2020-2021学年高一（上）期末数学试卷 (2)

这是一份2020-2021学年高一（上）期末数学试卷 (2)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 设集合A＝{x|x−1≤0}，B＝{x|x2−x−6<0}，则A∩B＝（ ）
A.(−1, 2)B.(−2, 1]C.[1, 2)D.[−2, 3)

2. sin454∘+cs176∘的值为（ ）
A.sin4∘B.cs4∘C.0D.2sin4∘

3. 函数f(x)＝lnx−的零点所在的大致区间是（ ）
A.（，1)B.(1, e)C.(e, e2)D.(e2, e3)

4. 设p：实数a，b满足a>1且b>1，q：实数a，b满足，则p是q的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5. 根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．已知0.4771A.1033B.1053C.1073D.1093

6. 把函数的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位可以得到函数g(x)的图象，若g(x)是偶函数，则φ的值为（ ）
A.B.C.或D.或

7. 已知，则＝（ ）
A.B.C.D.

8. 已知函数，若不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−3)<0对任意x∈R均成立，则m的取值范围为（ ）
A.(−∞，2−1)B.
C.D.
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）

如果角α与角γ+45∘的终边相同，角β与γ−45∘的终边相同，那么α−β的可能值为（ ）
A.90∘B.360∘C.450∘D.2330∘

下列函数中，既是偶函数又是区间(1, +∞)上的增函数有（ ）
A.y＝3|x|+1B.y＝ln(x+1)+ln(x−1)
C.y＝x2+2D.

已知f(x)＝cs(sinx)，g(x)＝sin(csx)，则下列说法正确的是（ ）
A.f(x)与g(x)的定义域都是[−1, 1]
B.f(x)为偶函数且g(x)也为偶函数
C.f(x)的值域为[cs1, 1]，g(x)的值域为[−sin1, sin1]
D.f(x)与g(x)最小正周期为2π

高斯(Gauss)是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[−2.3]＝−3，[15.31]＝15．已知函数，G(x)＝[f(x)]，则下列说法正确的有（ ）
A.G(x)是偶函数B.G(x)的值域是{−1, 0}
C.f(x)是奇函数D.f(x)在R上是增函数
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）

已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为2，则其面积为________．

已知实数a，b满足lg4(a+9b)＝lg2，则a+b的最小值是________．

已知函数f(x)的定义域为(0, +∞)，且f(x)=2f(1x)x−1，则f(x)=________．

已知函数f(x)＝Asin(2x+φ)−(A>0，0<φ<），g(x)＝，f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，则实数m的取值范围为________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

已知全集U＝R，集合A＝{x|≤0}，B＝{x|x2−2ax+(a2−1)<0}．
（1）当a＝2时，求(∁UA)∩(∁UB)；

（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，求实数a的取值范围．

已知函数f(x)=sin(5π2−ωx)(ω>0)，且其图象上相邻最高点、最低点的距离为4+π2．
（1）求函数f(x)的解析式；

（2）若已知sinα+f(α)=23，求2sinαcsα−2sin2α1+tanα的值．

李庄村电费收取有以下两种方案供农户选择：
方案一：每户每月收管理费2元，月用电不超过30度每度0.5元，超过30度时，超过部分按每度0.6元．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1) 求方案一收费L(x)元与用电量x（度）间的函数关系；

(2) 李刚家九月份按方案一交费35元，问李刚家该月用电多少度？

(3) 李刚家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？

已知函数f(x)=2sinωx，其中常数ω>0．
（1）若y=f(x)在[−π4, 2π3]上单调递增，求ω的取值范围；

（2）令ω=2，将函数y=f(x)的图象向左平移π6个单位，再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)的图象求y=g(x)的图象离原点O最近的对称中心．

已知连续不断函数，．
（1）求证：函数f(x)在区间上有且只有一个零点；

（2）现已知函数g(x)在上有且只有一个零点（不必证明），记f(x)和g(x)在上的零点分别为x1，x2，试求x1+x2的值．

已知f(x)＝lg2(4x+1)−kx(k∈R)．
（1）设g(x)＝f(x)−a+1，k＝2，若函数g(x)存在零点，求a的取值范围；

（2）若f(x)是偶函数，设ℎ(x)＝lg2(b⋅2x−43b)，若函数f(x)与ℎ(x)的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省某校高一（上）期末数学试卷
一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1.
【答案】
B
【考点】
交集及其运算
【解析】
分别求出关于A、B的不等式，求出A、B的交集即可．
【解答】
由A＝{x|x−1≤0}＝{x|x≤5}，
B＝{x|x2−x−6<2}＝{x|−2则A∩B＝{x|−42.
【答案】
C
【考点】
运用诱导公式化简求值
【解析】
由题意利用诱导公式，化简可得结果．
【解答】
sin454∘+cs176∘＝sin94∘−cs4∘＝cs4∘−cs6∘＝0，
3.
【答案】
B
【考点】
函数零点的判定定理
【解析】
由于连续函数f(x)＝lnx−满足 f(1)<0，f(e)>0，根据函数零点判定定理，由此求得函数的零点所在的区间．
【解答】
由于连续函数f(x)＝lnx−满足 f(1)＝−1<4>0，
且函数在区间( 3, e)上单调递增的零点所在的区间为( 1．
故选：B．
4.
【答案】
A
【考点】
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
当a>1且b>1时，ab>8，即充分性成立，
反之当a＝4，b＝1时但a>1且b>2不成立，
即p是q的充分不必要条件，
5.
【答案】
D
【考点】
对数的运算性质
【解析】
根据条件可得M≈3361，N≈1080，由对数性质有3＝10lg3≈100.477，从而得到M≈3361≈10172.2，由此能求出结果．
【解答】
∵ 围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，
可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．
∴ M≈3361，N≈1080，
根据对数性质有8＝10lg3≈100.477，
∴ M≈3361≈(100.477)361≈10172.2，
∴ ≈＝1092.2≈1093，
6.
【答案】
D
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】
由题意利用函数y＝Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的奇偶性，求得φ的值．
【解答】
把函数的图象向左平移φ(7<φ<π)个单位，
可以得到函数g(x)＝sin(2x+2φ−）的图象，
若g(x)是偶函数，则2φ−＝，k∈Z，
∴ 分别令k＝0、k＝1，或φ＝，
7.
【答案】
B
【考点】
两角和与差的三角函数
【解析】
利用诱导公式化简即可计算求解．
【解答】
因为，
所以sin（+θ)＝-，
则＝cs[+θ)]＝sin（．
8.
【答案】
A
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
利用函数奇偶性的判定方法判定奇偶性，然后根据复合函数的单调性判定单调性，化简不等式，然后将m分离，利用基本不等式求出不等式另一侧函数的最值，即可求出所求．
【解答】
因为f(−x)+f(x)＝−2x+ln（）+2x+ln（，
所以函数f(x)是奇函数，
由复合函数的单调性可知y＝ln（）在R上单调递增，
所以函数f(x)在R上单调递增，
所以不等式f(3x−9x)+f(m⋅3x−2)<0对任意x∈R均成立等价于f(3x−6x)<−f(m⋅3x−3)＝f(2−m⋅3x)，
即3x−3x<3−m⋅3x，即m<对任意x∈R均成立，
因为≥，
所以m<．
二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）
【答案】
A,C
【考点】
终边相同的角
【解析】
由已知，表示出α，β，再结合选项考虑．
【解答】
如果角α与γ+45∘终边相同，则α＝2mπ+γ+45∘
角β与γ−45∘终边相同，则β＝2nπ+γ−45∘，
∴ α−β＝4mπ+γ+45∘−2nπ−γ+45∘＝2(m−n)π+90∘，(k＝m−n+6)，
即α−β与90∘角的终边相同，观察选项，
【答案】
A,C,D
【考点】
奇偶性与单调性的综合
【解析】
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．
【解答】
根据题意，依次分析选项：
对于A，y＝3|x|+1，其定义域为R，有f(−x)＝5|−x|+1＝3|x|+7＝f(x)，即函数f(x)为偶函数，
在区间(1, +∞)上​|x|+1＝y＝5x+1，为增函数，符合题意，
对于B，y＝ln(x+1)+ln(x−3)，有，即函数的定义域为(1，不是偶函数，
对于C，y＝x7+2为二次函数，开口向上且对称轴为y轴，+∞)上的增函数，
对于D，y＝x2+，其定义域为R2+＝x2+＝f(x)，
可令t＝x2，可得t＝x8在(1, +∞)递增在(5，则函数y＝x2+为增函数，
【答案】
B,C
【考点】
命题的真假判断与应用
【解析】
A根据正弦和余弦函数性质判断；B根据奇偶函数定义判断；C根据复合函数值域判断；D根据周期函数定义判断．
【解答】
对于A，f(x)与g(x)的定义域都是R；
对于B，因为f(−x)＝f(x)，
f(x)和g(x)都是偶函数，所以B对；
对于C，因为sinx∈[−1，），所以f(x)的值域为[cs1，
因为csx∈[−1, 7]⊂(−，），）内单调递增，
所以g(x)的值域为[−sin1, sin2]；
对于D，f(x)＝cs(sinx)＝cs|sinx|，所以D错．
【答案】
B,C,D
【考点】
函数奇偶性的性质与判断
函数的值域及其求法
【解析】
根据题意，依次分析选项中说法是否正确，综合可得答案．
【解答】
根据题意，
对于A，G(1)＝[f(1)]＝0，G(1)≠G(−1)，A错误，
对于B，＝-，由1+2x>5，则-，则有G(x)的值域是{−1，B正确，
对于C，，其定义域位R-＝-，则f(−x)+f(x)＝6，C正确，
对于D，＝-，设t＝1+4x，则y＝-，t＝2x+1在R上是增函数，y＝-，+∞)也是增函数，
则f(x)在R上是增函数，D正确，
故选：BCD．
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）
【答案】
9
【考点】
扇形面积公式
【解析】
先求出半径，再利用扇形面积公式即可求解．
【解答】
半径r＝＝＝4，
根据扇形面积公式S＝|α|r3＝×8×32＝3，
【答案】
16
【考点】
基本不等式及其应用
对数的运算性质
【解析】
由对数的运算法则知a+9b＝ab，从而有a+b＝(a+b)⋅（），展开后，再利用基本不等式，得解．
【解答】
∵ lg4(a+9b)＝lg7＝lg4（）​2，
∴ a+4b＝ab，即＝7，
∴ a+b＝(a+b)⋅（）＝4+9++＝16，
当且仅当＝，即a＝3b＝12时，
∴ a+b的最小值是16．
【答案】
23x+13
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
【解析】
根据f (x)=2f (1x)x−1，考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，用1x代替x代入f (x)=2f (1x)x−1，解关于入f (x)与f (1x)的方程组，即可求得f(x)．
【解答】
解：考虑到所给式子中含有f(x)和f(1x)，故可考虑利用换元法进行求解．
在f(x)=2f(1x)x−1，用1x代替x，
得f(1x)=2f(x)1x−1，将f(1x)=2f(x)x−1代入f(x)=2f(1x)x−1中，可求得f(x)=23x+13．
故答案为：23x+13
【答案】
【考点】
函数恒成立问题
【解析】
f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝对称．可得f(0)＝Asinφ−＝1，sin(2×+φ)＝±1．根据A>0，0<φ<，可得φ，A．利用三角函数的单调性可得f(x)min．g(x)＝＝−m，利用函数的单调性可得g(x)min．若对于任意的x1∈[−1, 2]，存在x2∈[0，]，使得g(x1)≥f(x2)，可得g(x1)min≥f(x2)min，即可得出．
【解答】
f(x)的图象在y轴上的截距为1，且关于直线x＝．
∴ f(0)＝Asinφ−＝1+φ)＝±1．
又A>4，0<φ<，A＝．
∴ f(x)＝sin(7x+，x∈[0，]，
∴ (8x+）∈，
∴ sin(2x+）∈，
∴ f(x)∈．
∴ f(x)min＝1．
g(x)＝＝−m，
∵ x∈[−1, 3]min＝−m．
若对于任意的x6∈[−1, 2]6∈[0，]，使得g(x4)≥f(x2)，
则g(x1)min≥f(x3)min，
∴ −m≥7．
∴ 实数m的取值范围为．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【答案】
A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1当a＝2时，B＝(1，
则∁UA＝{x|x≥2或x<2}，∁UB＝{x|x≥3或x≤6}，
则(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≥5或x≤1．
若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，
即实数a的取值范围是[3, 3]．
【考点】
交、并、补集的混合运算
充分条件、必要条件、充要条件
【解析】
（1）根据不等式的解法求出集合的等价条件，利用集合的基本运算法则进行计算即可．
（2）若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则B⫋A，根据条件转化为真子集关系进行求解即可．
【解答】
A＝{x|≤5}＝{x|2≤x<5}，
B＝{x|x5−2ax+(a2−8)<0}＝{x|a−1当a＝2时，B＝(1，
则∁UA＝{x|x≥2或x<2}，∁UB＝{x|x≥3或x≤6}，
则(∁UA)∩(∁UB)＝{x|x≥5或x≤1．
若x∈A是x∈B的必要不充分条件，
则B⫋A，则，得，得8≤a≤4，
即实数a的取值范围是[3, 3]．
【答案】
解：（1）∵ 函数f(x)=sin(5π2−ωx)=csωx，故其周期为2πω，最大值为1．
设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．
∵ 其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2=(πω)2+22，解得ω=1，
∴ 函数f(x)=csx．
（2）∵ sinα+f(α)=23，
∴ sinα+csα=23，两边平方可得：1+2sinαcsα=49，解得：2sinαcsα=−59，csα−sinα=±143，
∴ 2sinαcsα−2sin2α1+tanα=2sinαcsα−2sin2α1+sinαcsα=2sinαcsα(csα−sinα)sinα+csα=±51418．
【考点】
由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
正弦函数的图象
【解析】
（1）设最高点为(x1, 1)，最低点为(x2, −1)，结合图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为4+π2列式，求出周期，代入周期公式求得ω，则函数解析式可求；
（2）有题意可得sinα+csα=23，两边平方可解得：2sinαcsα=−59，csα−sinα=±143，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算求解．
【解答】
解：（1）∵ 函数f(x)=sin(5π2−ωx)=csωx，故其周期为2πω，最大值为1．
设图象上最高点为(x1, 1)，与之相邻的最低点为(x2, −1)，则|x2−x1|=T2=πω．
∵ 其图象上相邻最高点与最低点之间的距离为4+π2=(πω)2+22，解得ω=1，
∴ 函数f(x)=csx．
（2）∵ sinα+f(α)=23，
∴ sinα+csα=23，两边平方可得：1+2sinαcsα=49，解得：2sinαcsα=−59，csα−sinα=±143，
∴ 2sinαcsα−2sin2α1+tanα=2sinαcsα−2sin2α1+sinαcsα=2sinαcsα(csα−sinα)sinα+csα=±51418．
【答案】
解：(1) 当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；
当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，
∴ L(x)=2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x 也可不取0）；
(2) 当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；
当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，
∴ 李刚家该月用电60度；
(3) 设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，
当0≤x≤30时，由L(x)得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，
∴ 25当x>30时，由L(x)得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，
∴ 30综上，25故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．
【考点】
函数模型的选择与应用
【解析】
（1）分0≤x≤30、x>30两种情况讨论即可；
（2）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)=35计算即得结论；
（3）通过分别令0≤x≤30、x>30时L(x)<0.58x计算即得结论．
【解答】
解：(1) 当0≤x≤30时，L(x)=2+0.5x；
当x>30时，L(x)=2+30×0.5+(x−30)×0.6=0.6x−1，
∴ L(x)=2+0.5x,0≤x≤30,0.6x−1,x>30,（注：x 也可不取0）；
(2) 当0≤x≤30时，由L(x)=2+0.5x=35,得x=66，舍去；
当x>30时，由L(x)=0.6x−1=35得x=60，
∴ 李刚家该月用电60度；
(3) 设按第二方案收费为F(x)元，则F(x)=0.58x，
当0≤x≤30时，由L(x)得：2+0.5x<0.58x，解得：x>25，
∴ 25当x>30时，由L(x)得：0.6x−1<0.58x，解得：x<50，
∴ 30综上，25故李刚家月用电量在25度到50度范围内（不含25度、50度）时，选择方案一比方案二更好．
【答案】
解：（1）∵ 函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，
∴ ω⋅2π3≤π2，∴ ω≤34．
（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，
可得y=2sin2(x+π6)的图象；
再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，
令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．
求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，
故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，
故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．
【考点】
函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
正弦函数的图象
【解析】
（1）由条件利用正弦函数的单调性求得ω的范围．
（2）利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，可得g(x)的图象的对称中心，从而求得g(x)的图象离原点O最近的对称中心．
【解答】
解：（1）∵ 函数f(x)=2sinωx在[−π4, 2π3]上单调递增，
∴ ω⋅2π3≤π2，∴ ω≤34．
（2）令ω=2，将函数y=f(x)=2sin2x的图象向左平移π6个单位，
可得y=2sin2(x+π6)的图象；
再向上平移1个单位，得到函数y=g(x)=2sin2(x+π6)+1的图象，
令g(x)=2sin(2x+π3)+1=0，可得2x+π3=2kπ+4π3，或2x+π3=2kπ+5π3，k∈Z．
求得x=kπ+π2，或x=kπ+2π3，k∈Z，
故g(x)的图象的对称中心为(kπ+π2, 0)或(kπ+2π3, 0)，k∈Z，
故g(x)的图象离原点O最近的对称中心为(−π3, 0)．
【答案】
证明：函数，
因为，，所以，
又y＝sinx和y＝在区间，
故函数f(x)在区间上单调递增，
由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；
因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，
所以，即，即＝0，
因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，
所以，则x1+x3＝．
【考点】
函数零点的判定定理
函数的零点与方程根的关系
【解析】
（1）通过判断f(0)与的正负，结合函数的单调性，利用零点的存在性定理证明即可；
（2）利用零点的定义可得，将其变形为＝0，通过g(x)有且只有一个零点x2，即可得到x1，x2的关系，即可求解．
【解答】
证明：函数，
因为，，所以，
又y＝sinx和y＝在区间，
故函数f(x)在区间上单调递增，
由零点的存在性定理可得函数f(x)在区间上有且只有一个零点；
因为函数f(x)在区间上有且只有一个零点，
所以，即，即＝0，
因为函数g(x)在上有且只有一个零点x2，
所以，则x1+x3＝．
【答案】
由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．
又f(x)＝lg2(4x+1)−2x＝lg2(4x+14x)＝lg2(1+14x)，
易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x>1，lg2(4x+14x)>0，即f(x)>0，
所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．
∵ f(x)＝lg2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，
∴ f(−1)＝f(1)，
∴ lg2(14+1)+k＝lg2(4+1)−k，
∴ k＝1
检验f(x)＝lg2(4x+1)−x＝lg2(2x+2−x)，
f(−x)＝lg2(4−x+1)+x＝lg2(2x+2−x)，
∴ f(x)＝f(−x)，
∴ f(x)为偶函数，
函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，
∴ 方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程 2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根，
令t＝2x>0，则方程 (b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，
①当b＝1时，t=−34，不合题意，
②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3
③若一个正根和一个负根，则 −1a−1<0，即b>1时，满足题意，
∴ 实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．
【考点】
函数与方程的综合运用
【解析】
（1）由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解，转化为利用函数的单调性求出a的范围；
（2）先根据偶函数的性质求出k的值，再根据函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，则方程f(x)＝ℎ(x)有且只有一个实根，化简可得方程 2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根令t＝2x>0，则转化才方程 (b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，讨论b＝1，以及△＝0与一个正根和一个负根，三种情形，即可求出实数b的取值范围．
【解答】
由题意函数g(x)存在零点，即f(x)＝a−1有解．
又f(x)＝lg2(4x+1)−2x＝lg2(4x+14x)＝lg2(1+14x)，
易知f(x)在(−∞, +∞)上是减函数，又1+14x>1，lg2(4x+14x)>0，即f(x)>0，
所以a−1∈(0, +∞)，所以a的取值范围是a∈(1, +∞)．
∵ f(x)＝lg2(4x+1)−kx的定义域为R，f(x)是偶函数，
∴ f(−1)＝f(1)，
∴ lg2(14+1)+k＝lg2(4+1)−k，
∴ k＝1
检验f(x)＝lg2(4x+1)−x＝lg2(2x+2−x)，
f(−x)＝lg2(4−x+1)+x＝lg2(2x+2−x)，
∴ f(x)＝f(−x)，
∴ f(x)为偶函数，
函数f(x)与ℎ(x)的图象有且只有一个公共点，
∴ 方程f(x)＝g(x)只有一解，即方程 2x+12x=b⋅2x−43b有且只有一个实根，
令t＝2x>0，则方程 (b−1)t2−43bt−1＝0有且只有一个正根，
①当b＝1时，t=−34，不合题意，
②当b≠1时，若方程有两相等正根，则△＝(−4b)2−4×3(b−1)×(−3)＝0，且4b2×3(b−1)>0，解得b＝−3
③若一个正根和一个负根，则 −1a−1<0，即b>1时，满足题意，
∴ 实数a的取值范围为{b|b>1或b＝−3}．