初中湘教版2.5 全等三角形教案设计

2.5  全等三角形

2.5.1全等三角形的概念和性质

（第17课时）

教学目标

1、说出怎样的两个图形是全等形，并会用符号表示两个三角形全等。

2、知道全等三角形的有关概念，会在两个全等三角形中正确找出对应顶点、对应边、对应角

3、会说出全等三角形的对应边、对应角相等的性质

教学准备（引导性材料）

让学生在举出（拿出、剪出图形）实际例子，感悟和感知全等图形。

教学过程

1、全等形：                                             

下面描述“全等形”的三种不同说法，哪种是恰当的？

①形状相同的两个图形叫全等形，

②大小相同的两个图形叫全等形

③能够完全重合的两个图形叫全等形

2、全等三角形的概念、表示方法

全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形

全等三角形中，互相重合的顶点叫对应顶点 ；互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角 。    

记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写 例如△ABC和△DEF全等,记作△ABC≌△DEF

3、三角形的全等变换

指导学生用自己制作的两个全等三角形作全等变换

4、全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等，对应角相等。

如果△ABC≌△DEF，那么AB=       ,BC=       ,AC=       ,

∠A=       ,∠B=        ,∠C=        .

P75 例题1

5、练习

①能够       的两个三角形叫全等三角形。互相重合的顶点叫     ，               叫对应边，               叫对应角。

②全等三角形的         相等，          相等。

③若△AOC≌△BOD，对应边                 ，对应角                      ；

若△ABC≌△CDA，对应边                   ，对应角                     ；

④若△ABC≌△DAE的对应边                ，对应角                 ；

⑤已知△ABC≌△DAE,∠C=∠E,BC=AE,

则两个全等三角形的其他对应边为       和      ，

     和    ；其他对应角为     和     ，    和     。

⑥  P76 练习

小结:

本节课学习了全等形、全等三角形相关概念及全等三角形的性质

作业：

    P87 习题 2.5 A组 1

2.5.2全等三角形的判定（SAS）

（第18课时）

教学目标：

1、使学生掌握SAS的内容，会运用SAS来识别两个三角形全等；

2、通过识别全等三角形的识别的学习，使学生初步认识事物之间的因果关系与相互制约关系，学习分析事物本质的方法；

3、经历如何总结出全等三角形识别方法，体会如何探讨、实践、总结，培养学生的合作能力。

重点难点：

1、难点：三角形全等的识别：SAS；

2、重点：对全等三角形的识别的理解和运用。

教学过程：

一、复习

1、什么叫全等图形？什么叫做全等三角形？

（能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形）。

2、将全等的△ABC与△DEF重合，再沿BC方向将△DEF推移如图位置，问线段AD与BE数量关系怎样？BC与EF位置关系怎样？为什么？

   [ ，BC∥EF

    ∵ △ABC≌△DEF

∴

∴

∴

又∵ △ABC≌△DEF

∴

∴ BC∥EF ]

     3、已知：如图，，，，，求的大小。

[，，

    ∴  △ACB≌△AED

∴

∴

∴

∴]

二、新授

1、引入；上一节课，我们已经知道两个三角形满足三个条件的三条边对应相等和三个角对应相等的情况。情况如何呢？

（三条边对应相等两个三角形；三个角对应相等的两个三角形不一定全等）

如果两个三角形有两条边和一个角分别对应相等，这两个三角形会全等吗？-------这就是本节课我们要探讨的课题。

2、问题1：如果已知一个三角形的两边及一角，那么有几种可能的情况呢？

（应该有两种情况：一种是角夹在两条边的中间，形成两边夹一角；另一情况是角不夹在两边的中间，形成两边一对角。）

每一种情况下得到的三角形都全等吗？

3、做一做

（1）如果“两边及一角”条件中的角是两边的夹角，比如三角形两条边分别为和，它们的夹角为，你能画出这个三角形吗？你画的与同伴画的一定全等吗？

换两条线段和一个角试试，你发现了什么？

同学们各抒己见后总结：发现对于已知的两条线段和一个角，以该角为夹角，所画的三角形都是全等的。

这就是判别三角形全等的另外一种简便的方法：

如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写成“边角边”或简记为（S.A.S.）

你能用相似三角形的识别法来解释这种“SAS”识别三角形全等的方法吗？

（一个角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，夹这个角的两边对应相等，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形）

（2）如果“两边及一角”条件中的角是其中一边的对角，比如两条边分别为和，长度为的边所对的角为,情况会怎样呢?

请画出这个三角形，把你画的三角形与其他同学画的三角形进行比较，由此你发现了什么？

（两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形不一定全等。）

4、范例

如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，试说明△ABD≌△ACD.

解 　已知  AB＝AC，∠BAD＝∠CAD，
又AD为公共边，由（S.A.S.）全等识别法，可知

△ABD≌△ACD

三、巩固练习

P78   练习1、2、3

四、小结

学生谈收获、体会、疑惑后，进一步总结本节学习了三角形全等的识别的另一种SAS，而两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件。

五、作业

P87习题2.5  A组2、

教学后记：

2.5.3全等三角形的判定（ASA）

（第19课时）

教学目标

1、使学生理解ASA的内容，能运用ASA全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等；

2、通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念。使学生体会探索发现问题的过程。经历自己探索出AAS的三角形全等识别及其应用。

重点难点：

1、难点：三角形全等的识别法ASA和AAS及应用；

2、重点：利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等。

教学过程：

一、复习

1、什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？

（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。识别两个三角形全等的方法有：SSS；SAS）。

2、叙述SSS、SAS的内容。

3、已知：如图，，，请问再加上什么条件下，△ABC≌△，并说明理由。

  （，根据SSS；，根据SAS）。

二、新授

1、引入：请问到本节为止，我们探讨两个三角形满足三个条件的哪几种情况，情况如何呢？

（如果两个三角形有三条边分别对应相等或两个三角形有两条边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形就一定全等。如果两个三角形有三个角分别对应相等，或两个三角形的两边及其一边所对的角对应相等，那么这两个三角形不一定全等。）

还有哪些情况还没有探讨呢？

（如果两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形一定全等吗？）

本节我们探讨两个三角形的两个角及一条边分别对应相等，这两个三角形是否全等的课题。

2、问题1：如果把已知一个三角形的两角及一边，那么有几种可能的情况呢？

（一种情况是两个角及两角的夹边；另一种情况是两个角及其中一角的对边。）

每一种情况下得到的三角形都全等吗？

3、请同学们动手做一个实验：同桌两位同学为一组。

（1）共同商定画出任意一条线段AB，与两个角、（）

（2）两位同学各自在硬纸板上画线段的长等于商定的线段AB的长，在的同旁，画等于商定的，画等于商定的，设与相交于，便得△。

（3）用剪刀各自剪出△，将同桌同学剪出的两个三角形重叠在一起发现了什么？其他各桌的同学是否也有同样的结论呢？

同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为“角边角”或简记为(A.S.A.)。

4、问题2：试说明ASA全等识别法与相似三角形的识别法有什么类似的。

（两个角对应相等的两个三角形相似，当这两个角的公共边相等时，这两个三角形的形状、大小都相同，即为全等三角形。）

5、范例

如图，，，试说明△ABC≌△DCB

解：已知，

又BC是公共边，由（ASA）全等识别法，

可知△ABC≌△DCB

三、巩固练习   P80 练习  1、2

四、小结    用采访的形式访问一些同学，本节学到什么知识，对这些知识有什么体会，对本节的知识存在着哪些疑问。

五、作业    P87 习题2.5 A组3、4、5

2.5.4全等三角形的判定（AAS）

（第20课时）

教学目标

1、使学生理解AAS的内容，能运用AAS全等识别法来识别三角形全等进而说明线段或角相等；

2、通过画图、实验、发现、应用的过程教学，树立学生知识源于实践用于实践的观念。使学生体会探索发现问题的过程。经历自己探索出AAS的三角形全等识别及其应用。

重点难点：

1、难点：三角形全等的识别法AAS及应用；

2、重点：利用三角形全等的识别法，间接说明角相等或线段相等。

重点难点：剪刀、卡纸。

教学过程：

一、复习

1、什么叫做全等三角形，如何识别两个三角形全等？

（能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。识别两个三角形全等的方法有：SSS；SAS、AAS）。

2、叙述SSS、SAS、AAS的内容。

二、新授

思考：如图，如果两个三角形有两个角及其中一个角的对边分别对应相等，

那么这两个三角形是否一定全等？

动手画一画：比如，，，你能画这个三角形吗？

提示：这里的条件与实验中的条件有什么相同点与不同点？你能将它转化为实验中的条件吗？

你画的三角形与同伴画的一定全等吗？

现在两组同学按如果角所对的边为画，另两组同学换两个角和一条线段，试试看，你们得出什么结论？

同学们各抒己见后，总结：对于已知两个角和一条线段，以该线段为夹边，所画的三角形都是全等的．
由此得到另一个识别全等三角形的简便方法：
两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等．简写成：“角角边”或简记为(A. A. S.)。

问题3：你能说说ASA与AAS这两种全等识别法间的关系吗？

（AAS识别法可由ASA识别法推导出来，如上图中，因为，，由于，，所以，于是△ABC与△DEF具备AAS全等。）

P81 例题5已知：如图，∠B=∠D，∠1=∠2，求证：△ABC≌△ADC

P82 例题6

三、练习

    P82 练习1、2

   四、小结

本节学习了三角形全等的识别的另一种AAS，两个角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等，注意观察图形的特征，找出是否具备满足两个三角形全等的条件。

五、作业布置

P87 习题2.5 A组 5

教学后记：

2.5.5全等三角形的判定（SSS）

（第21课时）

教学目标：

1、使学生理解边边边公理的内容，能运用边边边公理证明三角形全等，为证明线段相等或角相等创造条件；

2、继续培养学生画图、实验，发现新知识的能力。

重点难点：

1、难点：让学生掌握边边边公理的内容和运用公理的自觉性；

2、重点：灵活运用SSS识别两个三角形是否全等。

教学过程：

一、创设问题情境，引入新课

请问同学，老师在黑板上画得两个三角形，△ABC与△全等吗？你是如何识别的。

（同学们各抒己见，如：动手用纸剪下一个三角形，剪下叠到另一个三角形上，是否完全重合；测量两个三角形的所有边与角，观察是否有三条边对应相等，三个角对应相等。）

上一节课我们已经探讨了两个三角形只满足一个或两个边、角对应相等条件时，两个三角形不一定全

等。满足三个条件时，两个三角形是否全等呢？现在，我们就一起来探讨研究。

二、实践探索，总结规律

1、问题1：如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形会全等吗？

做一做：给你三条线段、、，分别为、、，你能画出这个三角形吗？

先请几位同学说说画图思路后，教师指导，同学们动手画，教师演示并叙述书写出步骤。

步骤：

（1）画一线段AB使它的长度等于c（4.8cm）.

（2）以点A为圆心，以线段b（3cm）的长为半径画圆弧；以点B为圆心，以线段a（4cm）的长为半径画圆弧；两弧交于点C.

（3）连结AC、BC.

△ABC即为所求

把你画的三角形与其他同学的图形叠合在一起，你们会发现什么？

换三条线段，再试试看，是否有同样的结论

请你结合画图、对比，说说你发现了什么？

同学们各抒己见，教师总结：给定三条线段，如果它们能组成三角形，那么所画的三角形都是全等的。
这样我们就得到识别三角形全等的一种简便的方法： 如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简写为“边边边”，或简记为（S.S.S.）。

2、问题2：你能用相似三角形的识别法解释这个（SSS）三角形全等的识别法吗？

（我们已经知道，三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，三条边就分别对应相等了，这两个三角形不但形状相同，而且大小都一样，即为全等三角形。）

3、问题3、你用这个“SSS”三角形全等的识别法解释三角形具有稳定性吗？

（只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了）

4、范例：

　　例1　如图19。2.2，四边形ABCD中，AD＝BC，AB＝DC，试说明△ABC≌△CDA.
解：已知    AD＝BC，AB＝DC，
     又因为AC是公共边，由（S.S.S.）全等识别法，可知
   △ABC≌△CDA

5、练习：  P84  练习1、2

6、试一试：已知一个三角形的三个内角分别为、、，你能画出这个三角形吗？把你画的三角形与同伴画的进行比较，你发现了什么？

（所画出的三角形都是相似的，但大小不一定相同）。

三个对应角相等的两个三角形不一定全等。

三、加强练习，巩固知识

1、如图，，，△ABC≌△DCB全等吗？为什么？

2、如图，AD是△ABC的中线，。与相等吗？请说明理由。

四、小结

本节课探讨出可用（SSS）来判定两个三角形全等，并能灵活运用（SSS）来判定三角形全等。三个角对应相等的两个三角不一定会全等。

一、              作业  

P87  习题 2.5 A组 6、7

教学后记：

2.5.6全等三角形的性质和判定的应用

（第22课时）

教学目标：

1、全面复习全等三角形及有关性质，掌握三角形全等的判定的四个方法。

2、能综合运用各种判定方法来证明线段和角相等。掌握常规的作辅助线的方法。

重点：综合运用各种判定方法来证明线段和角相等.

难点：常规的作辅助线的方法。

教学过程： 复习前面所学内容：

三角形三边关系定理；

三角形的内角和及推论；

三角形的外角和；

全等三角形的性质；

全等三角形对应元素的寻找方法；

全等三角形的判定（四种方法）。

讲解新课

一．全等三角形的判定了用定义，实质上只需要三个条件，注意至少有一个条件是边，就能判定两个三角形全等；判定两个三角形全等在几何证时中常常不是结论，而通常是通过证明两个三角形全等，证明两条线段相等或两个角相等，这恰是判定两个三角形全等的目的所在

课前练习：

1、下列命题中，不正确的是 （    ）
　　（A）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
　　（B）面积相等的两个直角三角形全等
　　（C）有一边相等的两个等边三角形全等
　　（D）有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等。
　　2、如图，在ABC中，AB=AC，D、E、F依次是各边的中点，AD、BE、CF相交于G，那么图中的全等三角形共有    （      ）                       
　　（A）5对       （B）6对       （C）7对      （D）8对
　　           

3、已知：如图，ABC中，C=90,，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DEAB于E，且AB=6CM，则DEB的周长为    （      ）
　　（A）4      （B）6       （C）10    （D）以上全不对
二．议一议

P85 得出：1、两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。

1、  三角分别相等的两个三角形不一定全等。

三、例题解析

P85例题9  已知：如图2-55，AC与BD相交于点O，且AB=DC，AC=DB。

           求证：∠A=∠D

P86 例题10 某地在山区修建高速公路时需挖通一条隧道。为估测这条隧道的长度（如图2-56），徐测出这座山A,B间的距离，结合所学知识，你能给出什么好方法吗？

四、练习

1、 已知：如图，在ABC中，ADBC于D，BEAC于E，AD与BE相交于H，且BH=AC，求HCD的度数。

2、已知：如图，四边形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，且B+D=180，求证：AE=AD+BD

3、在ABC中ACB=90，BAC=30，AD、CE分别为ABC的角平分线，AD、CE交于点F，求证：EF=DF

五、小结：本节课讨论了不能全等的条件（SSA、AAA），并应用全等判定（SAS、ASA、AAS、SSS）灵活证题             

六、  作业布置   P86   练习 1、2