2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷

2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷

一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．

1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

2．（3分）下列图形中有稳定性的是（　　）

A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形

3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14

4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）

A．62° B．72° C．76° D．66°

5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（　　）

A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm

7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°

8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）

A．32 B．24 C．16 D．8

9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（　　）

A．110° B．118° C．120° D．130°

10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）

A．2 B．7 C．16 D．17

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．

11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为　   　．

12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝　   　．

13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 　   　．

14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为　   　．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 　   　．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 　   　°．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．

17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．

18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．

19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）

（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；

（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 　   　．

20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：

（1）如图1，连接AC．

①∠ACB＝　   　°；

②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；

（2）已知，P为AF边上一点，

①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；

②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．

21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．

（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；

（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．

（1）求证：△ADC为等边三角形；

（2）求PD+PQ+QE的最小值．

23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．

（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；

（2）若∠CED＝45°．

①如图2，求证：BE⊥AE；

②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．

24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．

（1）若α＝90．

①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；

②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；

（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．

2021-2022学年湖北省武汉市青山区八年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、你一定能选对!（本大题共有10小题，每小题3分，共30分）下列各题均有四个备选答案，其中有且只有一个是正确的，请将正确答案的代号在答题卡上将对应的答案标号涂黑．

1．（3分）下列品牌的标识中，是轴对称图形的是（　　）

A． B． 

C． D．

【解答】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：A．

2．（3分）下列图形中有稳定性的是（　　）

A．四边形 B．三角形 C．五边形 D．六边形

【解答】解：根据三角形具有稳定性，可得四个选项中只有三角形具有稳定性．

故选：B．

3．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．5，6，11 B．4，4，9 C．3，4，8 D．8，7，14

【解答】解：A．∵5+6＝11，∴不能组成三角形，不符合题意；

B．∵4+4＜9，∴不能组成三角形，不符合题意；

C．∵3+4＜8，∴不能组成三角形，不符合题意；

D．∵8+7＞14，∴能组成三角形，符合题意．

故选：D．

4．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（　　）

A．62° B．72° C．76° D．66°

【解答】解：由三角形内角和定理得，∠2＝180°﹣40°﹣64°＝76°，

∵两个三角形全等，

∴∠1＝∠2＝76°，

故选：C．

5．（3分）从n边形的一个顶点出发，可以作5条对角线，则n的值是（　　）

A．6 B．8 C．10 D．12

【解答】解：设多边形有n条边，

则n﹣3＝5，

解得n＝8，

故选：B．

6．（3分）如图，△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与边AB，AC交于点D，点E，若△ABC与△BCE的周长分别是36cm和22cm，则AD的长是（　　）

A．7cm B．8cm C．10cm D．14cm

【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，

∴EA＝EB，AD＝BDAB，

∵△EBC的周长是22cm，

∴BC+BE+EC＝22cm，即AC+BC＝22cm，

∵△ABC的周长是36cm，

∴AB+AC+BC＝36cm，

∴AB＝36﹣22＝14（cm），

∴ADAB14＝7（cm）．

故选：A．

7．（3分）如图，△ABC中，AB＝AD＝DC，∠C＝2∠BAD，则∠BAC的度数是（　　）

A．20° B．40° C．60° D．80°

【解答】解：∵AD＝DC，

∴∠C＝∠DAC，

∴∠ADB＝2∠C，

∵AB＝AD，∠C＝2∠BAD，

∴∠ABD＝∠ADB＝4∠BAD，

∵∠ABD+∠ADB+∠BAD＝180°，

∴4∠BAD+∠4∠BAD+∠BAD＝180°，

∴∠BAD＝20°，

∴∠ABD＝80°，∠C＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣80°﹣40°＝60°，

故选：C．

8．（3分）如图，已知：∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，若OA1＝2，则△A5B5A6的边长为（　　）

A．32 B．24 C．16 D．8

【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，

∴∠B1A1A2＝60°，A1B1＝A1A2，

∵∠MON＝30°，

∴∠OB1A1＝60°﹣30°＝30°，

∴∠MON＝∠OB1A1，

∴B1A1＝OA1＝2，

∴△A1B1A2的边长为2，

 同理得：∠OB2A2＝30°，

∴OA2＝A2B2＝OA1+A1A2＝2+2＝4，

∴△A2B2A3的边长为4，

同理可得：、△A3B3A4的边长为：23＝8，

△A4B4A5的边长为：24＝16，

则△A5B5A6的边长为：25＝32，

故选：A．

9．（3分）如图，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，且∠EAD＝∠BAC＝80°，若∠BDC＝160°，则∠DCE的度数为（　　）

A．110° B．118° C．120° D．130°

【解答】解：如图所示：

∵∠EAD＝∠BAC＝80°，

∴∠1＝∠2，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵∠BAC＝80°，AB＝AC，

∴∠BCA＝∠CBA＝50°，

∴∠DCE＝∠4+∠BCA+∠ACE＝∠4+50°+∠ABD＝∠4+50°+∠3+∠ABC＝∠3+∠4+100°，

又∵∠BDC＝160°，

∴∠3+∠4＝180°﹣∠BDC＝20°，

∴∠DCE＝20°+100°＝120°，

故选：C．

10．（3分）如图，在△ABC中，点M，N分别是AC，BC上一点，AM＝BN，∠C＝60°，若AB＝9，BM＝7，则MN的长度可以是（　　）

A．2 B．7 C．16 D．17

【解答】解：如图，作等边△ABQ和等边△MBP，连接QP，QM，

在等边△ABQ和等边△MBP中，∠QBA＝∠PBM＝60°，

∴∠QBP+∠QBM＝∠QBM+∠ABM＝60°，

∴∠QBP＝∠ABM，

又∵QB＝AB＝9，PB＝MB＝7，

∴△QBP≌△ABM（SAS），

∴∠BQP＝∠BAM，PQ＝AM，

∵AM＝BN，

在△ABC中，∠ACB+∠CAB+∠CBA＝180°，∠ACB＝60°，

∴∠MBC＝180°﹣60°﹣∠MAB﹣∠ABM＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，

在△QBP中，∠QPB+∠BQP+∠QBP＝180°，∠MPB＝60°，

∴∠MPQ＝180°﹣60°﹣∠BQP﹣∠QBP＝120°﹣∠MAB﹣∠ABM，

∴∠MBN＝MPQ，

在△QMP和△NMB中，

，

∴△QMP≌△NMB（SAS），

∴MQ＝MN，

在△QMB中，QB﹣MB＜QM＜QB+MB，

∴AB﹣MB＜MN＜AB+MB，

∴2＜MN＜16，

∴选项B，MN＝7符合题意，

故选：B．

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分）下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卷的指定位置．

11．（3分）点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为　（2，5）　．

【解答】解：点P（2，﹣5）关于x轴对称的点的坐标为：（2，5），

故答案为：（2，5）．

12．（3分）一个n边形的每个外角都等于72°，则n＝　5　．

【解答】解：∵n边形的每个外角都相等，

∴这个n边形是正多边形，

∵多边形的外角和为360°，

∴多边形的边数为360°÷72°＝5．

故答案为：5．

13．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得到△COD≌△C′O′D′的依据是 　SSS　．

【解答】解：由作法得OD＝OC＝OD′＝OC′，CD＝C′D′，

所以△COD≌△C′O′D′（SSS）．

故答案为SSS．

14．（3分）等腰△ABC的一个外角是100°，则其顶角的度数为　20°或80°　．

【解答】解：∵等腰△ABC的一个外角是100°，

∴①当顶角的外角是100°，

∴顶角等于180°﹣100°＝80°，

②当底角的外角是100°，

∴底角等于180°﹣100°＝80°，

∴顶角等于180°﹣80°﹣80°＝20°，

∴其顶角的度数为：20°或80°．

故答案为：20°或80°．

15．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝60°，角平分线BD，CE交于点O，OF⊥AB于点F．下列结论：①∠EOB＝60°；②BF+CD＝BC；③AE+AD＝2AF；④S四边形BEDC＝2S△BOC+S△EDO．其中正确结论是 　①③④　．

【解答】解：如图1，∵∠A＝60°，

∴∠ABC+∠ACB＝120°，

∵BD、CE分别平分∠ABC、∠ACB，且BD、CE相交于点O，

∴∠OBC＝∠OBA∠ABC，∠OCB＝∠OCA∠ACB，

∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝60°，

∴∠EOB＝∠OBC+∠OCB＝60°，

故①正确；

如图2，在BC上截取BM＝BE，连接OM，

在△BOE和△BOM中，

，

∴△BOE≌△BOM（SAS），

∴OE＝OM，∠EOB＝∠BOM＝60°，

∵∠COD＝∠EOB＝60°，

∴∠COM＝180°﹣∠BOM﹣∠COD＝60°，

∴∠COD＝∠COM，

在△COD和△COM中，

，

∴△COD≌△COM{ASA），

∴CD＝CM，

∴BE+CD＝BC，

故②错误；

如图3，作OH⊥AC于点H，OG⊥BC于点G，连接OA，

∵OF⊥AB于点F，

∴∠AFO＝∠AHO＝90°，∠OFE＝∠OHD＝90°，

∵OF＝OG，OH＝OG，

∴OF＝OH，

在Rt△AOF和Rt△AOH中，

，

∴Rt△AOF≌Rt△AOH（HL），

∴AF＝AH，

∵∠EAC＝∠COD＝60°，

∴∠EAC+∠ACE＝∠COD+∠ACE，

∵∠OEF＝∠EAC+∠ACE，∠ODH＝∠COD+∠ACE，

∴∠OEF＝∠ODH，

在△OEF和△ODH中，

，

∴△OEF≌△ODH（AAS），

∴EF＝DH，

∴AE+AD＝AE+AH+DH＝AE+AH+EF＝AF+AH＝2AF，

故③正确；

如图2，∵△BOE≌△BOM，△COD≌△COM，

∴S△BOE＝S△BOM，S△COD＝S△COM，

∴S△BOE+S△COD＝S△BOM+S△COM，＝S△BOC，

∴S四边形BEDC＝S△BOC+S△BOE+S△COD+S△EDO＝2S△BOC+S△EDO，

故④正确，

故答案为：①③④．

16．（3分）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，DB平分∠ADC，∠BCD＝150°．则∠ABD的度数为 　30　°．

【解答】解：作△BCD的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，OD，如图，

∵∠BCD＝150°，

∴∠BOD＝60°．

∵OB＝OD，

∴△OBD为等边三角形．

∴∠OBD＝∠ODB＝60°，BD＝OB＝OD．

在△OBA和△OCA中，

，

∴△OBA≌△OCA（SSS）．

∴∠BOA＝∠COA∠BOC．

∵DB平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB∠ADC．

∵∠BDC∠BOC，

∴∠BOA＝∠COA＝∠ADB＝∠CDB．

∵∠BOD＝∠BDO＝60°，

∴∠BOD﹣∠BOA＝∠BDO﹣∠ADB．

∴∠AOD＝∠ADO．

∴AO＝AD．

在△OBA和△DBA中，

，

∴△OBA≌△DBA（SSS）．

∴∠ABO＝∠ABD∠OBD＝30°．

故答案为：30．

三、解下列各题（本大题共8小题，共72分）下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形．

17．（8分）如图，DE分别与△ABC的边AB，AC交于点D，点E，与BC的延长线交于点F，∠B＝65°，∠ACB＝70°，∠AED＝42°，求∠BDF的度数．

【解答】解：∵∠B＝65°，∠ACB＝70°，

∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠ACB

＝180°﹣65°﹣70°

＝45°，

又∵∠AED＝42°，

∴∠BDF＝∠A+∠AED

＝45°+42°

＝87°．

18．（8分）如图，点B，E，C，F在同一条直线上，∠A＝∠D，∠B＝∠DEF，BE＝CF，求证：AC∥DF．

【解答】证明：∵BE＝CF（已知），

∴BE+EC＝EC+CF，

即BC＝EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（AAS），

∴AC＝DF（全等三角形对应边相等）．

19．（8分）已知一个三角形的三条边的长分别为：n+6；3n；n+2．（n为正整数）

（1）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长；

（2）若这个三角形的三条边都不相等，且为正整数，直接写出n的最大值为 　7　．

【解答】解：（1）①如果n+2＝3n，

解得n＝1，

三角形三边的长为3，3，7，不符合三角形三边关系；

②如果n+6＝3n，

解得n＝3，

三角形三边的长为5，9，9，符合三角形三边关系．

综上所述，等腰三角形三边的长为5，9，9；

（2）n的最大值为7．

由三角形三边关系知，，

解得，

∵三角形的三条边都不相等，

∴3n≠n+6，

∴n≠3，

∴且n≠3，

∵n为正整数，

∴n的最大值为7．

故答案为：7．

20．（8分）如图，六边形ABCDEF是正六边形，请用无刻度直尺画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：

（1）如图1，连接AC．

①∠ACB＝　30　°；

②在图1中画出以AC为边的等边三角形，且另一个顶点在六边形的边上；

（2）已知，P为AF边上一点，

①如图2，在AB边上找一点Q，使得AQ＝AP；

②如图3，在CD边上找一点H，使得PH⊥CD．

【解答】解：（1）①∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠ABC＝120°，BA＝BC，

∴∠ACB＝∠BAC（180°﹣120°）＝30°，

故答案为：30；

②如图1中，△ACE即为所求；

（2）①如图2中，点Q即为所求；

②如图3中，线段PH即为所求．

21．（8分）如图，在等边△ABC中，P为AB边上的一点，线段BC与DC关于直线CP对称，连接DA并延长交直线CP于点E．

（1）若∠ACE＝20°，求∠CED的度数；

（2）若AE＝1，CE＝4．求AD的长．

【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，CB＝CA，

∵∠ACE＝20°，

∴∠ECB＝60°﹣20°＝40°，

由翻折的性质可知，CB＝CD，∠ECB＝∠ECD＝40°，

∴CA＝CD，∠ACD＝40°﹣20°＝20°，

∴∠CAD＝∠D＝80°，

∵∠DAC＝∠CED+∠ACE，

∴∠CED＝80°﹣20°＝60°．

（2）过点C作CT⊥DE于T．设∠ECA＝α，则∠ECB＝∠ECD＝60°﹣α，

∴∠ACD＝60°﹣2α，

∵CA＝CD，

∴∠CAD（180°﹣60°+2α）＝60°+α，

∵∠DAC＝∠E+∠ACE，

∴∠E＝60°+α﹣α＝60°，

∵CT⊥AD，CA＝CD，

∴AT＝DT，

∴∠ECT＝30°，

∴ETEC＝2，

∴AT＝DT﹣AE＝2﹣1＝1，

∴AD＝2AT＝2．

22．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，以BC为边向左作等边△BCE，点D为AB中点，连接CD，点P、Q分别为CE、CD上的动点．

（1）求证：△ADC为等边三角形；

（2）求PD+PQ+QE的最小值．

【解答】（1）证明：∵ACB＝90°，点D为AB的中点，

∴CD＝AD，

∵∠ABC＝30°，

∴∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形；

（2）解：连接AP，BQ，

∵△BCE是等边三角形，

∴∠BCE＝60°，

∴∠ACE＝30°，

∵△ACD是等边三角形，

∴CP垂直平分AD，

∴DP＝AP，

同理得EQ＝BQ，

∴PD+PQ+QE＝AP+PQ+BQ，

∴当点P、Q落在AB上时，PD+PQ+QE的最小值为AB，

∵∠ABC＝30°，AC＝2，

∴AB＝2AC＝4，

∴PD+PQ+QE的最小值为4．

23．（10分）已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为BC边上一点，E为射线AD上一点，连接BE、CE．

（1）如图1，若∠ADC＝60°，CE平分∠ACB．求证：BD＝DE；

（2）若∠CED＝45°．

①如图2，求证：BE⊥AE；

②如图3，若∠BED＝30°，E在A、D之间，且AE＝1，求BE的长．

【解答】（1）证明：如图1中，延长CE交AB于点J．

∵CA＝CB，∠ACB＝90°，

∴∠CBA＝∠CAB＝45°，

∵CE平分∠ACB，

∴CJ⊥AB，AJ＝JB，

∴EA＝EB，

∵∠ADC＝60°，

∴∠DAC＝90°﹣∠ADC＝30°，

∴∠EAB＝∠EBA＝15°，

∴∠EBD＝30°，

∵∠EDC＝∠EBD+∠BED＝60°，

∴∠EBD＝∠BED＝30°，

∴DB＝DE；

（2）①证明：如图2中，过点C作CH⊥CE交AE于点H．

∵∠AEC＝45°，∠ECH＝90°，

∴∠CEH＝∠CHE＝45°，

∴CE＝CH，

∵∠ACB＝∠ECH＝90°，

∴∠ACH＝∠BCE，

在△ACH和△BCE中，

，

∴△ACH≌△BCE（SAS），

∴∠CAH＝∠CBE，

∵∠ADC＝∠BDE，

∴∠ACD＝∠BED＝90°；

②解：如图3中，过点C作CH⊥CE交AD的延长线于点H，连接BH．

同法可证，△ACE≌△BCH（SAS），BH⊥AH，

∴BH＝AE＝1，

∵∠BHE＝90°，∠BEH＝30°，

∴BE＝2BH＝2．

24．（12分）已知，在平面直角坐标系中，A，B两点的坐标分别为点A（3，0），点B（0，b），将线段AB绕点A顺时针旋转α°得到AC，连接BC．

（1）若α＝90．

①如图1，b＝1，直接写出点C的坐标；

②如图2，D为BC中点，连接OD．求证：OD平分∠AOB；

（2）如图3，若α＝60，b＝3，N为BC边上一点，M为AB延长线上一点，BM＝CN，连接MN，将线段MN绕点N逆时针旋转120°得到NP，连接OP．求当∠AOP取何值时，线段OP最短．

【解答】（1）①解：如图1中，过点C作CH⊥x轴于点H．

∵∠AOB＝∠BAC＝∠AHC＝90°，

∴∠BAO+∠CAH＝90°，∠CAH+∠ACH＝90°，

∴∠OAB＝∠ACH，

在△AOB和△CHA中，

，

∴△AOB≌△CHA（AAS），

∴OB＝AH，CH＝OA，

∵B（0，1），A（3，0），

∴OB＝1，OA＝3，

∴AH＝1，CH＝3，OH＝4，

∴C（4，3）；

②证明：如图2中，过点D作DM⊥OA于点M，DN⊥OB于点N．

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，BD＝CD，

∴AD⊥BC，AD＝DB＝DC，∠DAB＝∠DAC＝45°，

∵∠DMO＝∠DNO＝∠MON＝90°，

∴∠MDN＝∠ADB＝90°，

∴∠BDN＝∠ADM，

∵∠ADB＝∠AOB＝90°，

∴∠DAM+∠DBO＝180°，

∵∠DBO+∠DBN＝180°，

∴∠DBN＝∠DAM，

在△DNB和△DMA中，

，

∴△DNB≌△DMA（AAS），

∴DM＝DN，

∵DM⊥OA，DN⊥OB，

∴OD平分∠AOB；

（2）解：作NE∥AB交AC于点E，连接PM，AN，PA，过点O作OF⊥PA交PA的延长线于点F．

∵OA＝OB，∠AOB＝90°，

∴∠OAB＝∠OBA＝45°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠CBA＝∠CAB＝∠C＝60°，

∵NE∥AB，

∴∠CNE＝∠CBA＝60°，∠CEN＝∠CAB＝60°，

∴△CEN是等边三角形，

∴CN＝NE＝CE，

∵BM＝CN，CB＝CA，

∴NE＝BM，BN＝AE，

∵∠CBA＝∠CEN＝60°，

∴∠MBN＝∠AEN＝120°，

在△NBM和△AEN中，

，

∴△NBM≌△AEN（SAS），

∴NM＝AN，

∵NM＝NP，

∴AN＝NP，

∴∠NMA＝∠NAM，∠NAP＝∠NPA，

∵∠MNP＝120°，

∴2∠NAM+2∠NAP＝240°，

∴∠PAM＝∠NAM+∠NAP＝120°，

∴∠OAP＝∠OAB+∠MAP＝165°，

∴∠AOF＝180°﹣165°＝15°，

∴点P在直线PA上运动（∠OAP＝165°），

根据垂线段最短可知，当点P与F重合时，OP的值最小，此时∠AOP＝90°﹣15°＝75°．