2022年中考数学一轮复习训练：解直角三角形（Word版含答案）

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考点1 解直角三角形
1.[2021云南]在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sin A=35,则AB的长是( )
A.5003B.5035C.60D.80
2.[2020贵州遵义中考改编]构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现,在计算tan 15°时,如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=30°,延长CB使BD=AB,连接AD,得∠D=15°,所以tan 15°=ACCD=12+3.类比这种方法,计算1tan22.5°的值为( )
A.2+1B.2-1C.2D.12
3.[2021安庆模拟]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知cs A=45,则sin∠DCB的值为( )
A.925B.45C.35D.1625
4.[2021淮南模拟]已知sin A=12,则锐角∠A= .
5.[2021安庆模拟]如图,已知在△ABC中,BC=2AC,∠BCA=135°,则tan A的值为 .
6.[2021上海]如图,已知在△ABD中,AC⊥BD,BC=8,CD=4,cs∠ABC=45,BF为AD边上的中线.
(1)求AC的长;
(2)求tan∠FBD的值.
考点2 解直角三角形的实际应用
7.[2021湖北十堰]如图,小明利用一个锐角是30°的三角板测操场旗杆的高度,已知他与旗杆之间的水平距离BC为15 m,AB为1.5 m(即小明的眼睛与地面的距离),那么旗杆的高度是( )
A.(153+32)m
B.53 m
C.153 m
D.(53+32)m
8.[2021浙江金华]如图是一架人字梯,已知AB=AC=2米,AC与地面BC的夹角为α,则两梯脚之间的距离BC为( )
A.4cs α米
B.4sin α米
C.4tan α米
D.4csα 米
9.[2021山东泰安]如图,为了测量某建筑物BC的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发,沿斜坡AD行走130米至坡顶D处,再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处,在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°,建筑物底端B的俯角为45°,点A,B,C,D,E在同一平面内,斜坡AD的坡度i=1∶2.4.根据小颖的测量数据,计算出建筑物BC的高度约为(参考数据:3≈1.732)( )
A.136.6米B.86.7米
C.186.7米D.86.6米
10.[2021湖北随州]如图,某梯子长10米,斜靠在竖直的墙面上,当梯子与水平地面所成角为α时,梯子顶端靠在墙面上的点A处,底端落在水平地面的点B处,现将梯子底端向墙面靠近,使梯子与地面所成角为β,已知sin α=cs β=35,则梯子顶端上升了( )
A.1米
B.1.5米
C.2米
D.2.5米
11.如图,一辆汽车在A处测得东北方向(北偏东45°)有一古建筑C,汽车向正东方向以每小时40千米的速度行驶1小时到达B处时,又观测到古建筑C在北偏东16°方向上,求此时汽车与古建筑相距多少千米.(结果精确到0.1千米.sin 45°≈0.71,sin 61°≈0.87,cs 61°≈0.48,tan 61°≈1.80)
12.如图,某小区两栋高楼AB和CD之间有一棵古树EF,从楼顶C处经过树顶E点恰好看到楼AB的底部B点,且俯角α为30°.从楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到楼AB的顶部A点,且仰角β为37°.已知楼CD的高度为123 米,求古树EF的高度.(结果精确到0.1米.参考数据:3≈1.73,sin 37°≈0.60,cs 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
13.如图,某大楼上竖立一块高为3米的广告牌CD.数学活动课上,立新老师带领小燕同学和小娟同学测量楼DH的高.测角仪支架高AE=BF=1.2米,小燕在E处测得广告牌的顶点C的仰角为22°,小娟在F处测得广告牌的底部点D的仰角为45°,AB=45米.请你根据两位同学测得的数据,求楼DH的高.(结果取整数,参考数据:sin 22°≈0.37,cs 22°≈0.93,tan 22°≈0.40)
14.因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园,“国庆黄金周”期间,游人络绎不绝,现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览.如图,当船在A处时,船上游客发现岸上P1处的临皋亭和P2处的遗爱亭都在东北方向;当游船向正东方向行驶600 m到达B处时,游客发现遗爱亭在北偏西15°方向;当游船继续向正东方向行驶400 m到达C处时,游客发现临皋亭在北偏西60°方向.
(1)求A处到临皋亭P1处的距离;
(2)求临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离.(计算结果保留根号)
参考答案
1.D 如图,在Rt△ABC中,sin A=BCAC=35,所以BC=35AC=35×100=60,故AB=AC2-BC2=1002-602=80.
2.A 如图,在Rt△ACB中,∠C=90°,∠ABC=45°,延长CB至点D,使BD=AB,连接AD,得∠D=22.5°.设AC=BC=1,则AB=BD=2,∴tan 22.5°=ACCD=11+2,∴1tan22.5°=2+1.
3.C
4.30°
5.12 如图,过点B作BD⊥AC交AC的延长线于点D,则∠BCD=45°,∴BD=CD=22BC.又AC=22BC,∴BD=CD=AC.设AC=k,则BD=k,AD=2k,∴tan A=BDAD=12.
6.解:(1)∵AC⊥BD,cs∠ABC=45,
∴AB=BCcs∠ABC=845=10,
∴AC=AB2-BC2=6.
(2)过点F作FG⊥BD于点G.
∵BF为AD边上的中线,
∴点F是AD的中点.
∵FG⊥BD,AC⊥BD,
∴FG∥AC,∴CG=DG=2,
∴FG是△ACD的中位线,
∴FG=12AC=3,
∴tan∠FBD=FGBG=38+2=310.
7.D 由题意可知四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=15 m,CD=AB=32 m.在Rt△ADE中,∠EAD=30°,AD=15 m,∴DE=AD·tan∠EAD=15×33=53(m),∴CE=CD+DE=(53+32)m.
8.A 过点A作BC的垂线,垂足为点D.在Rt△ACD中,CD=AC×cs α=2cs α.∵AB=AC,AD⊥BC,∴BC=2CD=4cs α.
9.A 如图,过点D作DH⊥AB于点H,延长DE交BC于点F.∵在Rt△ADH中,AD=130米,DH∶AH=1∶2.4,∴DH=50米.由题意可得,DF⊥BC,易知四边形DHBF是矩形,∴BF=DH=50米.在Rt△EFB中,∠BEF=45°,∴EF=BF=50米.在Rt△EFC中,FC=EF·tan 60°=50×3≈86.6(米),∴BC=BF+CF=50+86.6=136.6(米).故选A.
10.C 如图,由题意可知AB=DE=10米.在Rt△ABC中,AC=sin α×AB=35×10=6(米).在Rt△DEC中,DC=cs β×DE=35×10=6(米),∴EC=DE2-DC2=102-62=8(米),∴AE=EC-AC=8-6=2(米),即梯子顶端上升了2米.
11.解:如图,过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中,易知∠BAD=45°,AB=40,
∴BD=AB·sin 45°≈28.4.
在Rt△BDC中,∠CBD=45°+16°=61°,
∴BC=BDcs61°≈59.2.
答:此时汽车与古建筑相距约59.2千米.
12.解:由题意可知EF⊥BD,CD⊥BD,∠CBD=α=30°.
在Rt△CBD中,tan∠CBD=CDBD,∴tan 30°=CDBD,
∴BD=CD33=12333=36(米).
设EF=x米.在Rt△EFD中,tan∠EDF=EFDF,
∴tan 37°=EFDF,∴DF≈EF0.75=4x3(米),
∴BF=BD-DF=(36-4x3)米.
在Rt△EFB中,tan∠EBF=EFBF,
∴tan 30°=x36−4x3,解得x≈11.7.
答:古树EF的高度约为11.7米.
13.解:如图,连接EF并延长交CH于点G,则∠CGF=90°.
∵∠DFG=45°,∴DG=FG.
设DG=x米,则CG=DG+CD=(x+3)米,EG=FG+EF=(x+45)米.
在Rt△CEG中,tan∠CEG=CGEG,
∴tan 22°=x+3x+45,∴0.4≈x+3x+45,∴x=25,
∴DH=DG+GH=25+1.2≈26(米).
答:楼DH的高约为26米.
14.解:(1)依题意知∠P2AB=45°,∠P2BA=75°,∠P1CA=30°.
如图(1),过点P1作P1M⊥AC于点M.
设P1M=x m,则在Rt△AP1M中,AM=P1M=x m,∴AP1=2x m.
在Rt△P1MC中,P1C=2P1M=2x m,MC=3x m.
又∵AC=AB+BC=AM+MC,
∴600+400=x+3x,∴x=500(3-1),
∴AP1=2×500(3-1)=(5006-5002)(m),
故点A处到临皋亭P1处的距离为(5006-5002)m.

图(1) 图(2)
(2)如图(2),过点B作BN⊥AP2于点N.
在Rt△ABN中,∠ABN=45°,
∴AN=BN=AB2=6002=3002(m).
在Rt△NP2B中,∠NBP2=30°,
∴NP2=NB3=30023=1006(m),
∴AP2=AN+NP2=(3002+1006)m,
∴P1P2=AP2-AP1=3002+1006-5006+5002=(8002-4006)(m),
∴临皋亭P1处与遗爱亭P2处之间的距离为(8002-4006)m.