高中数学人教B版 (2019)必修 第二册5.2 数学探究活动:由编号样本估计总数及其模拟课文课件ppt

第二课时　分层抽样

课标要求　1.了解分层抽样的特点和使用范围.2.了解分层抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法.

素养要求　通过分层抽样的学习，提升学生的数学运算、逻辑推理和数学抽象素养.

1.思考　商场粮食类40种，植物油类10种，动物性食品30种.从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测，用简单随机抽样合适吗？为什么？

提示　不合适，总体中个体差异明显，应用分层抽样.

2.填空　分层抽样

(1)定义：一般地，如果相对于要考察的问题来说，总体可以分成有明显差别的、互不重叠的几部分时，每一部分可称为层，在各层中按层在总体中所占比例进行随机抽样的方法称为分层随机抽样(简称为分层抽样).

(2)作用：通过分层抽样所得到的样本，一般更具有代表性，可以更准确地反映总体的特征.

温馨提醒　(1)分层抽样如何分层要视具体情况而定，总的原则是每层内样本的差异要尽可能小，而层与层之间的差异要尽可能大，且互不重叠，否则将失去分层的意义.

(2)所有层都按同一抽样比等可能抽取，以保证每个个体被等可能抽取.

(3)根据实际情况，可对每层所抽取的数目进行适当的细微调整.

3.做一做　分层抽样适合的总体是(　　)

A.总体容量较大

B.样本容量较大

C.总体中个体有差异

D.任何总体

答案　C

题型一　分层抽样的概念

例1 下列问题中最适合用分层抽样抽取样本的是(　　)

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个.为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本

C.从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用的时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

答案　B

解析　B中的总体是由差异明显的几部分组成的，最适合用分层抽样.

思维升华　分层抽样的依据

(1)适用于总体由差异明显的几部分组成的情况；

(2)样本能更充分地反映总体的情况；

(3)等可能抽样，每个个体被抽到的可能性都相等.

训练1 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是________.

答案　分层抽样

解析　因为三个年级的学生视力会存在明显差异，因此使用分层抽样.

题型二　分层抽样中的相关计算

例2 (1)某市有大型超市200家，中型超市400家，小型超市1 400家.为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市________家.

(2)某单位共有老、中、青职工430人，其中有青年职工160人，中年职工人数是老年职工人数的2倍.为了解职工的身体状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有青年职工32人，则该样本中的老年职工人数为________.

答案　(1)20　(2)18

解析　(1)根据题意，可得抽样比为＝，故应抽取中型超市400×＝20(家).

(2)设该单位老年职工人数为x，由题意得3x＝430－160，解得x＝90.则样本中的老年职工人数为90×＝18.

思维升华　首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1，2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数，且＝.

训练2 (1)某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生.为了解学生的就业倾向，用分层随机抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为________.

(2)某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层随机抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表：

由于不小心，表格中A，C产品的有关数据已被污染，导致看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，则C产品的数量是________件.

答案　(1)16　(2)800

解析　(1)设应在丙专业抽取的学生人数为x，则＝，

即＝，

解得x＝16.

(2)设C产品的数量为x件，则A产品的数量为3 000－1 300－x＝(1 700－x)件.设C产品的样本容量为a，

则A产品的样本容量为10＋a，由分层随机抽样的定义可知＝＝，解得x＝800.

题型三　分层抽样的设计

例3 某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级机关为了了解该政府机构的改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，并具体实施操作.

解　因为个体差异明显，为体现调查的公平性，应该采用分层抽样.

因为＝，

所以从副处级以上干部中抽取10×＝2(人)，

从一般干部中抽取70×＝14(人)，

从工人中抽取20×＝4(人).

因为副处级以上干部与工人人数都较少，可分别按1～10编号与1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人.

一般干部有70人，人数较多，首先按00，01，…，69编号，然后利用随机数表法抽取14人.

思维升华　分层抽样的步骤

训练3 某市的3个区共有高中学生20 000人，且3个区的高中学生人数之比为2∶3∶5，各区高中学生的视力有明显差异，现要从所有学生中抽取一个容量为200的样本，调查该市高中学生的视力情况，试写出抽样过程.

解　(1)由于该市各区高中学生的视力有明显差异，故按3个区分成三层，用分层抽样来抽取样本.

(2)确定每层抽取个体的个数，在3个区分别抽取的学生人数之比是2∶3∶5，所以抽取的学生人数分别是200×＝40；200×＝60；200×＝100.

(3)在各层分别抽取样本.

(4)结合每层抽样，组成容量为200的样本.

[课堂小结]

1.牢记分层抽样中的两个比例关系

(1)＝；

(2)总体中某两层的个体数之比＝样本中这两层所抽取的个体数之比.

2.易错点：当分层抽样中按照比例计算出的值不是整数时，一般采用四舍五入的方法取值，若四舍五入后得到的样本容量与要求的不同时，则可根据问题的实际意义适当处理，使之相同，这只是细节性问题，并未改变分层抽样的本质：每个个体被抽到的概率相同.

一、基础达标

1.某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名.现用分层随机抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为(　　)

A.6   B.8   C.10   D.12

答案　B

解析　设在高二年级学生中抽取的人数为x，则＝，

解得x＝8.

2.为了保证分层抽样时每个个体等可能地被抽取，必须要求(　　)

A.每层不等可能抽样

B.每层抽取的个体数相等

C.每层抽取的个体可以不一样多，但必须满足抽取ni＝n(i＝1，2，…，k)个个体.(其中k是层数，n是抽取的样本容量，Ni是第i层中个体的个数，N是总体容量)

D.只要抽取的样本容量一定，每层抽取的个体数没有限制

答案　C

解析　A错误.B中由于每层的容量不一定相等，每层抽同样多的个体数，显然从整个总体来看，各层之间的个体被抽取的可能性就不一样了，因此B错误.

C中对于第i层的每个个体，它被抽到的可能性与层数无关，即对于每个个体来说，被抽取的可能性是相同的，故C正确.D错误.

3.(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法中正确的有(　　)

A.应该采用分层随机抽样法

B.高一、高二年级应分别抽取100人和135人

C.乙被抽到的可能性比甲大

D.该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力

答案　ABD

解析　由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法.由于比例为＝，因此高一年级1 000人中应抽取100人，高二年级1 350人中应抽取135人.甲、乙被抽到的可能性都是.因此只有C不正确，故选ABD.

4.某校有1 700名高一学生，1 400名高二学生，1 100名高三学生，高一数学兴趣小组欲采用分层抽样的方法在全校抽取42名学生进行某项调查，则下列说法正确的是(　　)

A.高一学生被抽到的概率最大

B.高三学生被抽到的概率最大

C.高三学生被抽到的概率最小

D.每名学生被抽到的概率相等

答案　D

解析　分层抽样时每个个体被抽到的概率都相等.

5.某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品数量之比为2∶3∶5，现用分层抽样方法抽出一个容量为n的样本，样本中A种型号产品有16件.那么此样本的容量n等于(　　)

A.60   B.70   C.80   D.90

答案　C

解析　由题意知，总体中A种型号产品所占的比是＝，因样本中A种型号产品有16件，则×n＝16，解得n＝80.

6.某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人.现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________.

答案　192

解析　由题意，得＝，

解得n＝192.

7.一支田径队有男运动员49人，女运动员42人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为13的样本.则应抽取男运动员________人，女运动员________人.

答案　7　6

解析　抽样比为＝，所以抽取男运动员49×＝7人，女运动员42×＝6人.

8.为调查某高校学生对“一带一路”政策的了解情况，现采用分层抽样的方法抽取一个容量为500的样本，其中大一年级抽取200人，大二年级抽取100人.若其他年级共有3 000人，则该校学生的总人数是________.

答案　7 500

解析　由题意知，从其他年级抽取200人，又其他年级共有学生3 000人，所以该校学生的总人数是＝7 500.

9.为了对某课题进行讨论研究，用分层抽样的方法从A，B，C三所高校的相关人员中，抽取若干人组成研究小组，有关数据见下表(单位：人)

(1)求x，y；

(2)若从高校B相关的人中选2人作专题发言，应采用什么抽样法，请写出合理的抽样过程.

解　(1)分层抽样是按各层相关人数和抽取人数的比例进行的，所以有：＝且＝，故x＝18，y＝2.

(2)总体容量和样本容量较小，所以应采用抽签法，过程如下：

第一步，将36人随机编号，号码为1，2，3，…，36；

第二步，将号码分别写在相同的纸片上，揉成团，制成号签；

第三步，将写好的号签放在一个容器中并搅拌均匀，依次不放回地抽取2个号签，并记下号码，则号码对应的两名相关人员即为被选的发言代表.

10.为了对某课题进行研究，分别从A，B，C三所高校中用分层随机抽样法抽取若干名教授组成研究小组，其中高校A有m名教授，高校B有72名教授，高校C有n名教授(其中0<m≤72≤n).

(1)若A，B两所高校中共抽取3名教授，B、C两所高校中共抽取5名教授，求m，n；

(2)若高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，求三所高校的教授的总人数.

解　(1)∵0<m≤72≤n，A，B两所高校中共抽取3名教授，B、C两所高校中共抽取5名教授，∴高校B中抽取2名教授，高校A中抽取1名教授，高校C中抽取3名教授，

∴＝＝，

解得m＝36，n＝108.

(2)∵高校B中抽取的教授数是高校A和C中抽取的教授总数的，

∴(m＋n)＝72，

解得m＋n＝108，

∴三所高校的教授的总人数为m＋n＋72＝180.

二、能力提升

11.现有某工厂生产的甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品分别为150件、120件、180件、150件.为了调查产品的情况，需从这600件产品中抽取一个容量为100的样本，若采用分层抽样，设甲产品中应抽取产品件数为x，此次抽样中，某件产品A被抽到的可能性为y，则x，y的值分别为(　　)

A.25，    B.20，

C.25，    D.25，

答案　D

解析　根据分层抽样的定义和方法可得＝，解得x＝25.

由于分层抽样的每个个体被抽到的可能性相等，则y＝＝.

12.假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中社区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12，21，25，43，则这四个社区驾驶员的总人数N为________.

答案　808

解析　因为甲社区有驾驶员96人，并且在甲社区抽取的驾驶员的人数为12人，所以四个社区抽取驾驶员的比例为＝，所以驾驶员的总人数为(12＋21＋25＋43)÷＝808(人).

13.某单位最近组织了一次健身活动，活动小组分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加了其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的，且该组中青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层随机抽样法从参加活动的全体职工中抽取200人进行调查，试确定：

(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人应分别抽取的人数.

解　(1)设登山组人数为x，则游泳组人数为3x，再设游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，

则有＝47.5%，

＝10%，

解得b＝50%，c＝10%，

故a＝1－50%－10%＝40%.

所以游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%，50%，10%.

(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200××40%＝60(人)，抽取的中年人人数为200××50%＝75(人)，抽取的老年人人数为200××10%＝15(人).

三、创新拓展

14.山东某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：

其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人.

答案　6

解析　因为“泥塑”社团的人数占总人数的，故“剪纸”社团的人数占总人数的，

所以抽取的50人的样本中，“剪纸”社团中的人数为50×＝20.

又“剪纸”社团中高二年级人数比例为＝＝，

所以从高二年级“剪纸”社团中抽取的人数为20×＝6.