2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一（下）期末数学试卷

2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2021春•湖北期末）已知复数为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是　　

A． B． C． D．

2．（5分）（2021春•湖北期末）下列说法错误的是　　

A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查 

B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法 

C．简单随机抽样是等概率抽样 

D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量

3．（5分）（2021春•湖北期末）已知向量，，则下列结论正确的是　　

A．向量是单位向量 B．与不能作为基底 

C． D．与的夹角为

4．（5分）（2021春•湖北期末）为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是　　

A．第2天至第7天两名运动员的得分均逐日提高 

B．第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分 

C．第2天至第6天运动员的得分增量大于运动员的得分增量 

D．运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差

5．（5分）（2021春•湖北期末）对于平面外一直线，下列说法正确的是　　

A．内的所有直线都与异面 B．内有无数条直线与垂直 

C．内没有直线与相交 D．内有无数条直线与平行

6．（5分）（2021•宝鸡模拟）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人　　

A．8000 B．8100 C．8200 D．8300

7．（5分）（2021春•湖北期末）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有　　个．

A．1 B．2 C．3 D．4

8．（5分）（2021春•湖北期末）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为　　

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•湖北期末）已知两个平面垂直，下列命题错误的有　　

A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 

B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线 

C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 

D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

10．（5分）（2021春•湖北期末）有甲、乙两组数据，甲：1、2、、、10，乙：1、2、5、6、11，其中，，若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则可以为　　

A． B． C． D．

11．（5分）（2021春•湖北期末）对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有　　

A． B． C． D．

12．（5分）（2021春•湖北期末）正方体中，，点在线段上运动，则下列说法中正确的有　　

A． 

B．点从向运动过程中，三棱锥的体积先增大后减小 

C．当为中点时，三棱锥的外接球的表面积为 

D．若，设与底面所成的角为，二面角的平面角为，则

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2021春•湖北期末）在长方体的各条棱所在直线中，与直线异面且垂直的直线有 　　条．

14．（5分）（2021春•湖北期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则　　．

15．（5分）（2021春•湖北期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 　　．

16．（5分）（2021春•湖北期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biē nào．已知在鳖臑中，面，，则该鳖臑的表面积为 　　，它的内切球的半径为 　　．

四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2021春•湖北期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）记复数，求复数的模．

18．（12分）（2021春•湖北期末）一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行到达海岛．

（1）求的长；

（2）如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行？

19．（12分）（2021春•湖北期末）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，面，．

（1）求证：；

（2）若为的中点，问线段上是否存在点，使得面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

20．（12分）（2021春•湖北期末）武汉市重点中学联合体高一年级举行了期中统一考试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：

（1）求出表中，，，的值，并根据表中数据补全频率分布直方图；

（2）请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数；

（3）命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95到105之间，请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待？

21．（12分）（2021春•湖北期末）如图1，在等腰梯形中，，，，．将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点，形成图2，且是等腰直角三角形．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若，求四棱锥的体积．

2020-2021学年湖北省部分省级示范高中高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）（2021春•湖北期末）已知复数为虚数单位），设是的共轭复数，则的虚部是　　

A． B． C． D．

【解答】解：为虚数单位），

，

的虚部是．

故选：．

2．（5分）（2021春•湖北期末）下列说法错误的是　　

A．调查一个班级学生每周的体育锻炼时间适合用全面调查 

B．实现简单随机抽样的常用方法有抽签法和随机数法 

C．简单随机抽样是等概率抽样 

D．为了了解某地参加计算机水平测试的5000名学生的成绩，从中抽取了200名学生进行调查分析．在这个问题中，被抽取的200名学生是样本量

【解答】解：对于，一个班级的学生相对较少，适合用全面调查，故正确，

对于，抽签法和随机数法是两种常见的简单随机抽样方法，故正确，

对于，简单随机抽样种每个个体被抽到的可能性是相等的，是等概率抽样，故正确，

对于，被抽取的200名学生是样本，不是样本量，故错误．

故选：．

3．（5分）（2021春•湖北期末）已知向量，，则下列结论正确的是　　

A．向量是单位向量 B．与不能作为基底 

C． D．与的夹角为

【解答】解：向量，，不是单位向量，故错误；

由于，不共线，故它们可以作为平面向量的一个基底，故错误；

，故错误；

，，，，故正确．

故选：．

4．（5分）（2021春•湖北期末）为考察、两名运动员的训练情况，下面是、两名运动员连续10天完成训练指标任务的综合得分的折线图，给出下列四个结论，其中错误的结论是　　

A．第2天至第7天两名运动员的得分均逐日提高 

B．第4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分 

C．第2天至第6天运动员的得分增量大于运动员的得分增量 

D．运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差

【解答】解：对于，第2天至第7天，两条折线均递增，即第2天至第7天两名运动员的得分均逐日提高，故正确，

对于，由折线图可知，4天至第10天两名运动员综合得分均超过80分，故正确，

对于，由折线图可知，第2天至第6天，运动员的折线比运动员更陡，即第2天至第6天运动员的得分增量大于运动员的得分增量，故正确，

对于，由折线图可知，运动员第1天至第3天的得分波动小于第2天至第4天的得分波动，即运动员第1天至第3天的得分方差大于第2天至第4天的得分方差，故错误．

故选：．

5．（5分）（2021春•湖北期末）对于平面外一直线，下列说法正确的是　　

A．内的所有直线都与异面 B．内有无数条直线与垂直 

C．内没有直线与相交 D．内有无数条直线与平行

【解答】解：直线为平面外的直线，或与相交，

当时，内的直线与平行或异面，当与相交时，内的直线与相交或异面．

错误，内有无数条直线与垂直，正确．

故选：．

6．（5分）（2021•宝鸡模拟）我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”其意思为：“今有某地北面若干人，西面有7488人，南面有6912人，这三面要征调300人，而北面共征调108人（用分层抽样的方法），则北面共有多少人　　

A．8000 B．8100 C．8200 D．8300

【解答】解：设北面人数为，根据题意知，

，

解得，

所以北面共有8100人．

故选：．

7．（5分）（2021春•湖北期末）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的有　　个．

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：对于①，如图，

为底面对角线的交点，可得，

又平面，所以直线与平面不平行；

对于②，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；

对于③，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行；

对于④，由于，结合线面平行的判定定理可知与平面平行．

所以在这四个正方体中，直线与平面平行的有3个．

故选：．

8．（5分）（2021春•湖北期末）在一个底面圆直径和高都是2的圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的底面与圆柱的下底面重合，圆锥的顶点是圆柱的上底面中心．这个几何体的表面积为　　

A． B． C． D．

【解答】解：挖去的圆锥的母线长为，

则圆锥的侧面积为，

圆柱的侧面积为，圆柱的一个底面面积为，

所以组合体的表面积为．

故选：．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）（2021春•湖北期末）已知两个平面垂直，下列命题错误的有　　

A．一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线 

B．一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线 

C．一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面 

D．过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面

【解答】解：对于，一个平面内只有垂直于交线的直线和另一个平面垂直，

才和另一个平面内任意一条直线垂直，故，均错误；

对于，过一个平面内任意一点作交线的垂线，

该垂线在平面内时，则此垂线必垂直于另一个平面，

若点在交线上时，作交线的垂线，则垂线不一定在平面内，

此垂线不一定垂直于另一个平面，故错误；

因为另一个平面内有无数条平行直线垂直于该平面，都与该直线垂直，故正确．

故选：．

10．（5分）（2021春•湖北期末）有甲、乙两组数据，甲：1、2、、、10，乙：1、2、5、6、11，其中，，若甲组数据的平均数等于乙组数据的中位数，要使甲组数据的方差小于乙组数据的方差，则可以为　　

A． B． C． D．

【解答】解：由题意可得，，解得，平均数为5，

乙组数据的平均数为，

甲组数据的方差小于乙组数据的方差，

，即，

，，

可以为，，，，．

故选：．

11．（5分）（2021春•湖北期末）对任意复数，，为虚数单位，是的共轭复数，则下列结论正确的有　　

A． B． C． D．

【解答】解：对于，，

，

，故错误，

对于，，，

则不一定等于，故错误，

对于，，故正确，

对于，，

要证，

即证，

即证，显然成立，即原式得证，故正确．

故选：．

12．（5分）（2021春•湖北期末）正方体中，，点在线段上运动，则下列说法中正确的有　　

A． 

B．点从向运动过程中，三棱锥的体积先增大后减小 

C．当为中点时，三棱锥的外接球的表面积为 

D．若，设与底面所成的角为，二面角的平面角为，则

【解答】解：．由正方体的特征知：，，又，所以平面，则，

同理，又，所以平面，所以，故正确；

．由正方体的特征知：，所以点从向运动过程中，点到平面的距离不变，又是定值，所以三棱锥的体积不变，故错误；

．当为中点时，三棱锥的外接球的球心为的中点，所以，所以外接球的表面积为，故正确：

．如图所示，

过点作，连接，则与底面所成的角，二面角的平面角，

因为，所以，

则，

又，所以，故正确；

故选：．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（5分）（2021春•湖北期末）在长方体的各条棱所在直线中，与直线异面且垂直的直线有 　4　条．

【解答】解：如图所示，

与直线异面且垂直的直线有，，，，共4条，

故答案为：4．

14．（5分）（2021春•湖北期末）已知，复平面内表示复数的点在虚轴上，则　6或　．

【解答】解：复平面内表示复数的点在虚轴上，

所以，解得或．

故答案为：6或．

15．（5分）（2021春•湖北期末）已知非零向量，满足，且，则与的夹角为 　　．

【解答】解：因为，且，

所以，

解得，

又因为，，所以，

即与的夹角为．

故答案为：．

16．（5分）（2021春•湖北期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑biē nào．已知在鳖臑中，面，，则该鳖臑的表面积为 　　，它的内切球的半径为 　　．

【解答】解：已知在鳖臑中，面，，

如图所示：

故：，，，

故；

设内切球的半径为，

利用等体积转换；，

解得：．

四、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）（2021春•湖北期末）已知是关于的方程的一个根，其中为虚数单位．

（Ⅰ）求，的值；

（Ⅱ）记复数，求复数的模．

【解答】解：（Ⅰ）令，代入已知方程可得：

，整理可得：，

所以，解得，，

（Ⅱ），则，

所以．

18．（12分）（2021春•湖北期末）一艘海轮从出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛，然后从出发，沿北偏东的方向航行到达海岛．

（1）求的长；

（2）如果下次航行直接从出发到达，应沿什么方向航行？

【解答】解：（1）由题意，在中，，，，

根据余弦定理得，

所以．

（2）根据正弦定理得，，

所以，可得航行直接从出发到达，应沿北偏东的方向航行．

19．（12分）（2021春•湖北期末）在如图所示的四棱锥中，四边形是等腰梯形，，，面，．

（1）求证：；

（2）若为的中点，问线段上是否存在点，使得面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

【解答】证明：（1），，

又，，

，又，

，又，，，

，，

，即，

平面，，平面，

；

（2）解：线段上存在点，使得平面，

下面证明结论：

如图，取中点，连接，，在线段上取点，使得，连接，

由（1）知，在中，，，，，

所以，

因为，，

所以，

因为为中点，为的中点，

所以，

所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

因为平面，平面，

所以平面，

所以线段上存在点，

使得平面．

20．（12分）（2021春•湖北期末）武汉市重点中学联合体高一年级举行了期中统一考试，随机抽取一部分学生的数学成绩分组统计如下表：

（1）求出表中，，，的值，并根据表中数据补全频率分布直方图；

（2）请根据频率分布直方图估计这次数学成绩的样本数据的第35百分位数；

（3）命题老师在考前期待这份试卷成绩的平均分在95到105之间，请你根据频率分布直方图估计最终成绩是否符合他的期待？

【解答】解：（1）由频率分布表，得总数，

，第四组的频率，

由频率之和为1，可得．

补全频率分布直方图如图：

（2）由题意，总人数为100，前两组的频率为，

第三组的频率为0.35，则第35百分位数一定在第三组内，等于；

（3）由频率分布直方图可得分数的平均值为：，

，不符合命题老师的期待．

21．（12分）（2021春•湖北期末）如图1，在等腰梯形中，，，，．将与分别沿，折起，使得点、重合（记为点，形成图2，且是等腰直角三角形．

（1）证明：平面平面；

（2）求二面角的正弦值；

（3）若，求四棱锥的体积．

【解答】解：（1）证明：由题意得，又，，故平面，

又平面，故平面平面；

（2）如图，连接，，，，分别为，的中点，

由（1）知，故，又，，，

故为二面角的平面角，

由（1）知，平面，又平面，故平面平面，

又平面平面，，平面，

设，则，，，

，

故二面角的正弦值为；

（3）由（2）得平面，又，所以，，

故四棱锥的体积为．

声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2022/6/13 19:23:38；用户：13159259195；邮箱：13159259195；学号：39016604