初中数学沪科版九年级上册22.3 相似三角形的性质教案及反思

第2课时　相似三角形的应用

教学目标

1．进一步巩固相似三角形的知识．

2．能够运用三角形相似的知识，解决不能直接测量物体的长度和高度(如测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题)等一些实际问题．

3．通过把实际问题转化成有关相似三角形的数学模型，进一步了解数学建模的思想，培养学生分析问题、解决问题的能力．

教学重难点

运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度；灵活运用三角形相似的知识解决实际问题．

教学过程

导入新课

【导语一】 1.判定两三角形相似有哪些方法？

2．相似三角形有什么性质？

【导语二】 胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世界古代七大奇观之一”．塔的4个斜面正对东南西北四个方向，塔基呈正方形，每边长230多米．据考证，为建成大金字塔，共动用了10万人花了20年时间．金字塔原高146.59米，但由于经过几千年的风吹雨打，顶端被风化腐蚀，所以高度有所降低．

埃及著名的考古专家穆罕穆德决定重新测量胡夫金字塔的高度．在一个烈日高照的上午，他和儿子小穆罕穆德来到了金字塔脚下，他想考一考年仅14岁的小穆罕穆德．

给你一条2米高的木杆，一把皮尺，你能利用所学知识来测出塔高吗？

推进新课

一、合作探究

 【问题1】 据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．

如图所示，为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较棒子的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB.

【问题2】 如果O′B′＝1，A′B′＝2，AB＝274，求金字塔的高度OB.

分析：由于太阳光是平行光线，

因此∠OAB＝∠O′A′B′.

又因为∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，

所以△OAB∽△O′A′B′，OB∶O′B′＝AB∶A′B′，OB＝＝＝137(米)，即该金字塔高为137米．

点拨：在实际测量物体的高度、宽度时，关键是要构造和实物所在三角形相似的三角形，而且要能测量已知三角形的线段的长，运用相似三角形的性质列出比例式求解．

【问题3】 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选点B和C，使AB⊥BC，然后再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.

解法一：此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.

因为∠ADB＝∠EDC，∠B＝∠C＝90°，

所以△ABD∽△ECD.

那么＝，解得AB＝＝＝100(米)．

答：两岸间的大致距离为100米．

解法二：我们在河对岸选定一目标点A，在河的一边选点D和E，使DE⊥AD，然后选点B，作BC∥DE，与视线EA相交于点C.此时，测得DE，BC，BD，就可以求两岸间的大致距离AB了．

此时如果测得DE=120米，BC=60米，BD=50米，求两岸间的大致距离AB.

点拨：通过解决测量问题，培养学生学习数学的兴趣，让学生探究解决问题的方法．

【问题4】已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB＝8 m和CD＝12 m，两树的根部的距离BD＝5 m，一个身高1.6 m的人沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C?

分析：AB⊥l，CD⊥l⇒AB∥CD，△AFH∽△CFK＝，即＝＝，解得FH＝8.

点拨：关键是把生活中的实际问题转化为数学问题，转化的方法之一是画数学示意图，在画图的过程中可以逐渐明确问题中的数量关系与位置关系，进而形成解题思路．

二、巩固提高

1．在同一时刻物体的高度与它的影长成正比例．在某一时刻，有人测得一高为1.8米的竹竿的影长为3米，某一高楼的影长为60米，那么高楼的高度是多少米？

2．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网5米的位置上，求球拍击球的高度h.(设网球是直线运动)

3．如图，小明想测量一颗大树AB的高度，发现树的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，测得CD＝4 m，BC＝10 m，CD与地面成30度角，且测得1米竹杆的影子长为2米，那么树的高度是多少？

三、拓展延伸

1．数学兴趣小组测校内一棵树高，有以下两种方法：

方法一：如图，把镜子放在离树(AB)8 m点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.8 m，观察者目高CD＝1.6 m；

方法二：如图，把长为2.40 m的标杆CD直立在地面上，量出树的影长为2.80 m，标杆影长为1.47 m.

分别根据上述两种不同方法求出树高(精确到0.1 m)．

2．怎样利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度？

本课小结

1．在实际生活中，我们面对不能直接测量物体的高度和宽度时，可以把它们转化为数学问题，建立相似三角形模型，再利用对应边的比相等来达到求解的目的．

2．利用太阳光测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决：物高1∶物高2＝影长1∶影长2.

相似三角形在物理学上的应用

相似三角形在实际中的应用非常广泛，尤其与物理学的联系非常紧密．下面举例说明相似三角形在物理学上的实际应用．

【例1】 如图所示，慢慢将电线杆竖起，如果所用力F的方向始终竖直向上，则电线杆竖起过程中所用力的大小将(　　)．

A．变大    B．变小    C．不变   D．无法判断

解析：由物理知识可知，电线杆竖起的过程，实质上相当于以O为支点，以F为动力，以电线杆重力G为阻力的杠杆运动．在电线杆竖起的过程中，动力臂OA，阻力臂OB是逐渐变化的．

∵AA′∥BB′，∴△OBB′∽△OAA′.∴＝.

而是定值，即也是定值．由杠杆平衡条件F·OA＝G·OB，得F＝G·.因此，动力F大小不变．故选C.

答案：C

【例2】 小华做小孔成像实验．如图，问蜡烛与成像板间的小孔纸板放在何处时，蜡烛焰AB是像A′B′的一半长，已知蜡烛与成像板间的距离为l.

解：由相似三角形可知△ABO∽△A′B′O，△AEO∽△A′FO.∴＝，＝.∴＝＝.

∴＝，＝.∴OE＝EF＝l.

故小孔纸板应放在距蜡烛l处．

奥赛链接

1．如图，△ABC被DE、FG分成面积相等的三部分(即S1＝S2＝S3)，且DE∥FG∥BC，BC＝，FG－DE等于(　　)．

A．－1      B．－

C．－     D．2－

解析：由相似三角形的性质，得DE∶FG∶BC＝1∶∶.设DE＝x，FG＝x，BC＝x，则x＝.

∴x＝.∴DE＝，FG＝2.∴FG－DE＝2－.

答案：D

2．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AC＝CD＝1，又E，D为CB的三等分点．

(1)问图中是否存在相似三角形，若存在，找出并证明相似的三角形；若不存在，试说明理由；

(2)比较∠ADC与∠AEC＋∠B的大小，试说明理由．

解：(1)存在△ADE∽△BDA.

证明：∵AC＝CD＝DE＝EB＝1，又∠C＝90°，

∴AD＝.则＝＝，＝.

∴＝.

而∠ADE＝∠BDA，∴△ADE∽△BDA.

(2)由(1)知△ADE∽△BDA，∴∠DAE＝∠B.

又∵∠ADC＝∠AEC＋∠DAE，

∴∠ADC＝∠AEC＋∠B.