2019-2020学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷

这是一份2019-2020学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷，共29页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2019-2020学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题平台上勾选．
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≥1 D．x≤1
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．2+＝2 C．＝﹣2 D．＝2
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三条边的是（　　）
A．6，8，10 B．9，12，15 C．1.5，2，3 D．7，24，25
5．（3分）下列命题中错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
6．（3分）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）

A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
8．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（　　）

A． B． C． D．
9．（3分）观察下列式子：；；；…根据此规律，若，则a2+b2的值为（　　）
A．110 B．164 C．179 D．181
10．（3分）如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：
①△ABG≌△AFG；
②BG＝CG；
③AG∥CF；
④S△FCG＝3，
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝　 　；（﹣）2＝　 　；＝　 　．
12．（3分）如图，点P（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为　 　．

13．（3分）已知是整数，自然数n的最小值为　 　．
14．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO的度数为　 　．

15．（3分）如图，等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC与点D，BC＝2，AD＝，沿AD剪成两个三角形．用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长为　 　．

16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是　 　．

三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：
①；
②．
18．（8分）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2
（2）x2﹣y2．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．

20．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）画一个△ABC，使AC＝．BC＝2，AB＝5；
（2）若点D为AB的中点，则CD的长是　 　；
（3）在（2）的条件下，直接写出点D到AC的距离为　 　．

21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，又M、N分别是OA、OC的中点．
（1）求证：BM＝DN；
（2）若AO＝BD，试判断四边形MBND的形状，并证明你的结论．

22．（10分）△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．

（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，CD＝16cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线段AB﹣BC﹣CD运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，设运动时间为t秒（0≤t≤8）．
（1）求AB的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P运动过程中，当t＝　 　秒的时候，使得△BPQ的面积为20cm2．

24．（12分）平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．

（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．

2019-2020学年湖北省武汉市东湖高新区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请在答题平台上勾选．
1．（3分）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）
A．x≠1 B．x＞1 C．x≥1 D．x≤1
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】解：由在实数范围内有意义，得
x﹣1≥0，
解得x≥1，
故选：C．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和分式的意义．考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．
2．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．3﹣＝3 B．2+＝2 C．＝﹣2 D．＝2
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简计算即可．
【解答】解：A、3﹣＝2，故此选项错误；
B、2+无法计算，故此选项错误；
C、＝2，故此选项错误；
D、＝2，正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二次根式的hi额性质与化简，正确化简二次根式是解题关键．
3．（3分）下列二次根式是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】利用最简二次根式的定义对各选项进行判断．
【解答】解：＝2，＝，＝，只有为最简二次根式．
故选：B．
【点评】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．也考查了无理数．
4．（3分）下列各组数中不能作为直角三角形的三条边的是（　　）
A．6，8，10 B．9，12，15 C．1.5，2，3 D．7，24，25
【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，就是直角三角形，没有这种关系，就不是直角三角形，分析得出即可．
【解答】解：A、∵62+82＝102，
∴此三角形是直角三角形，不合题意；
B、∵92+122＝152，
∴此三角形是直角三角形，不符合题意；
C、1.52+22≠32，
∴此三角形不是直角三角形，符合题意；
D、72+242＝252，
∴此三角形是直角三角形，不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
5．（3分）下列命题中错误的是（　　）
A．平行四边形的对边相等
B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
C．矩形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
【分析】根据平行四边形和矩形的性质和判定进行判定．
【解答】解：根据平行四边形和矩形的性质和判定可知：选项A、B、C均正确．D中说法应为：对角线相等且互相平分的四边形是矩形．
故选：D．
【点评】本题利用了平行四边形和矩形的性质和判定方法求解．
6．（3分）如图，一竖直的木杆在离地面4米处折断，木頂端落在地面离木杆底端3米处，木杆折断之前的高度为（　　）

A．7米 B．8米 C．9米 D．12米
【分析】由题意得，在直角三角形中，知道了两直角边，运用勾股定理即可求出斜边，从而得出这棵树折断之前的高度．
【解答】解：∵一竖直的木杆在离地面4米处折断，頂端落在地面离木杆底端3米处，
∴折断的部分长为＝5（米），
∴折断前高度为5+4＝9（米）．
故选：C．
【点评】此题考查了勾股定理的应用，主要考查学生对勾股定理在实际生活中的运用能力．
7．（3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC、BC为直径作半圆S1和S2，且S1+S2＝2π，则AB的长为（　　）

A．16 B．8 C．4 D．2
【分析】根据勾股定理得到AC2+BC2＝AB2，根据圆的面积公式计算，得到答案．
【解答】解：由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2，
π×（）2+π×（）2＝π×（AC2+BC2）＝2π，
解得，AC2+BC2＝16，
则AB2＝AC2+BC2＝16，
解得，AB＝4，
故选：C．
【点评】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
8．（3分）如图，菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，M、N分别是BC、CD上的动点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是（　　）

A． B． C． D．
【分析】根据勾股定理得到AB＝＝5，过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，过P作PM⊥BC于M，则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，根据菱形的面积公式即可得到结论．
【解答】解：∵菱形ABCD中，AC⊥BD，
∴AB＝＝5，
过N作NQ⊥AB于Q交BD于P，
过P作PM⊥BC于M，
则PM+PN＝PN+PQ＝NQ的值最小，
∵S菱形ABCD＝×6×8＝5NQ，
∴NQ＝，
即PM+PN的最小值是，
故选：D．

【点评】本题考查了轴对称﹣最短距离问题，菱形的性质，菱形的面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．
9．（3分）观察下列式子：；；；…根据此规律，若，则a2+b2的值为（　　）
A．110 B．164 C．179 D．181
【分析】由1×2＝2，2×3＝6，3×4＝12，…可得ab＝90，还发现每个式子的两个因数是连续的整数，可得：a+1＝b，解方程组可得a和b的值，代入所求式子可得结论．
【解答】解：由题意得，，解得：，
∴a2+b2＝92+102＝181．
故选：D．
【点评】此题考查了数字类的变化规律题，还考查了二元二次方程组的解的问题，认真观察已知条件，总结规律是解题的关键．
10．（3分）如图，正方形ABDC中，AB＝6，E在CD上，DE＝2，将△ADE沿AE折叠至△AFE，延长EF交BC于G，连AG、CF，下列结论：
①△ABG≌△AFG；
②BG＝CG；
③AG∥CF；
④S△FCG＝3，
其中正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】①根据正方形的性质和翻折的性质即可证明Rt△ABG≌Rt△AFG；
②设BG＝GF＝x，则GC＝BC﹣BG＝6﹣x，根据翻折可得EF＝DE＝2，GE＝GF+EF＝x+2，EC＝4，再根据勾股定理可得x的值，进而证明BG＝CG；
③根据Rt△ABG≌Rt△AFG可得∠AGB＝∠AGF，由GF＝GC，可得∠GCF＝∠GFC，进而得∠AGB＝∠FCG，可得AG∥FC；
④过点F作FH⊥CE于点H，求出FH的长，由S△GCF＝S△EGC﹣S△EFC求出三角形GCF的面积，即可判断．
【解答】解：∵在正方形ABDC中，AB＝6，
∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，∠B＝∠D＝∠BCD＝90°，
∵DE＝2，
∴CE＝CD﹣DE＝4，
①由翻折可知：
AF＝AD，∠AFE＝∠D＝90°，
∴AB＝AF，∠B＝∠AFG＝90°，
∵AG＝AG，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），
所以①正确；
②∵Rt△ABG≌Rt△AFG，
∴BG＝GF，
设BG＝GF＝x，则GC＝BC﹣BG＝6﹣x，
由翻折可知：EF＝DE＝2，
∴GE＝GF+EF＝x+2，EC＝4，
∴在Rt△EGC中，根据勾股定理，得
（x+2）2＝42+（6﹣x）2，
解得x＝3，
∴BG＝GF＝CG＝3，
所以②正确；
③由Rt△ABG≌Rt△AFG可知：
∠AGB＝∠AGF，
∴2∠AGB+∠FGC＝180°，
∵GF＝GC，
∴∠GCF＝∠GFC，
∴2∠FCG+∠FGC＝180°，
∴∠AGB＝∠FCG，
∴AG∥FC．
所以③正确；
④过点F作FH⊥CE于点H，

∴FH∥GC，
∴＝，
又EG＝EF+FG＝2+3＝5
即＝，
∴FH＝，
∴S△GCF＝S△EGC﹣S△EFC
＝CG•CE﹣CE•FH
＝3×4﹣4×
＝．
所以④错误．
综上所述：①②③．
故选：C．
【点评】本题考查了翻折变换、全等三角形的判定、勾股定理、正方形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．
二、填空题（共6小题，每题3分，共18分）
11．（3分）化简：＝　2　；（﹣）2＝　5　；＝　　．
【分析】直接利用二次根式的性质分别化简得出答案．
【解答】解：＝＝2；
（﹣）2＝5；
＝＝．
故答案为：2；5，．
【点评】此题主要考查了二次根式的乘法以及二次根式的性质与化简，正确掌握二次根式相关性质是解题关键．
12．（3分）如图，点P（﹣2，3），以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的坐标为　（﹣，0）　．

【分析】先根据勾股定理求出OP的长，由于OP＝OA，故得出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
【解答】解：∵点P坐标为（﹣2，3），
∴OP＝，
∵点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
∴OA＝OP＝，
∵点A在x轴的负半轴上，
∴点A的坐标为（﹣，0），
故答案为：（﹣，0）．
【点评】本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
13．（3分）已知是整数，自然数n的最小值为　2　．
【分析】根据自然数和二次根式的性质得出18﹣n＝16，求出即可．
【解答】解：∵是整数，n为最小自然数，
∴18﹣n＝16，
∴n＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了二次根式的定义，能根据题意得出18﹣n＝16是解此题的关键．
14．（3分）如图，O是矩形ABCD对角线的交点，AE平分∠BAD，∠OAE＝15°，则∠AEO的度数为　30°　．

【分析】由角平分线定义及矩形性质可得AB＝BE，∠AEB＝45°，再证明△ABO是等边三角形，得到OB＝BE，在等腰△BOE中求解∠OEB度数，则∠AEO＝∠OEB﹣45°．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∠DAB＝∠ABE＝90°，OA＝OB．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，∠AEB＝45°．
∴AB＝BE．
∴∠BAO＝45°+15°＝60°．
∴△BAO是等边三角形．
∴AB＝BO＝BE．
∵∠OBE＝30°，
∴∠OEB＝（180°﹣30°）÷2＝75°．
∴∠OEB＝75°﹣45°＝30°．
故答案为30°．
【点评】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是通过矩形性质即特殊角得到等边三角形，平行线+角平分线得到等腰三角形，在等腰三角形中求解角的度数．
15．（3分）如图，等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC与点D，BC＝2，AD＝，沿AD剪成两个三角形．用这两个三角形拼成平行四边形，该平行四边形中较长对角线的长为　2或或　．

【分析】分三种情况剪拼图形，画出图形即可求出平行四边形中较长对角线的长．
【解答】解：∵等腰三角形纸片ABC中，AD⊥BC，
∴BD＝DC＝BC＝1，AD＝，
根据勾股定理，得AB＝2，
分三种情况画图如下：
①当AB为对角线剪拼时，如图1所示：

此时较长对角线的长为AB＝2；
②当AD为对角线时剪拼，如图2所示：

过点C作BD延长线的垂线，垂足为点E，得矩形ADEC，
∴CE＝AD＝，DE＝AC＝BD＝1，
∴BE＝2，
∴BC＝＝．
所以该平行四边形中较长对角线的长为BC＝；
③当BD为对角线时剪拼，如图3所示：

过点A′作AD延长线的垂线，垂足为点E，得矩形A′EDB，
∴DE＝A′B＝AD＝，A′E＝BD＝1，
∴AE＝AD+DE＝2，
∴AA′＝＝．
所以该平行四边形中较长对角线的长为AA′＝．
综上所述：该平行四边形中较长对角线的长为2或或．
故答案为：2或或．
【点评】本题考查了图形的剪拼、等腰三角形的性质、平行四边形的性质，解决本题的关键是剪拼图形时共有3种情况．
16．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝12，点E是AD上的一点，AE＝6，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连接EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是　10.5　．

【分析】根据线段中点的定义可得CG＝DG，然后利用“角边角”证明△DEG和△CFG全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝CF，EG＝FG，设DE＝x，表示出BF，再利用勾股定理列式求EG，然后表示出EF，再根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BF＝EF，然后列出方程求出x的值，从而求出AD，再根据矩形的对边相等可得BC＝AD．
【解答】解：∵矩形ABCD中，G是CD的中点，AB＝12，
∴CG＝DG＝×12＝6，
在△DEG和△CFG中，
，
∴△DEG≌△CFG（ASA），
∴DE＝CF，EG＝FG，
设DE＝x，
则BF＝BC+CF＝AD+CF＝6+x+x＝6+2x，
在Rt△DEG中，EG＝，
∴EF＝2，
∵FH垂直平分BE，
∴BF＝EF，
∴6+2x＝2，
解得x＝4.5，
∴AD＝AE+DE＝6+4.5＝10.5，
∴BC＝AD＝10.5．
故答案为：10.5
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）计算：
①；
②．
【分析】①先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得；
②根据二次根式的乘法运算法则计算可得．
【解答】解：①原式＝3﹣4+2＝；

②原式＝＝＝3．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质和二次根数混合运算顺序及其法则．
18．（8分）已知x＝2+，y＝2﹣，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2
（2）x2﹣y2．
【分析】可先把所求的式子化成与x+y和x﹣y有关的式子，再代入求值即可．
【解答】解：
∵x＝2+，y＝2﹣，
∴x+y＝4，x﹣y＝2，
（1）x2+2xy+y2＝（x+y）2＝42＝16；
（2）x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝4×2＝8．
【点评】本题主要考查二次根式的化简，灵活运用乘法公式可以简化计算．
19．（8分）如图，在▱ABCD中，AE＝CF，求证：四边形DEBF是平行四边形．

【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥CD，AB＝CD，进而求出BE＝DF，进而利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进而求出即可．
【解答】证明：在▱ABCD中，则AB∥CD，AB＝CD，
∵AE＝CF，
∴AB﹣AE＝CD﹣CF，
∴BE＝DF，
∵BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，得出BE＝DF是解题关键．
20．（8分）如图，正方形网格中每个小正方形边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画图：
（1）画一个△ABC，使AC＝．BC＝2，AB＝5；
（2）若点D为AB的中点，则CD的长是　2.5　；
（3）在（2）的条件下，直接写出点D到AC的距离为　　．

【分析】（1）根据网格画一个△ABC，使AC＝．BC＝2，AB＝5即可；
（2）根据点D为AB的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出CD的长；
（3）在（2）的条件下，证明DE是△ABC的中位线，进而可得出点D到AC的距离．
【解答】解：（1）如图，

△ABC即为所求；
（2）∵AC＝．BC＝2，AB＝5，
∴AC2+BC2＝25，AB2＝25，
∴AC2+BC2AB2，
∴△ABC是直角三角形，
∵点D为AB的中点，
∴CD＝AB＝2.5，
所以CD的长是2.5．
故答案为：2.5；
（3）在（2）的条件下，
作DE⊥AC于点E，
∵∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴点E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝．
所以点D到AC的距离是．
故答案为：．
【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图、勾股定理，解决本题的关键是根据网格准确画图．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD交于点O，又M、N分别是OA、OC的中点．
（1）求证：BM＝DN；
（2）若AO＝BD，试判断四边形MBND的形状，并证明你的结论．

【分析】（1）直接利用平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，再利用平行四边形的判定方法得出答案；
（2）结合平行四边形的性质以及矩形的判定方法得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD，
∵M、N分别是OA、OC的中点，
∴OM＝OA，ON＝OC，
∴OM＝ON，
∵OB＝OD，
∴四边形MBND是平行四边形，
∴BM＝DN；

（2）若AO＝BD，四边形MBND为矩形，
证明：∵OM＝ON＝OA，OB＝OD＝BD，AO＝BD，
∴OM＝ON＝OB＝OD，
∴BD＝MN，
∴四边形MBND为矩形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质与判定和矩形的判定，正确掌握相关性质与判定是解题关键．
22．（10分）△ABC中，BC＝8，以AC为边向外作等边△ACD．

（1）如图①，△ABE是等边三角形，若AC＝6，∠ACB＝30°，求CE的长；
（2）如图②，若∠ABC＝60°，AB＝4，求BD的长．
【分析】（1）由SAS证得△EAC≌△BAD，得出CE＝BD，由∠ACD＝60°，∠ACB＝30°，得出∠BCD＝90°，由勾股定理得出BD＝＝10，即可得出结果；
（2）取BC的中点E，连接AE，证明△ABE是等边三角形，△ACE是等腰三角形，∠EAC＝∠ECA＝30°，求出∠BCD＝90°，∠BAC＝90°，由勾股定理得出AC＝CD＝4，BD＝＝4．
【解答】解：（1）∵△ABE和△ACD都是等边三角形，
∴AE＝AB，AC＝AD＝CD，∠EAB＝∠DAC＝∠ACD＝60°，
∴∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC，即∠EAC＝∠BAD，
在△EAC和△BAD中，，
∴△EAC≌△BAD（SAS），
∴CE＝BD，
∵∠ACD＝60°，∠ACB＝30°，
∴∠BCD＝90°，
在Rt△BCD中，∵CD＝AC＝6，BC＝8，
∴BD＝＝＝10，
∴CE＝BD＝10；
（2）取BC的中点E，连接AE，如图②所示：
∵BC＝8，
∴BE＝CE＝BC＝4，
∵AB＝4，
∴AB＝BE，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝∠AEB＝60°，AE＝BE＝4＝CE，
∴△ACE是等腰三角形，
∴∠EAC＝∠ECA，
∵∠AEB＝∠EAC+∠ECA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA＝30°，
∵△ACD是等边三角形，
∴∠ACD＝60°，
∴∠BCD＝∠ECA+∠ACD＝30°+60°＝90°，∠BAC＝∠EAC+∠BAE＝30°+60°＝90°，
由勾股定理得：AC＝CD＝＝＝4，
∴BD＝＝＝4．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质、证明三角形全等是解题的关键．
23．（10分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，AD＝10cm，BC＝8cm，CD＝16cm．点P从点A出发，以每秒3cm的速度沿折线段AB﹣BC﹣CD运动，点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿线段DC方向向点C运动．已知动点P、Q同时发，设运动时间为t秒（0≤t≤8）．
（1）求AB的长；
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，求四边形PBQD的周长；
（3）在点P运动过程中，当t＝　或7.8　秒的时候，使得△BPQ的面积为20cm2．

【分析】（1）如图1中，作AH⊥CD于H．则四边形ABCH是矩形解直角三角形求出DH即可解决问题．
（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，根据PB＝DQ构建方程解决问题即可．
（3）分三种情形：①当点P在线段AB上时．②当点P在线段BC上时．③当点P在线段CD上时，分别求解即可．
【解答】解：（1）如图1中，作AH⊥CD于H．

∵∠AHC＝∠B＝∠C＝90°，
∴四边形ABCH是矩形，
∴AH＝BC＝8cm，AB＝CH，
在Rt△ADH中，∵∠AHD＝90°，AD＝10cm，AH＝8cm，
∴DH＝＝＝6（cm），
∴AB＝CH＝CD﹣DH＝16﹣6＝10（cm）．

（2）当四边形PBQD为平行四边形时，点P在AB上，点Q在DC上，

由题知：BP＝10﹣3t，DQ＝2t，
∴10﹣3t＝2t，解得t＝2，此时，BP＝DQ＝4，CQ＝12
∴，
∴四边形PBQD的周长＝2（BP+BQ）＝．

（3）①当点P在线段AB上时，即0⩽t⩽时，如图3﹣1中，，解得t＝．

②当点P在线段BC上时，即＜t⩽6时，如图3﹣2中，BP＝3t﹣10，CQ＝16﹣2t，

可得＝12（3t﹣10）×（16﹣2t）＝20
化简得：3t2﹣34t+100＝0，△＝﹣44＜0，所以方程无实数解．
③当点P在线段CD上时，

若点P在Q的右侧，即6⩽t⩽，则有PQ＝34﹣5t＝（34﹣5t）×8＝20，解得t＝＜6，舍去，
若点P在Q的左侧，即＜t⩽8，则有PQ＝5t﹣34，＝（5t﹣34）×8＝20，
解得t＝7.8．
综上所述，满足条件的t存在，其值分别为t＝或t═7.8．
故答案为或7.8．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形问题转化为三角形或特殊四边形，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
24．（12分）平面直角坐标系中有正方形AOBC，O为坐标原点，点A、B分别在y轴、x轴正半轴上，点P、E、F分别为边BC、AC、OB上的点，EF⊥OP于M．

（1）如图1，若点E与点A重合，点A坐标为（0，8），OF＝3，求P点坐标；
（2）如图2，若点E与点A重合，且P为边BC的中点，求证：CM＝2CP；
（3）如图3，若点M为线段OP的中点，连接AB交EF于点N，连接NP，试探究线段OP与NP的数量关系，并证明你的结论．
【分析】（1）证明△OAF≌△BOP（ASA），得出OF＝PB＝3，则P点坐标可求出．
（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．证明AC＝CM即可解决问题．
（3）如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，证明△OPN是等腰直角三角形即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A（0，8），

∴OA＝8，
∵AF⊥OP于M，
∴∠OMF＝90°，
∴∠MOF+∠OFM＝90°，
∵∠OFM+∠OAF＝90°，
∴∠MOF＝∠OAF．
∵OA＝OB，∠AOF＝∠OBP，
∴△OAF≌△BOP（ASA），
∴OF＝PB＝3，
∴P（8，3）．

（2）取OA的中点N．连接CN交AF于H，连接MN．

∵PC＝PB，AN＝ON，OA﹣BC，
∴PC＝ON，PC∥ON，
∴四边形OPCN是平行四边形，
∴CN∥OP，
∵NA＝NO，
∴AH＝MH，
∵AF⊥OP，
∴CN⊥AM，
∴AC＝CM，
∵AC＝2PC，
∴CM＝2PC．

（3）结论：OP＝NP．
理由：如图3中，过N点分别作NH⊥OB于点H，NG⊥CB于点G，连接ON，PN，

∵∠NGB＝∠NHB＝∠GBH＝90°，
∴四边形BGNH是矩形，
∴∠GNH＝90°，
∵N在正方形AOBC的对角线上，
∴∠NBG＝∠NBH，
∵NG⊥BC，NH⊥OB，
∴NH＝NG，
∵EF⊥OP，M为OP的中点，
∴ON＝PN，
∴Rt△ONH≌Rt△PNG（HL），
∴∠ONH＝∠PNG，
∴∠ONP＝∠HNG＝90°，
∴△ONP是等腰直角三角形，
∴OP＝NP．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．