2020-2021学年部分高中高一（上）期末数学试卷

这是一份2020-2021学年部分高中高一（上）期末数学试卷，共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 已知集合A＝{x|x2+x−2>0}，B＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，则A∩B＝（ ）
A.{−3, 2}B.{−3, 2, 3}
C.{−1, 0, 1, 2}D.{−3, −2, 2, 3}

2. 设命题p:∀n∈N，n2≤2n，则￢p为（ ）
A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2n
C.∃n∈N，n2>2nD.∀n∈N，n2≥2n

3. 已知函数则＝（ ）
A.B.C.−16D.16

4. 已知p:a≥0；q:∀x∈R，x2−ax+a>0，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 下列函数中，既是偶函数又在区间(0, +∞)单调递减的是（ ）
A.y＝x2+1B.y＝|x|−1C.D.y＝e−x

6. 已知正实数a，b满足2a+3b＝1，则的最小值为（ ）
A.15B.C.16D.

7. 函数y＝的部分图象大致为（ ）
A.
B.
C.
D.

8. 已知定义域为R的函数f(x)是奇函数，且f(x+2)＝−f(x)，若f(x)在区间[0, 1]是减函数，则，f(1)，的大小关系是（ ）
A.B.
C.D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

若0c>1，则（ ）
A.B.ca−1C.D.

已知函数，下列结论正确的是（ ）
A.f(x)的定义域为[−1, 0)∪(0, 1]
B.f(x)的图象关于坐标原点对称
C.f(x)在定义域上是减函数
D.f(x)的值域为[−1, 1]

已知函数若关于x的方程f(x)＝m有四个不同的实数x1，x2，x3，x4满足x1A.x1x2＝−1B.
C.x3+x4＝10D.x3⋅x4∈[21, 25]

高斯是德国著名的数学家，近代数学莫基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[−3.5]＝−4，[2.1]＝2．已知函数，函数g(x)＝[f(x)]，以下结论正确的是（ ）
A.f(x)在R上是增函数B.g(x)是偶函数
C.f(x)是奇函数D.g(x)的值域是{−1, 0}
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

函数f(x)＝ln(1−x)+的定义域为________．

求值：＝________．

当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．若按照上述变化规律，则死亡生物体内碳14含量每年的衰减率为________．

函数f(x)＝lga(x2−ax+12)在(2, 3)单调递减，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

已知全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x−8≤0}，B＝{x|m−1≤x≤m+1}．
（1）若m＝2，求(∁UB)∩A；

（2）若B⊆A，求实数m的取值范围．

已知函数f(x)＝−x2+2|x|．

（1）判断函数f(x)的奇偶性；

（2）将函数f(x)写成分段函数的形式，并在如图所示的坐标系内作出函数的图象，写出单调区间．

已知函数f(x)＝lg2．
（1）求不等式f(x)<1的解集；

（2）判断并证明f(x)的单调性．

（1）已知，，比较f(x)与g(x)的大小；
（2）比较lg45，lg56的大小．

某品牌手机公司的年固定成本为50万元，每生产1万部手机需增加投入20万元，该公司一年内生产x(x>0)万部手机并全部销售完当年销售量x不超过40万部时，销售1万部手机的收入R(x)＝380−5x万元；当年销售量x超过40万部时，销售1万部手机的收入万元
（1）写出年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式；

（2）年销售量为多少万部时，利润最大，并求出最大利润．

已知函数f(x)＝lg3(9x+1)+kx(k∈R)是偶函数．
（1）求实数k的值；

（2）若函数y＝f(x)−x+a没有零点，求实数a的取值范围；

（3）若函数ℎ(x)＝3f（x）+x−m⋅3x−1，x∈[0, lg35]的最大值为0，求实数m的值．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省武汉市部分高中高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
【解答】
∵ A＝{x|x<−2或x>1}，B＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，
∴ A∩B＝{−3, 2, 3}．
2.
【答案】
C
【考点】
命题的否定
【解析】
利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．
【解答】
因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题P:∀n∈N，n2≤2n，则￢P为：∃n∈N，n2>2n．
3.
【答案】
B
【考点】
求函数的值
函数的求值
【解析】
根据自变量的值判断使用哪一段解析式求解，然后利用对数和指数的运算性质求解即可．
【解答】
因为函数
则，
所以＝f(−2)＝．
4.
【答案】
B
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
先利用一元二次不等式恒成立求出q，然后利用两个范围之间的关系结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
因为∀x∈R，x2−ax+a>0，
所以△＝(−a)2−4a<0，解得0所以q:0又p:a≥0，
因为(0, 4)⫋[0, +∞)，
故p是q的必要不充分条件．
5.
【答案】
C
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
分别判断函数的奇偶性和单调性是否满足条件即可．
【解答】
A．y＝x2+1是偶函数，当x>0时为增函数，不满足条件．
B．y＝|x|−1是偶函数，当x>0时，y＝x−1为增函数，不满足条件，
C．函数是偶函数，当x>0时为减函数，满足条件，
D．函数为非奇非偶函数，不满足条件．
6.
【答案】
D
【考点】
基本不等式及其应用
【解析】
根据2a+3b＝1可得出，然后根据基本不等式即可得出的最小值．
【解答】
∵ a>0，b>0，2a+3b＝1，
∴ ，当且仅当，即时等号成立，
∴ 的最小值为：．
7.
【答案】
A
【考点】
函数的图象与图象的变换
【解析】
判断函数的奇偶性和对称性，结合0【解答】
f(x)＝，则f(−x)＝＝−f(x)，则函数f(x)是奇函数，排除C，D，
由f(x)＝0，得x3−2x＝0，得x＝0或x＝±，
当08.
【答案】
B
【考点】
奇偶性与单调性的综合
函数奇偶性的性质与判断
【解析】
根据条件求出函数是周期为4的周期函数，结合函数的周期性和单调性进行转化求解即可．
【解答】
∵ f(x+2)＝−f(x)，
∴ f(x+4)＝−f(x+2)＝f(x)，即函数f(x)是周期为4的周期函数，
则＝f(5.5−4)＝f(1.5)＝f(2−0.5)＝−f(−0.5)＝f(0.5)，
＝f(2−）＝−f（）＝f（），
∵ f(x)在区间[0, 1]是减函数，
则f（）>f(0.5)>f(1)，即．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
【答案】
A,D
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
选项A，根据已知范围易判断，选项BC，可转化为幂函数的单调性判断大小，选项D，作差比较即可求解．
【解答】
选项A：由已知可得0<<1，而0选项B：因为a−1<0，幂函数y＝xa−1是递减函数，而b>c，所以ca−1>ba−1，B错误，
选项C：因为0lgac>lgab，
所以，故C错误，
选项D：因为，
因为0c>1，所以c−b<0，b−a>0，
所以<0，故D正确，
【答案】
A,B
【考点】
函数的定义域及其求法
函数单调性的性质与判断
函数的值域及其求法
命题的真假判断与应用
【解析】
A求出函数定义域，对函数化简；B验证函数奇偶性判断；C特值法判断；D特值法判断．
【解答】
对于A，由上述知，A对（1）对于B，因为f(−x)＝−f(x)，所以B对（2）对于C，因为f(−1)＝f(1)，所以C错（3）对于D，f(x)＝1无解，所以D错．
故选：AB．
【答案】
B,C,D
【考点】
函数的零点与方程根的关系
【解析】
作出函数f(x)的图象，可知|lg2(x1+1)|＝|lg2(x2+1)|，x3，x4是方程x2−5x+＝m的两根，由此即可判断出正确选项．
【解答】
依题意，|lg2(x1+1)|＝|lg2(x2+1)|且−1∴ lg2(x1+1)+lg2(x2+1)＝0，即(x1+1)(x2+1)＝1，
∴ x1x2+x1+x2+1＝1，
∴ ＝−1，即选项A错误，选项B正确；
易知，x3，x4是方程x2−5x+＝m (0∴ x3+x4＝10，x3x4＝25−2m∈(21, 25)，即选项C，选项D均正确．
【答案】
A,C,D
【考点】
函数的值域及其求法
高斯函数[x]
命题的真假判断与应用
【解析】
A根据复合函数单调性判断；B化简函数并求出分段表达式，根据偶函数定义，用特值法判断；
C根据奇函数定义，用特值法判断；D由表达式求出值域判断．
【解答】
对于B，因为ex+1∈(1, +∞)⇒⇒∈(−2, 0)⇒f(x)∈(−1, 1)，
所以f(x)的值域为(−1, 1)，所以g(x)＝，g(−1)＝−1，g(1)＝0≠g(−1)，所以B错（1）对于C，因为f(−x)＝＝−f(x)，根据奇函数定义知，f(x)是奇函数，所以C对（2）对于D，由B知，D对．
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
【答案】
[−2, 1)
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据函数成立的条件建立不等式关系即可．
【解答】
要使函数有意义，则，
得，即−2≤x<1，即函数的定义域为[−2, 1)，
【答案】
0
【考点】
对数的运算性质
【解析】
利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．
【解答】
＝-+2
＝0．
【答案】
1−（）
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
设每年的衰减率为x，另设原来的碳14含量为A，则由已知可得：A−A(1−x)5730＝，解方程即可求解．
【解答】
设每年的衰减率为x，另设原来的碳14含量为A，
则由已知可得：A−A(1−x)5730＝，
所以(1−x)，即x＝1−（），
【答案】
[6, 7]∪(0, 1)
【考点】
复合函数的单调性
【解析】
由题意利用查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，分类讨论a的范围，得到两个不等式组，分别求得不等式组的解集，再取并集，即得所求．
【解答】
∵ 函数f(x)＝lga(x2−ax+12)在(2, 3)单调递减，
∴ ①，或 ②．
解①求得 6≤a≤7；解②求得0综上可得，实数a的范围为[6, 7]∪(0, 1)，
四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
【答案】
m＝2，全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x−8≤0}＝{x|−4≤x≤2}，
B＝{x|1≤x≤3}．
∁UB＝{x|x<1或x>3}，
∴ (∁UB)∩A＝{x|−4≤x<1}．
∵ 集合A＝{x|−4≤x≤2}，B＝{x|m−1≤x≤m+1}≠⌀，B⊆A，
∴ ，解得−3≤m≤1．
∴ 实数m的取值范围[−3, 1]．
【考点】
集合的包含关系判断及应用
交、并、补集的混合运算
【解析】
（1）m＝2，求出集合A，B，从而求出∁UB，由此能求出(∁UB)∩A．
（2）求出B＝{x|m−1≤x≤m+1}≠⌀，再由B⊆A，列不等式组，能求出实数m的取值范围．
【解答】
m＝2，全集U＝R，集合A＝{x|x2+2x−8≤0}＝{x|−4≤x≤2}，
B＝{x|1≤x≤3}．
∁UB＝{x|x<1或x>3}，
∴ (∁UB)∩A＝{x|−4≤x<1}．
∵ 集合A＝{x|−4≤x≤2}，B＝{x|m−1≤x≤m+1}≠⌀，B⊆A，
∴ ，解得−3≤m≤1．
∴ 实数m的取值范围[−3, 1]．
【答案】
f(−x)＝−(−x)2+2|−x＝−x2+2|x|＝f(x)，
则f(x)是偶函数．
f(x)＝，
作出f(x)的图象如图：
则函数的单调递增区间为(−∞, −1]和[0, 1]，
单调递减区间为[−1, 0]和[1, +∞)．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数的图象与图象的变换
【解析】
（1）根据奇偶性的定义进行判断即可．
（2）根据绝对值的意义进行转化，结合图象即可得到函数的单调性．
【解答】
f(−x)＝−(−x)2+2|−x＝−x2+2|x|＝f(x)，
则f(x)是偶函数．
f(x)＝，
作出f(x)的图象如图：
则函数的单调递增区间为(−∞, −1]和[0, 1]，
单调递减区间为[−1, 0]和[1, +∞)．
【答案】
根据题意，函数f(x)＝lg2，必有>0，
解可得−1若f(x)<1，即0<<2，
解可得：−1根据题意，f(x)在(−1, 1)上为增函数；
证明：f(x)的定义域为(−1, 1)，设−1f(x1)−f(x2)＝lg2−lg2＝lg2＝lg2，
又由−1则f(x1)−f(x2)＝lg2<0，
故f(x)在(−1, 1)上为增函数，
【考点】
函数单调性的性质与判断
指、对数不等式的解法
【解析】
（1）先分析函数f(x)的定义域，由对数的运算性质可得f(x)<1等价于0<<2，解可得x的取值范围，即可得答案；
（2）根据题意，由作差法分析可得结论．
【解答】
根据题意，函数f(x)＝lg2，必有>0，
解可得−1若f(x)<1，即0<<2，
解可得：−1根据题意，f(x)在(−1, 1)上为增函数；
证明：f(x)的定义域为(−1, 1)，设−1f(x1)−f(x2)＝lg2−lg2＝lg2＝lg2，
又由−1则f(x1)−f(x2)＝lg2<0，
故f(x)在(−1, 1)上为增函数，
【答案】
，＝2x，
在同一直角坐标系中作出，＝2x图象如下：
结合图象得：
当x<0时，f(x)>g(x)；当x＝0时，f(x)＝g(x)；当x>0时，g(x)>f(x)．
设f(x)＝lgx(x+1)，x>1，则f(x)＝，x>1，
∴ f′(x)＝，
∵ g(x)＝xlnx在(1, +∞)上是增函数，∴ g(x)−g(x+1)<0，
∴ f′(x)<0，∴ f(x)在(1, +∞)上是减函数，
∴ f(4)>f(5)，∴ lg45>lg56．
【考点】
对数值大小的比较
【解析】
（1）在同一直角坐标系中作出，＝2x图象，数形结合能求出结果．
（2）设f(x)＝lgx(x+1)，x>1，求出f′(x)＝，利用导数性质求出f(x)在(1, +∞)上是减函数，从而lg45>lg56．
【解答】
，＝2x，
在同一直角坐标系中作出，＝2x图象如下：
结合图象得：
当x<0时，f(x)>g(x)；当x＝0时，f(x)＝g(x)；当x>0时，g(x)>f(x)．
设f(x)＝lgx(x+1)，x>1，则f(x)＝，x>1，
∴ f′(x)＝，
∵ g(x)＝xlnx在(1, +∞)上是增函数，∴ g(x)−g(x+1)<0，
∴ f′(x)<0，∴ f(x)在(1, +∞)上是减函数，
∴ f(4)>f(5)，∴ lg45>lg56．
【答案】
当0当x>40时，y＝x（）−20x−50＝-−20x+8950，
所以年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式为y＝；
当0所以当x＝36时，ymax＝6430，
当x>40时，y＝-（）+8950，
当且仅当，即x＝45时取等号，此时ymax＝7150，
综上，年销售量为45万部时，利润最大，且最大利润为7150万元．
【考点】
根据实际问题选择函数类型
【解析】
（1）根据已知分段求出y，最后以分段函数的形式写出y的关系式即可；（2）根据（1）的结论，分段求出函数的最大值，比较即可求解．
【解答】
当0当x>40时，y＝x（）−20x−50＝-−20x+8950，
所以年利润y万元关于年销售量x万部的函数解析式为y＝；
当0所以当x＝36时，ymax＝6430，
当x>40时，y＝-（）+8950，
当且仅当，即x＝45时取等号，此时ymax＝7150，
综上，年销售量为45万部时，利润最大，且最大利润为7150万元．
【答案】
∵ f(x)是偶函数，∴ f(−x)＝f(x)，
即lg3(9−x+1)−kx＝lg3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立，
∴ 2kx＝lg3(9−x+1)−lg3(9x+1)＝lg3＝，
∴ k＝−1．
函数y＝f(x)−x−a没有零点，即方程lg3(9x+1)−2x＝a无实数根．
令g(x)＝lg3(9x+1)−2x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝a无交点，
∵ g(x)＝lg3(9x+1)−2x＝lg3(9x+1)−lg39x
＝lg3＝，
又1+>1，∴ g(x)＝>0，
∴ a的取值范围是(−∞, 0]．
由题意ℎ(x)＝9x+m⋅3x，x∈[0, lg35]，
令t＝3x∈[1, 5]，φ(t)＝t2+mt，t∈[1, 5]，
①当-≤3，即m≥−6时，φ(t)max＝φ(5)＝25+5m＝0，m＝−5；
②当->3，即m<−6时，φ(t)max＝φ(1)＝1+m＝0，解得m＝−1（舍去）．
综上可知，实数m＝−5．
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数的零点
函数的最值及其几何意义
【解析】
（1）利用偶数数的定义f(−x)＝f(x)，即可求出实数k的值；
（2）令f(x)−x−a≠0，得a≠f(x)−x，构造函数g(x)＝f(x)−x，将问题转化为直线y＝a与函数y＝g(x)的图象没有交点，从而求出实数a的取值范围；
（3）化简可得ℎ(x)＝9x+m⋅3x，x∈[0, lg35]，运用换元法和二次函数在闭区间上的最值求法，可得所求最大值，再由最大值为0求解m值．
【解答】
∵ f(x)是偶函数，∴ f(−x)＝f(x)，
即lg3(9−x+1)−kx＝lg3(9x+1)+kx对任意x∈R恒成立，
∴ 2kx＝lg3(9−x+1)−lg3(9x+1)＝lg3＝，
∴ k＝−1．
函数y＝f(x)−x−a没有零点，即方程lg3(9x+1)−2x＝a无实数根．
令g(x)＝lg3(9x+1)−2x，则函数y＝g(x)的图象与直线y＝a无交点，
∵ g(x)＝lg3(9x+1)−2x＝lg3(9x+1)−lg39x
＝lg3＝，
又1+>1，∴ g(x)＝>0，
∴ a的取值范围是(−∞, 0]．
由题意ℎ(x)＝9x+m⋅3x，x∈[0, lg35]，
令t＝3x∈[1, 5]，φ(t)＝t2+mt，t∈[1, 5]，
①当-≤3，即m≥−6时，φ(t)max＝φ(5)＝25+5m＝0，m＝−5；
②当->3，即m<−6时，φ(t)max＝φ(1)＝1+m＝0，解得m＝−1（舍去）．
综上可知，实数m＝−5．