2019-2020学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷 - 解析

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷 - 解析，共24页。

2019-2020学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑.
1．（3分）（2019•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．（3分）（2019秋•青山区期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＝2 D．x＝﹣2
3．（3分）（2019秋•青山区期末）点（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
4．（3分）（2019秋•青山区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．
5．（3分）（2020春•肃州区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．a3•a4＝a7 C．（2a2）3＝6a6 D．（）﹣2＝
6．（3分）（2019秋•青山区期末）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝﹣ D．＝
7．（3分）（2014•黔西南州）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
8．（3分）（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若∠FAC＝∠B，则∠FAB的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．50°
9．（3分）（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，则AC的长为（　　）

A．3 B．11 C．15 D．9
10．（3分）（2019秋•青山区期末）关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（　　）
A．x1＝a，x2＝ B．x1＝a，x2＝
C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a，x2＝
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．（3分）（2019秋•青山区期末）计算：（﹣3）0＝　 　．
12．（3分）（2019秋•青山区期末）数0.0000046用科学记数法表示为：　 　．
13．（3分）（2019秋•青山区期末）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为　 　．
14．（3分）（2019秋•青山区期末）已知a+b＝5，ab＝3，＝　 　．
15．（3分）（2019秋•黑河期末）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为：　 　°．
16．（3分）（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝82°，∠DBC＝38°，连接AD、CD，则∠ADB的度数为　 　．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形
17．（8分）（2019秋•青山区期末）计算：
（1）（4a﹣b2）（﹣2b）；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
18．（8分）（2019秋•青山区期末）分解因式：
（1）16﹣b2；
（2）3ax2﹣6axy+3ay2．
19．（8分）（2019秋•青山区期末）先化简，再求值：，其中x＝5．
20．（8分）（2019秋•青山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）．
（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ＝45°．
①在图中取点E，使得BE＝BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为　 　；
②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．

21．（8分）（2019秋•青山区期末）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

22．（10分）（2019秋•青山区期末）“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．
（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？
（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？
23．（10分）（2019秋•青山区期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．
（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；
（2）延长BD与EF交于点G．
①如图2，求证：∠BGE＝60°；
②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为　 　．

24．（12分）（2019秋•青山区期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：a2﹣10a+25+|b﹣5|＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以BD为腰作等腰Rt△BDC，过点C作CE⊥x轴于点E．
①求证：△DBO≌△BCE；
②连接AC交x轴于点F，若AD＝4，求点F的坐标．


2019-2020学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上，将对应的答案标号涂黑.
1．（3分）（2019•武汉）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性，下列美术字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用轴对称图形定义判断即可．
【解答】解：四个汉字中，可以看作轴对称图形的是，
故选：D．
【点评】此题考查了轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的定义是解本题的关键．
2．（3分）（2019秋•青山区期末）要使分式有意义，则x的取值应满足（　　）
A．x≠2 B．x≠﹣2 C．x＝2 D．x＝﹣2
【分析】根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【解答】解：由题意知x﹣2≠0，
解得：x≠2，
故选：A．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不等于零是解答此题的关键．
3．（3分）（2019秋•青山区期末）点（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（　　）
A．（﹣3，5） B．（5，﹣3） C．（﹣3，﹣5） D．（3，5）
【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【解答】解：点（3，﹣5）关于y轴对称的点的坐标是（﹣3，﹣5），
故选：C．
【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4．（3分）（2019秋•青山区期末）下列各式由左边到右边的变形中，是分解因式的是（　　）
A．a（x﹣y）＝ax﹣ay B．x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3
C．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） D．
【分析】直接利用分解因式的定义分析得出答案．
【解答】解：A、a（x﹣y）＝ax﹣ay，是整式乘法运算，故此选项错误；
B、x2﹣4x+3＝x（x﹣4）+3，不符合分解因式的定义，故此选项错误；
C、a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），是分解因式，符合题意；
D、a2+1＝a（a+），不符合分解因式的定义，故此选项错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了因式分解的意义，正确把握定义是解题关键．
5．（3分）（2020春•肃州区期末）下列计算正确的是（　　）
A．a8÷a2＝a4 B．a3•a4＝a7 C．（2a2）3＝6a6 D．（）﹣2＝
【分析】分别根据同底数幂的乘除法法则，幂的乘方与积的乘方运算法则以及负整数指数幂的运算法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a8÷a2＝a6，故本选项不合题意；
B．a3．a4＝a7，正确；
C．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；
D，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方与积的乘方以及负整数指数幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
6．（3分）（2019秋•青山区期末）下列各式中，正确的是（　　）
A．＝ B．＝
C．＝﹣ D．＝
【分析】先想一下分式的基本性质的内容，根据分式的基本性质逐个判断即可．
【解答】解：A、根据分式的基本性质应该分子和分母都除以b，故本选项错误；
B、根据分式的基本性质，分子和分母都加上2不相等，故本选项错误；
C、＝﹣，故本选项错误；
D、∵a﹣2≠0，
∴＝，故本选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了分式的基本性质的应用，主要考查学生对分式的基本性质的理解能力和判断能力，题目比较典型，比较容易出错．
7．（3分）（2014•黔西南州）如图，已知AB＝AD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（　　）

A．CB＝CD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BCA＝∠DCA D．∠B＝∠D＝90°
【分析】要判定△ABC≌△ADC，已知AB＝AD，AC是公共边，具备了两组边对应相等，故添加CB＝CD、∠BAC＝∠DAC、∠B＝∠D＝90°后可分别根据SSS、SAS、HL能判定△ABC≌△ADC，而添加∠BCA＝∠DCA后则不能．
【解答】解：A、添加CB＝CD，根据SSS，能判定△ABC≌△ADC，故A选项不符合题意；
B、添加∠BAC＝∠DAC，根据SAS，能判定△ABC≌△ADC，故B选项不符合题意；
C、添加∠BCA＝∠DCA时，不能判定△ABC≌△ADC，故C选项符合题意；
D、添加∠B＝∠D＝90°，根据HL，能判定△ABC≌△ADC，故D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．（3分）（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F，连接AF，若∠FAC＝∠B，则∠FAB的度数为（　　）

A．25° B．30° C．35° D．50°
【分析】先由等腰三角形的性质求出∠B的度数，再由垂直平分线的性质可得出∠BAF＝∠B，进而可得出结论．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵EF垂直平分AB，
∴BF＝AF，
∴∠BAF＝∠B＝∠C，
∵∠FAC＝∠B，
∴∠B+3∠B＝180°，
∴∠B＝25°，
∴∠FAB的度数为25°，
故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质，熟知线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解答此题的关键．
9．（3分）（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B＝2∠ADB，AB＝4，CD＝7，则AC的长为（　　）

A．3 B．11 C．15 D．9
【分析】在AC上截取AE＝AB，连接DE，证明△ABD≌△AED，得到∠B＝∠AED，再证明CD＝EC，进而代入数值解答即可．
【解答】解：在AC上截取AE＝AB，连接DE，

∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠DAC，
在△ABD和△AED中，
，
∴△ABD≌△AED（SAS），
∴∠B＝∠AED，∠ADB＝∠ADE，BD＝DE，又∠B＝2∠ADB，
∴∠AED＝2∠ADB，
而∠BDE＝∠ADB+∠ADE＝2∠ADB，
∴∠BDE＝∠AED，
∴∠CED＝∠EDC，
∴CD＝CE，
∴AC＝AE+CE＝AB+CD＝4+7＝11．
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
10．（3分）（2019秋•青山区期末）关于x的方程x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝；x+＝a+的两个解为x1＝a，x2＝，则关于x的方程x+＝a+的两个解为（　　）
A．x1＝a，x2＝ B．x1＝a，x2＝
C．x1＝a，x2＝ D．x1＝a，x2＝
【分析】所求方程变形后，根据题中求方程解的方法求出解即可．
【解答】解：已知方程整理得：（x﹣1）+＝（a﹣1）+，
根据题中方程的解得所求方程的解为x﹣1＝a﹣1，x﹣1＝，
解得：x1＝a，x2＝，
经检验x1＝a，x2＝都为分式方程的解，
故选：D．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置.
11．（3分）（2019秋•青山区期末）计算：（﹣3）0＝　1　．
【分析】根据零指数幂公式可得：（﹣3）0＝1．
【解答】解：原式＝1；
故答案为：1．
【点评】本题主要考查了零指数幂，任何非0数的0次幂等于1．
12．（3分）（2019秋•青山区期末）数0.0000046用科学记数法表示为：　4.6×10﹣6　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.0000046＝4.6×10﹣6，
故答案为：4.6×10﹣6．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
13．（3分）（2019秋•青山区期末）已知（x+4）（x﹣9）＝x2+mx﹣36，则m的值为　﹣5　．
【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．
【解答】解：∵（x+4）（x﹣9）＝x2﹣5x﹣36，
∴m＝﹣5，
故答案为：﹣5．
【点评】本题考查多项式，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．
14．（3分）（2019秋•青山区期末）已知a+b＝5，ab＝3，＝　　．
【分析】将a+b＝5、ab＝3代入原式＝＝，计算可得．
【解答】解：当a+b＝5、ab＝3时，
原式＝
＝
＝
＝，
故答案为：．
【点评】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握分式的加减运算法则和完全平方公式．
15．（3分）（2019秋•黑河期末）一个等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则它的顶角为：　50或130　°．
【分析】等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况，所以舍去不计，另外两种情况可以根据垂直的性质及外角的性质求出顶角的度数．
【解答】解：①当为锐角三角形时，如图，
高与右边腰成40°夹角，由三角形内角和为180°可得，顶角为50°；
②当为钝角三角形时，如图，此时垂足落到三角形外面，
因为三角形内角和为180°，
由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为50°，
所以三角形的顶角为130°．
故答案为50°或130°．


【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．
16．（3分）（2019秋•青山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝82°，∠DBC＝38°，连接AD、CD，则∠ADB的度数为　30°　．

【分析】如图，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，根据等腰三角形的性质得到∠ABC＝∠ACB，求得∠ABC＝49°，得到∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°，根据全等三角形的性质得到∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′，求得∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°，推出△D′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质得到D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，由全等三角形的性质得到∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°，等量代换得到∠ADB＝30°．
【解答】解：如图，作∠AB D′＝∠ABD，B D′＝BD，连接CD′，AD′，

∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC＝82°，
∴∠ABC＝49°，
∵∠DBC＝38°，
∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝11°，
∵在△ABD和△ABD′中，，
∴△ABD≌△ABD′（SAS），
∴∠ABD＝∠ABD′＝11°，∠ADB＝∠AD′B，AD＝AD′，
∴∠D′BC＝∠ABD′+∠ABC＝11+49°＝60°，
∵BD＝BD′，BD＝BC，
∴BD′＝BC，
∴△D′BC是等边三角形，
∴D′B＝D′C，∠BD′C＝60°，
在△AD′B和△AD′C中，
，
∴△AD′B≌△AD′C（SSS），
∴∠AD′B＝∠AD′C＝∠BD′C＝30°，
∴∠ADB＝30°，
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形
17．（8分）（2019秋•青山区期末）计算：
（1）（4a﹣b2）（﹣2b）；
（2）（15x2y﹣10xy2）÷5xy．
【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可；
（2）根据多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加进行计算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8ab+2b3；

（2）原式＝15x2y÷5xy﹣10xy2÷5xy
＝3x﹣2y．
【点评】此题主要考查了整式的乘除，关键是掌握计算法则．
18．（8分）（2019秋•青山区期末）分解因式：
（1）16﹣b2；
（2）3ax2﹣6axy+3ay2．
【分析】（1）直接利用平方差进行分解即可；
（2）首先提公因式3a，再利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式＝（4+b）（4﹣b）；

（2）原式＝3a（x2﹣2xy+y2）＝3a（x﹣y）2．
【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
19．（8分）（2019秋•青山区期末）先化简，再求值：，其中x＝5．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x＝5代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
＝
＝
＝，
当x＝5时，原式＝＝．
【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．
20．（8分）（2019秋•青山区期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（﹣1，5）．
（1）①画出线段AB关于y轴对称的线段CD；
②在y轴上找一点P使PA+PB的值最小（保留作图痕迹）；
（2）按下列步骤，用不带刻度的直尺在线段CD找一点Q使∠BAQ＝45°．
①在图中取点E，使得BE＝BA，且BE⊥BA，则点E的坐标为　（4，3）　；
②连接AE交CD于点Q，则点Q即为所求．

【分析】（1）①由轴对称的性质可作出线段CD；②连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使PA+PB的值最小；
（2）①由垂直的定义可作出线段BE，可写出点E的坐标；②连接AE交CD于点Q，由等腰直角三角形的性质可知∠BAQ＝45°，点Q即为所求．
【解答】解：（1）①如图1所示；
②如图1，连接BD，交y轴于点P，连接AP，则此时点P使PA+PB的值最小，理由是：两点之间，线段最短；


（2）①由垂直的定义可作出线段BE，点E坐标为（4，3），
故答案为：（4，3）；
②如图2，点Q即为所求．

【点评】本题考查了轴对称的性质，最短路径问题，等腰直角三角形的性质等，解题关键是能够将最短路径问题转化为两点之间线段最短的问题及灵活运用等腰直角三角形的性质等．
21．（8分）（2019秋•青山区期末）已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）如图1，求证：DE＝AD+BE；
（2）如图2，点O为AB的中点，连接OD，OE．请判断△ODE的形状？并说明理由．

【分析】（1）根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，AD＝CE；
（2）如图2，连接OC，由等腰直角三角形的性质可得AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，由“SAS”可证△DCO≌△EBO，△ADO≌△CEO，可得EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，∠AOD＝∠COE，可证△DOE是等腰直角三角形．
【解答】（1）证明：如图1，

∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，AD＝CE．
∴DE＝DC+CE＝AD+BE，即DE＝AD+BE；

（2）△DOE等腰直角三角形，
理由如下：如图2，连接OC，

∵AC＝BC，∠ACB＝90°，点O是AB中点，
∴AO＝BO＝CO，∠CAB＝∠CBA＝45°，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠ADC＝∠BEC＝90°，
∵∠BOC+∠BEC+∠ECO+∠EBO＝360°，
∴∠EBO+∠ECO＝180°，且∠DCO+∠ECO＝180°，
∴∠DCO＝∠EBO，且DC＝BE，CO＝BO，
∴△DCO≌△EBO（SAS），
∴EO＝DO，∠EOB＝∠DOC，
同理可证：△ADO≌△CEO，
∴∠AOD＝∠COE，
∵∠AOD+∠DOC＝90°，
∴∠DOC+∠COE＝90°，
∴∠DOE＝90°，且DO＝OE，
∴△DOE是等腰直角三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，添加恰当辅助线是本题的关键．
22．（10分）（2019秋•青山区期末）“军运会”期间，某纪念品店老板用5000元购进一批纪念品，由于深受顾客喜爱，很快售完，老板又用6000元购进同样数目的这种纪念品，但第二次每个进价比第一次每个进价多了2元．
（1）求该纪念品第一次每个进价是多少元？
（2）老板以每个15元的价格销售该纪念品，当第二次纪念品售出时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二次的销售利润不低于900元，剩余的纪念品每个售价至少要多少元？
【分析】（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，根据题意列出方程即可求出答案．
（2）设剩余的纪念品每个售价要y元，根据题意列出不等式即可求出答案．
【解答】解：（1）设该纪念品第一次每个进价是x元，
∴第二次每个进价是（x+2）元，
∴根据题意可知：＝，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是方程的解，
答：该纪念品第一次进价为10元．

（2）设剩余的纪念品每个售价要y元，
×500×（y﹣12）+×500×（15﹣12）≥900，
解得：y≥12，
答：剩余的纪念品每个售价至少12元．
【点评】本题考查分式方程，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
23．（10分）（2019秋•青山区期末）如图，△ABC是等边三角形，D、E为AC上两点，且AE＝CD，延长BC至点F，使CF＝CD，连接BD．
（1）如图1，当D、E两点重合时，求证：BD＝DF；
（2）延长BD与EF交于点G．
①如图2，求证：∠BGE＝60°；
②如图3，连接BE，CG．若∠EBD＝30°，BG＝4，则△BCG的面积为　2　．

【分析】（1）证明∠DBF＝∠F＝30°即可解决问题．
（2）①如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．证明△BEH≌△EFC（SAS），推出∠EBH＝∠CEF，△ABE≌△CBD（SAS），推出∠ABE＝∠CBD，推出∠CBD＝∠DEG即可解决问题．
②想办法证明∠BCG＝90°即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，

∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，
∵AD＝DC＝CF，
∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∠F＝∠CDF，
∵∠ACB＝∠F+∠CDF＝60°，
∴∠F＝30°，
∴∠DBC＝∠F，
∴BD＝DF．

（2）①证明：如图2中，作EH∥BC交AB于H，连接BE．

∵EH∥BC，
∴∠AHE＝∠ABC＝60°，∠AEH＝∠ACB＝60°，
∵∠A＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH＝AH，
∵AB＝AC，
∴BH＝CE，
∵AE＝CF，
∴EH＝CF，
∵∠BHE＝∠ECF＝120°，
∴△BEH≌△EFC（SAS），
∴∠EBH＝∠CEF，
∵AB＝BC，∠A＝∠BCD，AE＝CD，
∴△ABE≌△CBD（SAS），
∴∠ABE＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠DEG，
∵∠CDB＝∠GDE，
∴∠EGD＝∠DCB＝60°，
即∠BGE＝60°．

②解：如图3中，在BC上取一点T，使得BT＝TG，连接TG，设CG＝x．

由题意：∠ABE＝∠CBD＝15°，
∵∠BCE＝∠BGE＝60°，
∴B，C，G，E四点共圆，
∴∠ECG＝∠EBG＝30°，
∴∠BCG＝90°，
∵TB＝TG，
∴∠TBG＝∠TGB＝15°，
∴∠GTC＝∠TBG+∠BGT＝30°，
∴BT＝GT＝2GC＝2c，TC＝x，
∵BG2＝CG2+BC2，
∴42＝x2+（2x+x）2，
∴x2＝4（2﹣）
∴S△BCG＝•BC•CG＝×（2+）x2＝2，
故答案为2．
【点评】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，教育的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24．（12分）（2019秋•青山区期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别是点A（0，a），点B（b，0），且a，b满足：a2﹣10a+25+|b﹣5|＝0．
（1）求∠ABO的度数；
（2）点D是y轴正半轴上A点上方一点（不与A点重合），以BD为腰作等腰Rt△BDC，过点C作CE⊥x轴于点E．
①求证：△DBO≌△BCE；
②连接AC交x轴于点F，若AD＝4，求点F的坐标．

【分析】（1）根据非负数的性质得到点A（0，5），点B（5，0），求得△AOB是等腰直角三角形，于是得到∠ABO＝45°；
（2）①根据等腰直角三角形的性质得到∠DBC＝90°，BD＝BC，求得∠DBO＝∠BCE，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到OD＝BE，CE＝OB＝5，得到C（﹣4，﹣5），求得直线AC的解析式为：y＝x+5，解方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵a2﹣10a+25+|b﹣5|＝（a﹣5）2+|b﹣5|＝0，
∴a＝5，b＝5，
∴点A（0，5），点B（5，0），
∴OA＝OB＝5，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴∠ABO＝45°；
（2）①在等腰Rt△BDC中，∠DBC＝90°，BD＝BC，
∵CE⊥x轴于点E，
∴∠CEB＝∠AOB＝90°，
∴∠CBE+∠BCE＝∠CBE+∠DBO＝90°，
∴∠DBO＝∠BCE，
∴△DBO≌△BCE（AAS）；
②∵△DBO≌△BCE，
∴OD＝BE，CE＝OB＝5，
∵AD＝4，
∴BE＝OD＝9，
∴OE＝4，
∵CE＝OA，∠CEF＝∠AOF＝90°，∠CFE＝∠AFO，
∴△CEF≌△AOF（AAS），
∴OF＝EF，
∴OF＝OE＝2，
∴F（﹣2，0）．

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，非负数的性质，正确的识别图形是解题的关键．
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日期：2020/12/23 11:11:23；用户：刘富良；邮箱：287520833@qq.com；学号：13137786