2020-2021学年1.5 平面上的距离优秀学案

点到直线的距离

在铁路的附近，有一大型仓库．现要修建一条公路与之连接起来，易知沿仓库垂直于铁路方向所修的公路最短．将铁路看作一条直线l，仓库看作点P.

[问题]　怎样求得仓库到铁路的最短距离呢？

知识点　点到直线的距离与两条平行线间的距离

1．已知点P(x0，y0)及直线l上任意一点M，那么点P到直线l的距离|PQ|等于两点间距离|PM|的最小值．

2．点到直线距离的向量表示

如图，设n为过点P且垂直于l的单位向量，就是在n上的投影向量，点P到直线l的距离||＝|·n|.　　　　

1．在使用点到直线的距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：应用点到直线距离公式的前提是直线方程为一般式．

2．在使用两平行线间距离公式时，对直线方程的形式有何要求？

提示：两直线的方程为一般式且x，y的系数分别相同．

1．原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)

A．1　　　　　　　　　 B.

C．2  D.

解析：选D　d＝＝.

2．已知直线l1：x＋y＋1＝0，l2：x＋y－1＝0，则l1，l2之间的距离为(　　)

A．1  B.

C.  D．2

解析：选B　由题意知l1，l2平行，则l1∥l2之间两直线的距离为＝.

[例1]　(链接教科书第36页例4)求点P(3，－2)到下列直线的距离：

(1)y＝x＋；(2)y＝6；(3)x＝4.

[解]　(1)直线y＝x＋化为一般式为3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d＝＝.

(2)因为直线y＝6与y轴垂直，所以点P到它的距离d＝|－2－6|＝8.

(3)因为直线x＝4与x轴垂直，所以点P到它的距离d＝|3－4|＝1.

应用点到直线的距离公式应注意的三个问题

(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式；

(2)点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用；

(3)直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．　　　　

[跟踪训练]

　倾斜角为60°，并且与原点的距离是5的直线方程为________．

解析：因为直线斜率为tan 60°＝，可设直线方程为y＝x＋b，化为一般式得x－y＋b＝0.由直线与原点距离为5，得＝5⇒|b|＝10.所以b＝±10，所以所求直线方程为x－y＋10＝0或x－y－10＝0.

答案：x－y＋10＝0或 x－y－10＝0

[例2]　(链接教科书第36页例5)已知直线l1：2x－3y＋4＝0，l2：ax－y－1＝0且l1∥l2.

(1)求a的值；

(2)求两平行线l1与l2之间的距离．

[解]　(1)因为l1∥l2，所以＝，即a＝1.

(2)由(1)知l2的方程为x－y－1＝0即2x－3y－2＝0，所以l1与l2间的距离为d＝＝＝.

求两平行线间的距离的方法

一般是直接利用两平行线间的距离公式：

(1)当直线l1：y＝kx＋b1，l2：y＝kx＋b2，且b1≠b2时，d＝；

(2)当直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0且C1≠C2时，d＝.但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．　　　　

[跟踪训练]

1．两直线3x＋4y－2＝0与6x＋8y－5＝0的距离等于(　　)

A．3　　　　　　　　 B．7

C.  D.

解析：选C　3x＋4y－2＝0变为6x＋8y－4＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.

2．求与两条平行直线l1：2x－3y＋4＝0与l2：2x－3y－2＝0距离相等的直线l的方程．

解：设所求直线l的方程为2x－3y＋C＝0.

由直线l与两条平行线的距离相等，

得＝，即|C－4|＝|C＋2|，

解得C＝1.

故直线l的方程为2x－3y＋1＝0.

[例3]　已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．

[解]　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，

由点P到两直线l，l1的距离相等，

得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．

∴l1：x＋3y＋7＝0.

又正方形另两边所在直线与l垂直，

∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.

∵正方形中心到四条边的距离相等，

∴＝，

得a＝9或a＝－3，

同理得b＝9或b＝－3.

∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.

∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.

利用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式解综合题时，需特别注意直线方程要化为一般式，同时要注意构造法、数形结合法的应用，本节中距离公式的形式为一些代数问题提供了几何背景，可构造几何图形，借助几何图形的直观性去解决问题．　　　　

[跟踪训练]

若动点A，B分别在直线l1：x＋y－7＝0和l2：x＋y－5＝0上，则AB的中点M到原点的距离的最小值为________．

解析：依题意，知l1∥l2，故点M所在的直线平行于l1和l2，可设点M所在直线的方程为l：x＋y＋m＝0(m≠－7且m≠－5)，根据平行线间的距离公式，得＝⇒|m＋7|＝|m＋5|⇒m＝－6，即l：x＋y－6＝0，根据点到直线的距离公式，得点M到原点的距离的最小值为＝3.

答案：3

1．已知点(a，2)(a＞0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)

A.　　　　　　　　 B.－1

C.＋1  D．2－

解析：选B　由点到直线的距离公式，得1＝，即|a＋1|＝.∵a＞0，∴a＝－1，故选B.

2．两平行直线x＋y－1＝0与2x＋2y＋1＝0之间的距离是(　　)

A.  B.

C．2  D．1

解析：选A　2x＋2y＋1＝0可化为x＋y＋＝0，由两平行直线间的距离公式，得＝.

3．已知点M(1，2)，点P(x，y)在直线2x＋y－1＝0上，则|MP|的最小值是(　　)

A.  B.

C.  D．3

解析：选B　点M到直线2x＋y－1＝0的距离，即为|MP|的最小值，所以|MP|的最小值为＝.

4．与直线3x－4y＋1＝0垂直，且与点(－1，－1)距离为2的直线方程为__________________________．

解析：设所求直线方程为4x＋3y＋C＝0.

则＝2，即|C－7|＝10.

解得C＝－3或C＝17.

故所求直线方程为4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0.

答案：4x＋3y－3＝0或4x＋3y＋17＝0