2020-2021学年5.2 数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟学案及答案

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情境 某大学美术系平面设计专业的报考人数连创新高，今年报名刚结束，某考生想知道报考人数．
eq \x(收集数据)
考生的考号按0001,0002，…的顺序从小到大依次排列，这位考生随机地了解了50个考生的考号，具体如下：
0400 0904 0747 0090 0636 0714 0017 0432 0403 0276
0986 0804 0697 0419 0735 0278 0358 0434 0946 0123
0647 0349 0105 0186 0079 0434 0960 0543 0495 0974
0219 0380 0397 0283 0504 0140 0518 0966 0559 0910
0658 0442 0694 0065 0757 0702 0498 0156 0225 0327
请给出一种方法，根据这50个随机抽取的考号，帮助这位考生估计考生总数．
eq \x(总数估计的方法以及计算过程)
根据样本数据估计总体总数的方法有多种，
例如，用给出数据的最大值986(与0986对应)估计考生总数；
用数据的最大值与最小值的和(986＋17＝1 003)估计考生总数；
借助数据中的部分数据的信息(如平均数、中位数等)估计考生的总数等等．
下面给出了平均数估计和区间长度估计两种方法．
设考生总数为N，即N是最大考号．
方法一 随机抽取的50个数的平均数应该和所有考号的平均数接近，即用样本的平均数估计总体的平均数．
这50个数的算术平均数是24 571÷50＝491.42，它应该与eq \f(N,2)接近．因此，估计今年报考这所大学美术系平面设计专业的考生总数为N＝491.42×2≈983.
类似地，可以通过样本中位数得到N的估计．
方法二 把这50个数据从小到大排列，这50个数把区间[0，N]分成51个小区间．由于N未知，除了最右边的区间外，其他区间都是已知的．可以利用这些区间长度来估计N.
由于这50个数是随机抽取的，一般情况下可以认为最右边区间的长度近似等于[0，N]长的eq \f(1,51)，并且可以用前50个区间的平均长度近似代替这个区间的长度．因为这50个区间长度的和，恰好是这50个数中的最大值986，因此得到N＝eq \f(986,50)×51≈1 006.
eq \x(估计的模拟与结果验证)
从模拟结果可以看出，三种方法都存在误差，但还是很接近真实值，相比较而言，用区间长度估计法，误差稍小一些．样本容量大一些，估计值会更接近真实值．总数
1 000
最大值估计
平均数估计
区间长度估计
样
本
数
据
1
379
93
970
111
262
255
844
687
142
979
749
58
565
547
700
360
738
505
797
778
377
792
212
786
426
131
379
841
121
784
829
215
81
762
794
790
501
423
871
814
95
432
366
442
966
860
794
881
282
730
979
1 092
999
样
本
数
据
2
39
391
224
778
847
345
531
876
23
711
185
748
95
493
242
834
316
795
623
723
751
843
375
135
707
403
571
982
481
499
770
103
993
852
416
786
936
397
604
184
993
1 080
1 018
样
本
数
据
3
121
143
285
388
111
681
78
708
816
79
616
568
357
484
904
490
610
78
54
81
692
924
664
925
388
597
856
473
173
220
925
904
956