高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.1 样本空间与事件学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.3.1 样本空间与事件学案设计，共9页。学案主要包含了样本点与样本空间，事件类型的判断，随机事件的概率等内容，欢迎下载使用。

§5.3　概　率
5．3.1　样本空间与事件
学习目标　1.掌握样本点和样本空间的概念.2.理解基本事件、随机事件、必然事件.3.掌握随机事件发生的概率．

知识点一　样本点和样本空间
1．必然现象与随机现象
现象
条件
特征
必然现象
在一定条件下
发生的结果事先能够确定的现象
随机现象
发生的结果事先不能确定的现象

2.样本点：随机试验中每一种可能出现的结果．
3．样本空间
(1)定义：由所有样本点组成的集合称为样本空间．
(2)表示：样本空间常用大写希腊字母Ω表示．
知识点二　随机事件
1．如果随机试验的样本空间为Ω，则随机事件A是Ω的一个非空真子集．而且：若试验的结果是A中的元素，则称A发生；否则，称A不发生．
2．每次试验中Ω一定发生，从而称Ω为必然事件；又因为空集∅不包含任何样本点，因此可以认为每次试验中∅一定不发生，从而称∅为不可能事件．
3．一般地，不可能事件、随机事件、必然事件都可简称为事件，通常用大写英文字母A，B，C，…来表示事件．因为事件一定是样本空间的子集，从而可以用表示集合的维恩图来直观地表示事件，特别地，只含有一个样本点的事件称为基本事件．
知识点三　随机事件的概率
事件发生的可能性大小可以用该事件发生的概率来衡量，概率越大，代表越有可能发生．事件A发生的概率通常用P(A)表示．将不可能事件∅发生的概率规定为0，将必然事件Ω发生的概率规定为1，即P(∅)＝0，P(Ω)＝1.
对任意事件A，P(A)应该满足不等式0≤P(A)≤1.

1．三角形的内角和为180°是必然事件．(　√　)
2．“抛掷硬币三次，三次正面向上”是不可能事件．(　×　)
3．“下次李欢的数学成绩在130分以上”是随机事件．(　√　)
4．不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.(　√　)

一、样本点与样本空间
例1　连续掷3枚硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点的总数；
(3)“恰有两枚正面向上”这一事件包含哪几个样本点？
解　(1)用(x，y，z)表示结果，其中x，y，z分别表示第一枚，第二枚，第三枚硬币出现的结果．试验的样本空间Ω＝{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}．
(2)样本点的总数是8.
(3)“恰有两枚正面向上”包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．
(教师留)延伸探究
在本例条件下，写出这个试验中“恰有一枚正面向上”这一事件包含的样本点．
解　“恰有一枚正面向上”包含3个样本点，分别是(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)．
(学生留)反思感悟　确定样本空间的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
跟踪训练1　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘①得到的数为x，转盘②得到的数为y，结果为(x，y)．

(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的基本事件的总数；
(3)“x＋y＝5”这一事件包含哪几个基本事件？“x<3且y>1”呢？
(4)“xy＝4”这一事件包含哪几个基本事件？“x＝y”呢？
解　(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．
(2)基本事件的总数为16.
(3)“x＋y＝5”包含以下4个基本事件：
(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)；
“x<3且y>1”包含以下6个基本事件：
(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．
(4)“xy＝4”包含以下3个基本事件：
(1,4)，(2,2)，(4,1)；
“x＝y”包括以下4个基本事件：
(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)．
二、事件类型的判断
例2　下列事件是必然事件还是随机事件，并指出随机事件的试验结果．
(1)y＝xa(a∈R)在(0，＋∞)上的单调性；
(2)在10个同类产品中，有8个正品2个次品，从中任意抽取3个检验，抽到正品的个数；
(3)任选一实数x，x2≥0.
解　(1)幂函数在(0，＋∞)上的单调性不确定，故为随机事件．
试验结果为当a>0时，在(0，＋∞)上单调递增；当a<0时，在(0，＋∞)上单调递减；当a＝0时，无单调性．
(2)抽到正品的个数不确定，故为随机事件．试验结果为“一正品，两次品”“两正品，一次品”“三个正品”．
(3)对任意的实数x，都有x2≥0是必然的，故为必然事件．
反思感悟　对事件类型判断的两个关键点
(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生．
(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．
跟踪训练2　(多选)给出下列命题，其中命题正确的是(　　)
A．“三个球全部放入两个盒子(每个盒子都要有球)，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件
B．当“x为某一实数时可使x2<0”是不可能事件
C．“2022年的国庆节是晴天”是必然事件
D．“从100个灯泡(有10个是次品)中取出5个，5个都是次品”是随机事件
答案　ABD
解析　“2022年的国庆节是晴天”是随机事件，故命题C错误，命题ABD正确．
三、随机事件的概率
例3　做掷红、蓝两颗骰子的试验，用(x，y)表示结果，其中x表示红色骰子出现的点数，y表示蓝色骰子出现的点数．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验共有多少样本点；
(3)写出事件“出现的点数之和大于9”包含的结果；
(4)写出事件“出现的点数之和为11”包含的结果；
(5)记“出现的点数之和大于9”为A，记“出现的点数之和为11”为B，从直观上判断P(A)与P(B)的大小．
解　(1)这个试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)由(1)知这个试验共有36个样本点．
(3)事件“出现的点数之和大于9”包含的结果为(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．
(4)事件“出现的点数之和为11”包含的结果为(6,5)，(5,6)．
(5)因为事件B发生时，事件A一定发生，事件A发生时，事件B不一定发生，故P(A)>P(B)．
反思感悟　(1)随机事件发生的概率是衡量该事件发生可能性大小的度量，是随机事件的本质属性，为人们在日常生活、工作中的决策提供依据．
(2)对于任何一个事件0≤P(A)≤1.
跟踪训练3　某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能代表教练的观点的为________．(填序号)
①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；
②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.
答案　②
解析　能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.

1．下列事件中，不可能事件为(　　)
A．钝角三角形两个小角之和小于90°
B．三角形中大边对大角，大角对大边
C．锐角三角形中两个内角和小于90°
D．三角形中任意两边的和大于第三边
答案　C
解析　若两内角的和小于90°，则第三个内角必大于90°，故不是锐角三角形，所以C为不可能事件，而A，B，D均为必然事件．
2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　D
解析　有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)共6个基本事件．
3．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(　　)
A．不可能事件
B．必然事件
C．可能性较大的随机事件
D．可能性较小的随机事件
答案　D
解析　掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．
4．下列事件是必然事件的是(　　)
A．如果a，b∈R，那么ab＝ba
B．3＋5>10
C．连续两次掷同一枚硬币，两次都出现正面朝上
D.>0
答案　A
解析　A是必然事件；B中3＋5>10不可能成立；C是随机事件；D中也可能等于0，是随机事件．
5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝____________________.
答案　{ab，ac，ad，bc，bd，cd}
1．知识清单：
(1)样本点和样本空间．
(2)事件和基本事件．
(3)事件的概率，P(∅)＝0，P(Ω)＝1.
2．方法归纳：列举法．
3．常见误区：确定样本空间时易重复或遗漏样本点．



1．下列现象是必然现象的是(　　)
A．走到十字路口，遇到红灯
B．路过某路口发生交通事故
C．直角三角形中，最大内角为90°
D．某人投篮一次投进
答案　C
解析　A，B，D均是随机现象．
2．在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和小于5”这一事件是(　　)
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
答案　B
解析　从十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字的和的最小值为1＋2＋3＝6，所以事件“这三个数字的和小于5”一定不会发生．故选B.
3．下列结论正确的是(　　)
A．事件A的概率P(A)的值满足0 B．若P(A)＝0.999，则A为必然事件
C．事件的概率表示事件发生的可能性大小
D．若P(A)＝0.001，则A为不可能事件
答案　C
解析　由事件概率的定义知，事件A的概率P(A)的值满足0≤P(A)≤1，故A错误；必然事件的概率为1，故B错误；不可能事件的概率为0，故D错误．故选C.
4．天气预报说，某地明天下雪的概率为80%，则(　　)
A．该地明天下雪的可能性是80%
B．该地明天一定下雪
C．该地明天有80%的区域下雪
D．该地明天一天有80%的时间下雪
答案　A
解析　该地明天下雪的概率为80%是指该地明天下雪的可能性是80%.故选A.
5．某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组，某同学只选报其中的2个，则该同学选报的小组基本事件共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案　C
解析　所有基本事件为{数学，计算机}，{数学，航空模型}，{计算机，航空模型}，共3个．
6．从3双鞋子中，任取4只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是________事件．(填“必然”“不可能”或“随机”)
答案　必然
解析　由题意知该事件为必然事件．
7．从100个同类产品中(其中有2个次品)任取3个．
①三个正品；②两个正品，一个次品；③一个正品，两个次品；④三个次品；⑤至少一个次品；⑥至少一个正品．
其中必然事件是________，不可能事件是________，随机事件是________．
答案　⑥　④　①②③⑤　
解析　从100个产品(其中2个次品)中取3个可能结果是：“三个全是正品”“两个正品，一个次品”“一个正品，二个次品”．
8．从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数，则其和为奇数这一事件包含的基本事件数为________．
答案　4
解析　从1,2,3,4,5中随机取三个不同的数有(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)共10种情况，其中(1,2,4)，(1,3,5)，(2,3,4)，(2,4,5)中三个数字之和为奇数．
9．一个盒子中装有5个完全相同的球，分别标有号码1,2,3,4,5，从中一次任取两球．
(1)写出这个试验的样本空间；
(2)求这个试验的样本点总数；
(3)写出“取出的两球上的数字之和是6”的这一事件中所包含的样本点．
解　(1)Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}．
(2)样本点总数为10.
(3)“取出的两球上的数字之和是6”这一事件所包含的样本点为(1,5)，(2,4)．
10．试验E：甲、乙两人玩出拳游戏(锤子、剪刀、布)，观察甲、乙出拳的情况．
设事件A表示随机事件“甲乙平局”；
事件B表示随机事件“甲赢得游戏”；
事件C表示随机事件“乙不输”．
试用集合表示事件A，B，C.
解　设锤子为w1，剪刀为w2，布为w3，用(i，j)表示游戏的结果，其中i表示甲出的拳，j表示乙出的拳，则样本空间E＝{(w1，w1)，(w1，w2)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w2，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，(w3，w2)，(w3，w3)}．
∵事件A表示随机事件“甲乙平局”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，
∴事件A＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)}．
事件B表示“甲赢得游戏”，则满足要求的样本点共有3个：(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)，
∴事件B＝{(w1，w2)，(w2，w3)，(w3，w1)}．
∵事件C表示“乙不输”，则满足要求的样本点共有6个，(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w2，w1)，(w1，w3)，(w3，w2)，
∴事件C＝{(w1，w1)，(w2，w2)，(w3，w3)，(w1，w3)，(w2，w1)，(w3，w2)}．

11．(多选)在10个学生中，男生有x个，现从10个学生中任选6人去参加某项活动：①至少有1个女生；②5个男生，1个女生；③3个男生，3个女生．若要使①为必然事件，②为不可能事件，③为随机事件，则x可以为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
答案　AB
解析　由题意知，10个学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选AB.
12．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的基本事件共有(　　)
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
答案　C
解析　“点P落在x轴上”包含的基本事件的特征是纵坐标为0，因A中有9个非零数，故选C.
13．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a，b，设事件M为“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”，则事件M中含有样本点的个数为(　　)
A．6 B．17 C．19 D．21
答案　C
解析　将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，
∵方程ax2＋bx＋1＝0有实数解，
∴Δ＝b2－4a≥0，
则M＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)}，共含19个样本点．
14．投掷两枚骰子，点数之和为8的样本点有__________个，点数之和不大于4的样本点有__________个．
答案　5　6
解析　点数之和为8的样本点有(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．点数之和不大于4的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(3,1)，(2,2)，共6个．

15．(多选)给出关于满足AB的非空集合A，B的四个命题，其中正确的命题是(　　)
A．若任取x∈A，则x∈B是必然事件
B．若任取x∉A，则x∈B是不可能事件
C．若任取x∈B，则x∈A是随机事件
D．若任取x∉B，则x∉A是必然事件
答案　ACD
16．已知关于x的一元二次函数f(x)＝ax2－4bx＋1.设集合P＝{1,2,3}和Q＝{－1,1,2,3,4}，分别从集合P和Q中随机取一个数作为a和b.
(1)写出以(a，b)为元素的样本空间，共包含多少个样本点？
(2)指出事件“函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有样本点．
解　(1)Ω＝{(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3，－1)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)}，共包含15个样本点．
(2)∵函数f(x)＝ax2－4bx＋1的图像的对称轴为x＝.
要使f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上为增函数，
需a>0且≤1，即2b≤a.
若a＝1，即b＝－1；
若a＝2，则b＝－1,1；
若a＝3，则b＝－1,1.
即事件“函数f(x)＝ax2－4bx＋1在区间[1，＋∞)上是增函数”的所有样本点有(1，－1)，(2，－1)，(2,1)，(3，－1)，(3,1)共5个．