初中数学沪科版八年级下册17.4 一元二次方程的根与系数的关系教学设计及反思

《17.4 一元二次方程的根与系数的关系》

教学目标：

1．知识技能：掌握一元二次方程根和系数的关系，能不解方程求出一元二次方程的两根和与两根积．能利用一元二次方程根与系数的关系来判断已知两数是否是原方程的根，能灵活解决一些简单的有关一元二次方程的问题．

2．过程与方法：经过小组讨论和从特殊到一般的数学认知过程的体会．

3．情感态度价值观：利用韦达定理渗透爱国主义精神，激发学生发现问题，提高学生解决问题的能力．

教学重点：

一元二次方程根与系数的关系．

教学难点：

韦达定理的论证．

教学过程：

一、复习

1、一元二次方程的一般式？

，

2、一元二次方程有实数根的条件是什么？（

3、＞0，即△＞0，△=0，△＜0根的情况如何？

反过来，若方程有两个不相等的实数根，说明△怎么样等？

4、一元二次方程的求根公式．

二、引入

三、由求根公式可知，一元二次方程的根由系数、、确定，换句话就是说根与系数有关系，今天我们将进一步来学习并发现一元二次方程的根与系数到底还有没有其他关系．

思考填表：

解出下列各方程的两根和，并计算和的值．

三、新授

师：谁能发现两根和、两根积与系数的关系？

（两根和由一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数得到；而两根和是由常数项除以二次项系数所得）

若，，（假设成立）

则，

1、论证韦达定理

师：刚才列举了部分方程发现两根和、两根积与系数有这样的关系，那么是不是所有的一元二次方程根与系数都有关系呢？

（板书）证明：当△＞0时，由求根根式，

∴

当△=0时，

即

师：假设成立，这就是一元二次方程根与系数的关系，也称韦达定理，因为是法国数学家韦达最先发现的．

例：写出方程的两根和与两根积，并解方程检验其结果．

解：设方程的两根为，则：

检验：由求根公式

，

四、巩固练习

1、若一元二次方程有一个根为-1，则a、b、c的关系是______．

2、一元二次方程与的所有实数根的和等于____．

3、若α、β为实数且｜α+β－3｜+（2－αβ）2=0，则以α、为根的一元二次方程为               ．（其中二次项系数为1）

4、已知，，且，则        ．

5、已知关于的方程的两根之差等于6，那么______．