,
    ∴∠AOM=60°,
    ∴∠DON=180°−∠AOM−∠DOF=60°,
    ∵CD⊥OB,
    ∴∠CEO=90°,
    ∵CE= 3,
    ∴OC=OD=2,
    ∴OM= 12 OD=1,DM=32OD=3,
    ∴图中阴影部分的面积=S扇形DON−S△DOM=60⋅π×22360−12×1×3=2π3−32.
    【点睛】本题考查了切线的判定,垂径定理,扇形面积公式,特殊角的三角函数值,熟练掌握以上知识是解题的关键.
    29.(2023·天津东丽·统考二模)如图,AB是⊙O的直径,点E为⊙O上一点,AD和过E的切线互相垂直,垂足为D,切线DE交AB的延长线于点C.

    (1)若∠DEA=66°,求∠C的度数;
    (2)若∠C=30°,AB=6,求AD的长.
    【答案】(1)42°
    (2)92
    【分析】(1)连接OE,可推出AD∥OE,故∠DAE=∠AEO;根据∠EOC=∠EAO+∠AEO、∠C=90°−∠EOC即可求解;
    (2)在Rt△OEC中可求出OC,进而可确定AC; 在Rt△ADC中即可求出AD的长.
    【详解】(1)解:连接OE,

    ∵CD与⊙O相切
    ∴OE⊥CD
    ∵AD⊥CD
    ∴AD∥OE
    ∵∠DEA=66°,∠ADE=90°
    ∴∠DAE=∠AEO=90°−66°=24°
    ∵OE=OA
    ∴∠EAO=∠AEO=24°
    ∴∠EOC=∠EAO+∠AEO=48°
    ∴∠C=90°−∠EOC=42°
    (2)解:∵AB=6
    ∴OA=OB=OE=3
    在Rt△OEC中:OE=3,∠C=30°
    ∴OC=2OE=6
    ∴AC=OA+OC=9
    在Rt△ADC中:AC=9,∠C=30°
    ∴AD=12AC=92
    【点睛】本题考查了切线的性质定理、直角三角形的性质以及勾股定理等知识.熟记相关结论即可.
    30.(2023·江苏扬州·校联考二模)如图,△ABC中,AB=AC,⊙O过B、C两点,且AB是⊙O的切线,连接AO交劣弧BC于点P.

    (1)证明:AC是⊙O的切线;
    (2)若AB=8,AP=4,求⊙O的半径;
    【答案】(1)见解析
    (2)⊙O的半径为6
    【分析】(1)直接根据“SSS”证明△ABO≌△ACO即可得出结论;
    (2)设⊙O的半径为r,则AO=r+4,然后根据勾股定理列出方程求解即可.
    【详解】(1)证明:在△ABO和△ACO中,
    AB=ACBO=COAO=AO,
    ∴△ABO≌△ACO(SSS),
    ∴∠ABO=∠ACO,
    ∵AB是⊙O的切线,
    ∴∠ABO=∠ACO=90°,
    ∵CO是⊙O的半径,
    ∴AC是⊙O的切线;
    (2)解:设⊙O的半径为r,
    则AO=r+4,
    在Rt△ABO中,AB2+BO2=AO2,
    即82+r2=(4+r)2,
    解得:r=6,
    故⊙O的半径为6.
    【点睛】本题考查了切线的判定与性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理等知识点,灵活运用所学知识点是解本题的关键.
    31.(2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模)已知,如图,AB是⊙O的直径,点C为⊙O上一点,OF⊥BC于点F,交⊙O于点E,AE与BC交于点H,点D为OE的延长线上一点,且∠ODB=∠AEC.
    (1)求证:BD是⊙O的切线;
    (2)若⊙O的半径为5,sinA=35,求BH的长.
    【答案】(1)证明见解析;(2)BH=152.
    【分析】(1)由圆周角定理和已知条件证出∠ODB=∠ABC,再证出∠ABC+∠DBF=90°,即∠OBD=90°,即可得出BD是⊙O的切线;
    (2) 连接BE,由圆周角定理得出∠AEB=90°,设BH=5x,EH=3x,在Rt△BEH 中BH2−EH2=BE2,即可进行求解.
    【详解】(1)证明:∵∠ODB=∠AEC,∠AEC=∠ABC,
    ∴∠ODB=∠ABC,
    ∵OF⊥BC,
    ∴∠BFD=90°,
    ∴∠ODB+∠DBF=90°,
    ∴∠ABC+∠DBF=90°,
    即∠OBD=90°,
    ∴BD⊥OB,
    ∴BD是⊙O的切线;
    (2)解:连接BE,如图2所示:
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠AEB=90°,
    ∵⊙O的半径为5,sin∠BAE=35,
    ∴AB=10,BE=AB•sin∠BAE=10×35=6,
    ∵BE=CE,
    ∴∠CBE=∠A,
    ∴sin∠CBE=sin∠A=35,
    ∴EHBH=35,
    设BH=5x,EH=3x,
    在Rt△BEH 中BH2−EH2=BE2,
    (5x)2−(3x)2=62,解得,x=32,
    ∴BH=152.
    【点睛】本题是圆的综合题目,考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理,正确作出辅助线是解题的关键.
    32.(2023·安徽合肥·统考三模)如图,已知AC是⊙O的直径,PA⊥AC于点A,连接OP,弦CB//OP,直线PB交直线AC于点D.
    (1)求证:直线PB是⊙O的切线:
    (2)若BD=2PA,OA=3,PA=4,求BC的长.
    【答案】(1)见详解;(2)103
    【分析】(1)连接OB.利用SAS证明△POB≌△POA,根据全等三角形对应角相等得出∠PBO=∠PAO=90°,即直线PB是⊙O的切线;
    (2)根据△POB≌△POA得出PB=PA,由已知条件“BD=2PA”、等量代换可以求得BD=2PB;然后由相似三角形的对应边成比例可以求得BC=23PO,进而即可求解.
    【详解】(1)证明:如解图,连接OB.
    ∵BC//OP,
    ∴∠BCO=∠POA,∠CBO=∠POB.
    又∵OC=OB,
    ∴∠BCO=∠CBO,
    ∴∠POB=∠POA.
    在△POB与△POA中,
    OB=OA∠POB=∠POAPO=PO,
    ∴△POB≌△POA SAS.
    ∴∠PBO=∠PAO=90°,
    又∵OB是⊙O的半径,
    ∴PB是⊙O的切线;
    (2)解:∵△POB≌△POA,
    ∴PB=PA.
    ∵BD=2PA,
    ∴BD=2PB.
    ∵BC//OP,
    ∴△DBC∽△DPO,
    ∴BCPO=BDPD=23,
    ∴BC=23PO=23×32+42=103.
    【点睛】本题考查了切线的判定,要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.同时考查了全等三角形、相似三角形的判定与性质及勾股定理.
    33.(2023·四川攀枝花·统考二模)如图,⊙O是四边形ABCD的外接圆,AC是⊙O的直径,BE⊥DC,交DC的延长线于点E,CB平分∠ACE.

    (1)求证:BE是⊙O的切线;
    (2)若cs∠BAD=25,AC=10,求CE的长.
    【答案】(1)见解析
    (2)EC=85
    【分析】(1)连接OB,求出EC∥OB,然后得出OB⊥BE,根据切线的判定即可得出结论;
    (2)根据圆内接四边形的性质得出∠ECB=∠BAD,再证得△ECB∽△BCA,得出比例式ECBC=BCAC=25,从而可得结论
    【详解】(1)证明:连接OB,如图,
    ∵CB平分∠ACE,
    ∴∠BCA=∠ECB.
    ∵OB=OC,
    ∴∠OBC=∠BCA
    ∴∠ECB=∠OBC
    ∴EC∥OB
    ∵BE⊥DC
    ∴OB⊥BE.
    ∵OB为⊙O的半径,
    ∴BE是⊙O的切线;

    (2)∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形,
    ∴∠DCB+∠BAD=180°
    ∵∠DCB+∠ECB=180°
    ∴∠ECB=∠BAD.
    ∵cs∠BAD=25,
    ∴cs∠ECB=25,
    ∵BE⊥DC,
    ∴cs∠ECB=ECBC=25.
    ∵AC是⊙O的直径,
    ∴∠ABC=90°,
    ∴∠ABC=∠CEB=90°.
    ∵∠ECB=∠BCA,
    ∴△ECB∽△BCA,
    ∴ECBC=BCAC=25,
    ∴BC10=25,
    ∴BC=4
    ∴EC4=25,
    ∴EC=85,
    【点睛】本题考查了切线的判定,圆内接四边形的性质,相似三角形的判定与性质以及三角函数等知识,正确地作出辅助线是解题的关键.
    34.(2022·湖北鄂州·统考中考真题)如图,△ABC内接于⊙O,P是⊙O的直径AB延长线上一点,∠PCB=∠OAC,过点O作BC的平行线交PC的延长线于点D.

    (1)试判断PC与⊙O的位置关系,并说明理由;
    (2)若PC=4,tanA=12,求△OCD的面积.
    【答案】(1)PC与⊙O相切,理由见解析
    (2)9
    【分析】(1)先证明∠ACB=90°,然后推出∠PCB=∠OCA,即可证明∠PCO=90°即可;
    (2)先证明BCAC=12,再证明△PBC∽△PCA,从而求出PA=4,PB=1,AB=3,OC=OB=32,OP=52,最后证明△PBC∽△POD,求出PD=10,则CD=6,由此求解即可.
    【详解】(1)解:PC与⊙O相切,理由如下:
    ∵AB是圆O的直径,
    ∴∠ACB=90°,
    ∴∠OCB+∠OCA=90°,
    ∵OA=OC,
    ∴∠OCA=∠OAC,
    ∵∠PCB=∠OAC,
    ∴∠PCB=∠OCA,
    ∴∠PCB+∠OCB=∠OCA+∠OCB=90°,即∠PCO=90°,
    ∴PC与⊙O相切;
    (2)解:∵∠ACB=90°,tanA=12,
    ∴BCAC=12,
    ∵∠PCB=∠OAC,∠P=∠P,
    ∴△PBC∽△PCA,
    ∴PCPA=PBPC=BCCA=12,
    ∴PA=8,PB=2,
    ∴AB=6,
    ∴OC=OB=3,
    ∴OP=5,
    ∵BC∥OD,
    ∴△PBC∽△POD,
    ∴PBOP=PCPD,即25=4PD,
    ∴PD=10,
    ∴CD=6,
    ∴S△OCD=12OC⋅CD=9.
    【点睛】本题主要考查了切线的判定,等边对等角证明,解直角三角形,直径所对的圆周角是直角,相似三角形的性质与判定等等,熟练掌握圆切线的判定是解题的关键.
    35.(2023·辽宁·统考一模)如图,AD是⊙O的直径,点E是⊙O上一点,过点E的直线交AD的延长线于点B,过A作BE的垂线,垂足为C,交⊙O于点G,且E为DG的中点.
    (1)求证:BC是⊙O的切线;
    (2)若AC+GC=6,求⊙O的直径.
    【答案】(1)证明见解析;(2)⊙O的直径为6.
    【分析】(1)根据题意连接OE,通过证明OE⊥BC即可得到BC是⊙O的切线;
    (2)根据题意连接DE,GE,过E作EH⊥AB于点H,通过证明RtΔACE≅RtΔAHE,RtΔGCE≅RtΔDHE,进而即可得解.
    【详解】(1)证明:如下图,连接OE,

    ∵OA=OE,
    ∴∠OAE=∠OEA,
    ∵E为DG的中点,
    ∴EG=DE,
    ∴∠OAE=∠CAE,
    ∴∠OEA=∠CAE,
    ∴OE//AC,
    ∵AC⊥BC,
    ∴OE⊥BC,
    ∵OE是⊙O半径,
    ∴BC是⊙O的切线;
    (2)解:如下图,连接DE,GE,过E作EH⊥AB于点H,
    ∵E为DG的中点,
    ∴DE=GE,
    由(1)知∠OAE=∠CAE,
    ∵AC⊥BC,EH⊥AB,
    ∴CE=EH,
    ∴RtΔACE≅RtΔAHE,RtΔGCE≅RtΔDHE,
    ∴AC=AH,DH=CG,
    ∴AD=AH+HD=AC+CG=6,
    即⊙O的直径为6.
    【点睛】本题主要考查了切线的判定及三角形全等的应用,熟练掌握相关证明辅助线作法是解决本题的关键.
    【能力提升】
    36.(2023上·湖南湘西·九年级校考期中)如图,AC与⊙O相切于点C,AB经过⊙O上的点D,BC交⊙O于点E,DE∥OA,CE是⊙O的直径.
    (1)求证:AB是⊙O的切线;
    (2)如果AC=3,BC=4,
    ①求BD的长;
    ②求⊙O的半径.
    (3)求C、D两点间的距离.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)①BD=2;②⊙O的半径是32
    (3)CD=655
    【分析】(1)连接OD,根据等腰三角形的性质得出∠OED=∠ODE,根据平行线的性质得出∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD,即可得出∠AOC=∠AOD,进而证得△AOD≌△AOC,得到∠ADO=∠ACB=90°,即可证得结论;
    (2)①先由勾股定理求得AB的长,然后再求得BD的长.
    ②在Rt△OBD中,利用勾股定理可解得半径.
    (3)先由勾股定理求得OA的长度,然后再利用S四边形OCAD=12OA⋅CD与S四边形OCAD=2S△OCA可求得CD的长.
    【详解】(1)证明:连接OD,如图:
    ∵OE=OD,
    ∴∠OED=∠ODE,
    ∵DE∥OA,
    ∴∠OED=∠AOC,∠ODE=∠AOD,
    ∴∠AOC=∠AOD.
    在△AOD和△AOC中,AO=AO∠AOD=∠AOCOD=OC,
    ∴△AOD≌△AOCSAS,
    ∴∠ADO=∠ACO,
    ∵AC与⊙O相切,
    ∴∠ADO=∠ACO=90°,
    又∵OD是⊙O的半径,
    ∴AB是⊙O的切线;
    (2)①∵△AOD≌△AOC
    ∴AD=AC=3,又BC=4
    ∴在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=32+42=5,
    ∴BD=AB−AD=5−3=2
    ②设⊙O的半径OC=OD=r,则OB=BC−OC=4−r
    在Rt△OBD中,OD2+BD2=OB2,
    即:r2+22=4−r2,解得:r=32
    ∴⊙O的半径是32.
    (3)连接CD
    ∵AC=AD,OC=OD,
    ∴OA垂直平分CD.
    ∴S四边形OCAD=12OA⋅CD
    ∵OA=AC2+OC2=32+322=325
    S四边形OCAD=2S△OCA=2×12×OC×AC=32×3=92
    ∴92=12×325×CD
    ∴CD=655
    【点睛】本题主要考查了等边对等角、平行线的性质、切线的性质与判定、全等三角形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等,解题的关键是熟知相关的性质与定理并能综合解题.
    37.(2023上·江苏苏州·九年级校联考阶段练习)如图,线段AB经过⊙O的圆心O,交⊙O于A、C两点,BC=1,AD为⊙O的弦,连接BD,∠BAD=∠ABD=30°,连接DO并延长交⊙O于点E,连接BE交⊙O于点M.
    (1)求证:直线BD是⊙O的切线;
    (2)求⊙O的半径OD的长;
    (3)求线段BM的长.
    【答案】(1)见解析
    (2)1
    (3)377
    【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAD=∠ADO=30°,求出∠DOB=60°,求出∠ODB=90°,根据切线的判定推出即可;
    (2)根据直角三角形的性质得到OD=12OB,于是得到结论;
    (3)解直角三角形得到DE=2,BD=3,根据勾股定理得到BE=BD2+DE2=7,根据圆周角定理可证△BMD∽△BDE,根据BDBC=BMBD即可得到结论.
    【详解】(1)证明:∵OA=OD,∠BAD=∠ABD=30°,
    ∴∠BAD=∠ADO=30°,
    ∴∠DOB=∠DAO+∠ADO=60°,
    ∴∠ODB=180°−∠DOB−∠ABD=180°−60°−30°=90°,
    ∵OD是⊙O的半径,
    ∴直线BD是⊙O的切线;
    (2)由(1)可知∠ODB=90°,
    在△ODB中,∠ABD=30°,
    ∴OD=12OB,
    ∵OC=OD,
    ∴BC=OC=1,
    ∴⊙O的半径OD的长1;
    (3)如图,连接DM,
    ∵OD=1,
    ∴DE=2,BD=3,
    ∴BE=BD2+DE2=7,
    ∵DE为⊙O的直径,
    ∴∠DME=90°,
    ∴∠E+∠MDE=90°,
    ∵∠BDE=90°,
    ∴∠MDE+∠BDE=90°,
    ∴∠MBD=∠DBE,
    ∴△BMD∽△BDE,
    ∴BDBC=BMBD,
    ∴BD2=BM⋅BE,
    ∴BM=BD2BE=37=377.
    【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质,切线的判定和性质,圆周角定理,直角三角形的性质,勾股定理,切割线定理,正确的识别图形是解题的关键.
    38.(2023上·广东珠海·九年级校考阶段练习)如图,AB是圆O的直径,O为圆心,AD、BD是半圆的弦,且∠PDA=∠PBD.延长PD交圆的切线BE于点E.

    (1)判断直线PD是否为⊙O的切线,并说明理由;
    (2)如果∠BED=60°,PD=3,求PA的长.
    (3)在(2)的条件下,将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF,点F正好在圆O上,如图2,求证:四边形DFBE为菱形.
    【答案】(1)PD是⊙O的切线,理由见解析;
    (2)1;
    (3)证明见解析.
    【分析】本题考查了切线的性质和判定,正切,菱形的判定,平行线的判定,对称,同弧所对的圆周角相等,含30度角的直角三角形性质,切线长定理。
    (1)连接OD,由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°,进而求得∠ADO+∠PDA=90°,即可得出直线PD为⊙O的切线;
    (2)求出∠P=30°,解直角三角形求出OD,根据含30°角直角三角形求出即可;
    (3)根据折叠和已知求出∠P=∠ABF,根据平行线的判定推出DE∥BF,求出DF⊥AB,BE⊥AB,推出DF∥BE,求出ED=EB,根据切线长定理可得,BE=DE,进而结论得证.
    【详解】(1)直线PD为⊙O的切线,理由如下:
    如图1,连接OD,
    ∵AB是⊙O的直径,
    ∴∠ADB=90°,
    ∴∠ADO+∠BDO=90°,
    ∵DO=BO,
    ∴∠BDO=∠PBD
    ∵∠PDA=∠PBD,
    ∴∠BDO=∠PDA,
    ∴∠ADO+∠PDA=90°,即PD⊥OD,
    ∵OD是⊙O的半径,
    直线PD为⊙O的切线;
    (2)∵BE为⊙O切线,
    ∴∠PBE=90°,
    ∵∠BED=∠60°,
    ∴∠P=90°−∠BED=90°−60°=30°,
    在Rt△PDO中,∠PDO=90°,PD=3,
    ∴OD=PD×tan30°=3×33=1,
    PO=2OD=2,
    ∵OA=OD=1,
    ∴PA=PO−OA=2−1=1;
    (3)如图2,连接OD,
    由题意得:∠ADF=∠PDA,∠APD=∠AFD,
    ∴∠PDA=∠PBD,
    ∵∠ADF=∠ABF,∠PAD=∠DAF,
    ∴∠ADF=∠AFD=∠BPD=∠ABF,
    ∴∠APD=∠ABF,
    ∴AD=AF,BF∥PD,
    ∴DF⊥PB,
    ∵BE为切线,
    ∴BE⊥PB,
    ∴DF∥BE,
    四边形DFBE为平行四边形,
    ∵PE、BE为切线,
    ∴BE=DE,
    四边形DFBE为菱形.
    39.(2023上·江苏泰州·九年级泰州市第二中学附属初中校考阶段练习)欧几里得,古希腊数学家,被称为“几何之父”,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛的认为是历史上最成功的教科书.他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题:“由已知点作直线切于已知圆”.如图,设A是已知点,小圆O为已知圆.具体作法是:以O为圆心,OA为半径作大圆O,连接OA交小圆O于点B,过B作BC⊥OA,交大圆O于点C,连接OC,交小圆O于点D,连接AD,则AD是小圆O的切线.

    (1)为了说明这一方法的正确性,需要对其进行证明,如下给出了不完整的“已知”和“求证”,请补充完整,并写出“证明”的过程;
    已知:如图,点A,C和点B,D分别在以O为圆心的同心圆上,______.
    求证:______.
    证明:
    (2)如图1,OA长不变,改变小圆O的半径,延长AD交大圆O于点F,CB延长线交大圆O于点E,当EF经过圆心O时,求OB:OA的值;

    (3)在(2)中,若改变小圆O的半径时,EF与小圆O相切,直接写出∠A的度数.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)12
    (3)18°
    【分析】(1)通过证明三角形全等即可得到∠ODA=∠OBC,从而证明切线.
    (2)证明∠AOC=∠FOC=∠AOE,结合∠EOF=180°,可得∠AOE=60°,从而可得答案;
    (3)如图,由EF,CB,AD都为小圆O的切线,记EF与小圆O的切点为H,证明∠A=∠C=∠OFD=∠OFH=∠OEH=∠OEB,可得∠FOH=∠EOH=∠AOE=∠AOC=∠COE=360°5=72°,可得∠A=90°−72°=18°.
    【详解】(1)已知:如图,点A,C和点B,D分别在以O为圆心的同心圆上,CB⊥OA
    求证:AD是小圆O的切线
    证明:∵点A,C和点B,D分别在以O为圆心的同心圆上,
    ∴OA=OC,OB=OD.
    在△OAD和△OCB中OA=OC∠O=∠OOD=OB,
    ∴△OAD≌△OCB,
    ∴∠ODA=∠OBC,
    ∵CB⊥OA,
    ∴∠OBC=90°,
    ∴∠ODA=90°,
    ∴AD是小圆O的切线.
    (2)由(1)得:∠ODA=∠OBC=90°,OC=OB,OA=OF,
    ∴∠AOC=∠AOE,∠AOC=∠FOC,
    ∴∠AOC=∠FOC=∠AOE,
    ∵∠EOF=180°,
    ∴∠AOE=60°,
    ∴cs∠AOE=cs60°=OBOE=OBOA=12.
    (3)如图,∵EF,CB,AD都为小圆O的切线,记EF与小圆O的切点为H,
    ∴∠OEB=∠OEF,∠OFD=∠OFH,

    ∵OA⊥BC,OC⊥AD,OA=OC=OF=OE,
    ∴∠OEB=∠C,∠OFD=∠A,
    ∴∠A=∠C=∠OFD=∠OFH=∠OEH=∠OEB,
    而OH⊥EF,
    ∴∠FOH=∠EOH=∠AOE=∠AOC=∠COE=360°5=72°
    ∴∠A=90°−72°=18°.
    【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质,全等三角形的判定与性质,切线的判定与性质,锐角三角函数的应用,作出适当的辅助线是解本题的关键.
    40.(2023上·江苏无锡·九年级无锡市天一实验学校校考期中)【学习心得】
    (1)小雯同学在学习完“圆”这一章内容后,感觉到一些几何问题如果添加辅助圆,运用圆的知识解决,可以使问题变得非常容易.
    例如:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D是△ABC外一点,且AD=AC,求∠BDC的度数.若以点A为圆心,AB长为半径作辅助圆⊙A,则C,D两点必在⊙A上,∠BAC是⊙A的圆心角,∠BDC是⊙A的圆周角,则∠BDC=______°.
    【初步运用】
    (2)如图2,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,∠BDC=24°,求∠BAC的度数;
    【方法迁移】
    (3)如图3,已知线段AB和直线l,用直尺和圆规在l上作出所有的点P,使得∠APB=30°(不写作法,保留作图痕迹);
    【问题拓展】
    (4)①如图4①,已知矩形ABCD,AB=2,BC=m,M为边CD上的点.若满足∠AMB=45°的点M恰好有两个,则m的取值范围为______.
    ②如图4②,在△ABC中,∠BAC=45°,AD是BC边上的高,且BD=6,CD=2,求AD的长.
    【答案】(1)45;(2)24°;(3)见解析;(4)①2≤m<1+2;②27+4
    【分析】本题是圆的综合题,考查了等边三角形的性质、圆周角定理、作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、垂径定理等知识.
    (1)由圆周角定理可得出答案;
    (2)取BD的中点O,连接AO、CO.由直角三角形的性质证明点A、B、C、D共圆,由圆的性质得出∠BDC=∠BAC,则可得出答案;
    (3)作出等边三角形OAB,由圆周角定理作出图形即可;
    (4)①在BC上截取BF=BA=2,连接AF,以AF为直径⊙O,由图形可知BF≤m【详解】解:(1)∵∠BAC是⊙A的圆心角,∠BDC是⊙A的圆周角,∠BAC=90°,
    ∴∠BDC=12∠BAC=45°;
    故答案为:45;
    (2)如图2,BD的中点O,连接AO、CO.
    ∵∠BAD=∠BCD=90°,
    ∴OA=12BD,OC=12BD,
    ∴OA=OB=OC=OD,
    ∴点A、B、C、D共圆,
    ∴∠BDC=∠BAC,
    ∵∠BDC=24°,
    ∴∠BAC=24°;
    (3)作图如下:由图知,∠AP1B=∠AOB=30°;同理∠AP2B=30°.
    (4)①4≤m<2+22.
    在BC上截取BF=BA=2,连接AF,以AF为直径⊙O,⊙O交AD于E,交BC于F,连接EF,过圆心O作OG⊥EF于H且交圆O于G,过G作⊙O的切线KQ交AD于K交BC于Q,如图所示:
    ∵BA=BF=2,
    ∴AF=22,
    ∴⊙O的半径为2,即OF=OG=2,
    ∵OG⊥EF,
    ∴FH=1,
    ∴OH=1,
    ∴GH=2−1,
    ∴BF≤m∴2≤m<2+2−1,即2≤m<1+2,
    故答案为:2≤m<1+2;
    ②如图,作△ABC的外接圆,过圆心O作OE⊥BC于点E,作OF⊥AD于点F,连接OA、OB、OC.
    ∵∠BAC=45°,
    ∴∠BOC=90°.
    在Rt△BOC中,BC=6+2=8,
    ∴BO=CO=42.
    ∵OE⊥BC,O为圆心,
    ∴BE=CE=12BC=4,
    ∴DE=OF=2.
    在Rt△BOE中,BO=42,BE=4,
    ∴DF=OE=BO2−BE2=4.
    在Rt△AOF中,AO=BO=42,OF=2,
    ∴AF=OA2−OF2=27,
    ∴AD=27+4.

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