初中数学沪科版九年级上册第21章 二次函数与反比例函数21.4 二次函数的应用教案设计

第3课时　二次函数的应用

教学目标

1．从现实情境和已有知识经验出发，通过描点、连线，理清是何种函数关系，从而求出解析式．

2．利用几何图形的性质列出函数解析式，根据所求解析式求出最值．

3．深刻体会转化以及方程思想、渗透数形结合思想．

教学重难点

根据实际问题找出函数模型及从几何图形中得出函数解析式．

教学过程

导入新课

复习回忆：

1．二次函数图象的特点及二次函数解析式的几种类型．

2．待定系数法求二次函数解析式的方法及最值求法．

推进新课

一、合作探究

1．从实际问题中提炼函数关系

行驶中的汽车，在制动后由于汽车惯性，还要向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“制动距离”．为了测定某型号汽车的制动性能，对其进行了测试，测得数据如下表：

【问题1】 请你以制动时车速的数据为横坐标(x值)，制动距离的数据为纵坐标(y值)，在直角坐标系中描出这些数据的点、连线，观察所画的函数的图象，你发现了什么？

让学生动手画图、探究，直观感知属于何种函数．

【问题2】 若把这个函数的图象看成是一条抛物线，你能求出此函数的解析式吗？

根据二次函数解析式的求法，让学生设出适当的解析式，进行求解．对于困难学生教师给予引导．

【问题3】 利用表中所给的数据，选择三对数据，求出它的函数关系式后，再用你留下的两对数据，验证一下你所得到的结论是否正确．

因为所画图象只是其中的一部分，我们不能确认此图象一定是抛物线．所以我们需要验证留下的两对数据是否满足所求抛物线的解析式，若满足，说明我们把此图象当作抛物线是正确的；若不满足，说明此图象不是二次函数的图象．

【问题4】 现有一辆该型号汽车在公路上发生了交通事故，现场测得制动距离为46.5 m，则交通事故发生时车速是多少？是否因超速(该公路最高时速为110 km/h)行驶导致了交通事故？

由所求二次函数的解析式，此题实际上是已知制动距离y＝46.5，求此时的车速x.显然，只需把y＝46.5代入解析式求出x即可，若车速x大于110 km/h，则为超速；否则不超速．

2．几何图形中的二次函数

一块三角形废料如图所示，∠C=90°，BC=8，∠A=30°.用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC、AB、BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？

此题可设计以下小问题：

(1)若设AE=x，你能表示出DE、EF的长吗？

(2)要使剪出的长方形CDEF面积最大，可设长方形CDEF面积为y，试建立y与x的函数关系式．

(3)根据所建立的函数关系式，求出长方形CDEF面积最大时x的值．

(4)根据你所求得x的值，能确定点E应选在何处吗？

二、巩固提高

1．某产品每件成本10元，试销阶段每件产品的销售价x(元)与产品的日销售量y(件)之间的关系如下表：

若日销售量y(件)是销售价x(元)的一次函数．

(1)求出日销售量y(件)与销售价x(元)的函数解析式；

(2)要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日的销售利润是多少元？

2．某商场在销售旺季临近时，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周(7天)涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售．

(1)请建立销售价格y(元)与周次x之间的函数关系；

(2)若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z(元)与周次x之间的关系为z＝－(x－8)2＋12，1≤x≤11，且x为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？

3．如图，要设计一个等腰梯形的花坛，花坛上底长120米，下底长180米，上下底相距80米，在两腰中点连线(虚线)处有一条横向甬道，上下底之间有两条纵向甬道，各甬道的宽度相等．设甬道的宽为x米．

(1)用含x的式子表示横向甬道的面积；

(2)当三条甬道的面积是梯形面积的八分之一时，求甬道的宽；

(3)根据设计的要求，甬道的宽不能超过6米．如果修建甬道的总费用(万元)与甬道的宽度成正比例关系，比例系数是5.7，花坛其余部分的绿化费用为每平方米0.02万元，那么当甬道的宽度为多少米时，所建花坛的总费用最少？最少费用是多少万元？

本课小结

1．能发现、提炼日常生活中可以利用函数关系式来解决的实际问题，并能用语言表述问题及解决问题的过程．

2．能从几何图形中得出函数关系式，并能用函数关系式求几何问题中的最值问题．

3．学会建立数学模型的思想方法及用函数思想解决几何问题的思想方法．

与二次函数有关的探索性问题

探索性问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、分析问题和解决问题的能力，因而倍受关注．现举例予以说明．

一、条件探索型

条件探索型题的特征是给出了结论，要求探索使该结论成立所具备的条件．解题时，一般需要从结论出发，逆向思维解题(即执果索因)．

【例1】 若二次函数y＝x2－4x＋c的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c＝__________.(只要求写出一个)

解析：本题答案不唯一，抛物线y＝x2－4x＋c与x轴没有交点，可知一元二次方程x2－4x＋c＝0没有实数根，Δ＝16－4c＜0，即c＞4(c为整数)，所以c为大于4的所有整数，如5、6、7……等．

答案：6

二、结论探索型

结论探索型题是指在一定的条件下无结论或结论不明确，需要探索发现与之相应的结论的题目，解结论探索型题的方法是由因导果．

【例2】 请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：①开口向下，②当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小．这样的二次函数的解析式可以是____________．

解析：本题答案不唯一，只要满足a＜0，且对称轴为x＝2即可，如y＝－(x－2)2－1等．

三、存在性探索型

存在性探索型题是指在一定的前提下，需探索发现某种数学关系是否存在的题目．解存在性探索型题先假设要探索的问题存在，继而进行推导与计算，若得出矛盾或错误的结论，则不存在，反之即为所求的结论．

【例3】 已知抛物线y＝－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)，交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)，交y轴的正半轴于C点，且x1＜x2，|x1|＞|x2|，OA2＋OB2＝2OC＋1.

(1)求抛物线的解析式；

(2)是否存在与抛物线只有一个公共点C的直线．如果存在，求符合条件的直线的表达式；如果不存在，请说明理由．

分析：(1)用到的知识点有：二次函数与一元二次方程的关系，根与系数关系，代数式的恒等变形，不等式等知识点，抛物线与x轴交点的横坐标为方程－x2＋(m－2)x＋3(m＋1)＝0的两个根，由根与系数的关系对已知等式进行变形求得m的两个值，由x1＜x2得到m的取值范围，进而确定m的值，得到函数解析式．

(2)分两种情况：当过点C的直线和抛物线相交时，此直线为y轴；当直线与抛物线相切时，设过C点的直线解析式为y＝kx＋b，两解析式联立得到的方程组只有一组实数解，说明判别式等于0，求得k值，得到直线解析式．

解：(1)由条件知AO＝|x1|＝－x1，OB＝|x2|＝x2，OC＝3(m＋1)，

∵OA2＋OB2＝2OC＋1，

x＋x＝6(m＋1)＋1，

(x1＋x2)2－2x1x2＝6(m＋1)＋1，

(m－2)2＋6(m＋1)＝6(m＋1)＋1，

得m1＝3，m2＝1.

∵x1＜x2，|x1|＞|x2|，

∴x1＋x2＝m－2＜0.

∴m＝1.

∴函数的解析式为y＝－x2－x＋6.

(2)存在与抛物线只有一个公共点C的直线．

则C点的坐标为(0,6)．

①当直线过C(0,6)且与x轴垂直时，直线与抛物线只有一个公共点，

∴直线x＝0.

②设过C点的直线为y＝kx＋b，与抛物线y＝－x2－x＋6只有一个公共点C，

当x＝0时，b＝6，

∴y＝kx＋6.

即

只有一个实数解．

∴x2＋(k＋1)x＝0.

∵Δ＝0，

∴(k＋1)2＝0.

∴k＝－1.

∴y＝－x＋6.

∴符合条件的直线的表达式为y＝－x＋6或x＝0.