数学23.2.1 中心对称学案
展开第二十三章 旋转
23.2 中心对称
23.2.1 中心对称
学习目标：1.理解中心对称的定义.
2.探究中心对称的性质.
3.掌握中心对称的性质及其应用.
重点：掌握中心对称的性质及其应用.
难点：探究中心对称的性质.
一、知识链接
1.回忆什么是轴对称？成轴对称的两个图形有什么性质？
如果一个图形沿着 对折后能与 重合，则称这两个图形关于这条直线对称或轴对称；成轴对称的图形，它们的对应点的连线被对称轴 .
2.什么是旋转？旋转有哪些性质？
确定图形旋转的三要素为 、 、 ；对应点到旋转中心的距离 ，对应点与旋转中心所连线段的夹角 ，旋转前、后的图形 .
二、要点探究
探究点1：中心对称及相关概念
问题1 观察下列图形的运动，说一说它们有什么共同点.
知识要点 如果把一个图形(如△ABO)绕定点O旋转180°，它能够与另一个图形(如△CDO)重合，那么就说这两个图形△ABO与△CDO关于点O的对称或中心对称，点O就是对称中心.
填一填：如图，△OCD与△OAB关于点O中心对称 ，
则____是对称中心，
点A与_____是对称点，
点B与____是对称点.
典例精析
例1 下列五组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( )
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
方法总结：判断两个图形是否成中心对称，就是看其中一个图形绕某一点旋转180°后能否与另一个图形重合.
要点归纳：1.中心对称是一种特殊的旋转，其旋转角是180 °.
2.中心对称是两个图形之间一种特殊的位置关系.
3.成中心对称是两个图形只有一个对称中心，对称中心可能在图形的外部、内部或图形上，当对称点一定在对称中心两侧或与对称中心重合.
探究点2：中心对称的性质
问题2 如图，旋转三角尺，画出△ABC关于点O中心对称的△A′B′C′ .
找一找 下图中△A′B′C′与△ABC关于点O是成中心对称，你能从图中找到哪些等量关系?
知识要点 中心对称的性质：
1.成中心对称的两个图形中，对应点所连线段经过对称中心，且被对称中心平分.(即对称点与对称中心三点共线)
2.中心对称的两个图形是全等形.
例2 如图①，△ABC与△A′B′C′关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是( )
A．点A与点A′是对称点 B．BO=B′O C．AB=A′B′ D．∠ACB=∠C′A′B′
图① 图②
变式 如图②，已知△AOB与△DOC成中心对称，△AOB的面积是12，AB＝3，则△DOC中CD边上的高为________.
方法总结：成中心对称的两个图形是全等图形，满足全等图形的性质.
例3 如图，已知△ABC与△A′B′C′中心对称，找出它们的对称中心O.
方法总结：确定成中心对称的两个图形的对称中心的方法：
①连接任意一对对称点，取这条线段的中点，这个中点就是对称中心；
②连接任意两对对称点，两条线段的交点就是对称中心.
例4 (教材P65例1)(1)如图1，选择点O为对称中心，画出点A关于O点的对称点A'；
(2)如图2，选择点O为对称中心，画出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'.
练一练 如图，已知四边形ABCD和点O，试画出四边形ABCD关于点O成中心对称的图形A'B'C'D'.
拓展提升 想一想中心对称和轴对称有什么异同？（至少写出三点）
| 轴对称 | 中心对称 |
1 |
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2 |
|
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3 |
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|
三、课堂小结
中心对称 | 概念 | 旋转角是180° |
性质 | 对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分 | |
作图 | 应用1：作图形关于某点对称的图形； 应用2：找出对称中心. |
1.判断正误：
(1)成轴对称的两个图形一定是全等形，但全等的两个图形不一定是成轴对称的图形. ( )
(2)成中心对称的两个图形一定是全等形.但全等的两个图形不一定是成中心对称的图形. ( )
(3)全等的两个图形，不是成中心对称的图形，就是成轴对称的图形. ( )
2.如下所示的4组图形中，左边数字与右边数字成中心对称的有( )
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
3.如图，已知△AOB与△DOC成中心对称，EF是△AOB的中位线，GH是△DOC的中位线，已知AB＝8，则GH＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
4.如图，已知等边三角形ABC和点O，画△A′B′C′,使△A′B′C′和△ABC关于点O成中心对称.
5.如图，△ABO与△CDO关于O点中心对称，点E，F在线段AC上，且AF=CE，求证：FD=BE．
参考答案
自主学习
一、知识链接
- 一条直线 另一个图形 垂直平分
- 旋转中心 旋转方向 旋转角 相等 等于旋转角 全等
课堂探究
二、要点探究
探究点1：
问题1 解：旋转角为180°，旋转前后的图形重合.
填一填 O C D
典例精析
例1 B
探究点2：
问题2 解：图略.
找一找 解：（1）OA=OA′、OB=OB′、 OC=OC′.（2）△ABC≌△A′B′C′.
例2 D
变式 8 解析：设AB边上的高为h，∵△AOB的面积是12，AB＝3，∴h＝8.又∵△AOB
与△DOC成中心对称，∴△COD≌△AOB，∴△DOC中CD边上的高是8.
例3 解：解法1：根据观察，B、B′应是对应点，连接BB′，用刻度尺找出BB′的中点O，
则点O即为所求（图略）；解法2：根据观察，B、B′及C、C′应是两组对应点，连接BB′、CC′，BB′、CC′相交于点O，则点O即为所求（图略）.
例4 解：作法：(1)连接AO并延长到A'，使OA'=OA，即可得到点A的对应点A'；(2)作出
A，B，C三点关于点O的对称点A'，B'，C'，顺次连接A'B'，B'C'，C'A'，则三角形A'B'C'
即为所作.
练习 解：作法：1.连接AO并延长到A'，使OA'=OA，得到点A的对应点A'；2.同理，可
作出点B，C，D的对应点B'，C'，D'；3.顺次连接A'，B'，C'，D'，则四边形A'B'C'D'即为
所作.
拓展提升
| 轴对称 | 中心对称 |
1 | 有一条对称轴——直线 | 有一个对称中心——点 |
2 | 图形沿轴对折（翻转180°） | 图形绕中心旋转180° |
3 | 翻转后和另一个图形重合 | 旋转后和另一个图形重合 |
当堂检测
- （1）√ （2）√ （3）×
- C 3. B 4.图略
- 证明：∵△ABO与△CDO关于O点中心对称，∴BO=DO，AO=CO，∵AF=CE，∴AO－AF=CO－CE，∴FO=EO，在△FOD和△EOB中 ∴△FOD≌△EOB（SAS）. ∴DF=BE．
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