初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定集体备课ppt课件
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这是一份初中数学北师大版九年级上册2 矩形的性质与判定集体备课ppt课件,共22页。PPT课件主要包含了求证ACBD,∵BCCB,∴ACDB,∴ACBD且,∵∠DAB90°,∴∠ABC90°,∴∠ACB90°等内容,欢迎下载使用。
1、能用综合法证明矩形的性质定理、判定定理以及相 关结论;2、能用矩形的性质进行简单的证明与计算.
请从边、角、对角线三个方面说一说平行四边形有哪些性质?
边:对边平行且相等;角:对角相等;对角线:对角线互相平分.
矩形与平行四边形之间的关系
(3)矩形是特殊的平行四边形,具有平行四边形的一切性质(共性),还具有它自己特殊的性质(个性).
(4)从边、角、对角线方面,观察或度量猜想矩形的特殊性质.①边:对边平行且相等(与平行四边形相同),邻边互相垂直;②角:四个角是直角(性质1);③对角线:相等且互相平分.
定理:矩形的四个角都是直角.
已知:如图,四边形ABCD是矩形.
分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.
∵ 四边形ABCD是矩形.
∴∠A=90,四边形ABCD是平行四边形.
∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90, ∠D=180-∠A=90.
求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90.
∴四边形ABCD是矩形.
定理:矩形的两条对角线相等.
已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线.
∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.
分析:根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
推论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
练一练:如图,在矩形ABCD中: ①AB∥CD,AB=CD;AD∥BC,AD=BC ②∠BAD=∠ADC=∠BCD=∠ABC=90°③AC = BD= 2AO = 2OC=2OB =2OD 问:在Rt△ABC中,斜边AC上的中线是OB,它与斜边的关系是OB= AC.问:是不是所有的三角形都有这样的性质? 关键是是不是任何一个三角形都可以放进一个矩形里?
【例1】已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.
∵四边形ABCD是矩形.
∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
∵∠AOD=120°.
∴∠ODA=∠OAD=
你认为例1还可以怎么去解?
定理:有三个角是直角的四边形是矩形.
已知:如图,在四边形ABCD中, ∠A=∠B=∠C=90°.
分析:利用同旁内角互补,两直线平行来证明四边形是平行四边形,可使问题得证.
∵ ∠A=∠B=∠C=90°.
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
求证:四边形ABCD是矩形.
∴四边形ABCD是平行四边形.
定理:对角线相等的平行四边形是矩形.
已知:如图,在□ABCD中,对角线AC=BD.
求证:平行四边形ABCD是矩形.
分析:要证明□ABCD是矩形,只要证明有一个角是直角即可.
∴AB=CD,AB∥CD.
∵AC=DB,BC=CB.
∴ △ABC≌△DCB.
∴∠ABC=∠DCB.
∵四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC+∠DCB=180°.
下列各句判定矩形的说法是否正确?为什么?(1)对角线相等的四边形是矩形;( )(2)对角线互相平分且相等的四边形是矩形;( )(3)有四个角是直角的四边形是矩形;( )(4)对角线相等,且有一个角是直角的四边形是矩形; ( )
定理:如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.
求证:△ABC是直角三角形.
已知:CD是△ABC边AB上的中线,且
分析:要证明△ABC是直角三角形,可以将点A,B,C构造平行四边形,然后证明其对角线相等,即可证明是矩形.
证明:延长CD到E,使DE=DC,连接AE,BE.
∴四边形ACBE是平行四边形.
∵AB=2CD,CE=2CD.
∴四边形ACBE是矩形.
∵ AD=BD,CD=ED.
∴△ABC是直角三角形.
1.如图所示,已知□ABCD,下列条件:①AC=BD,②AB=AD,③∠1=∠2,④AB⊥BC中,能说明□ABCD是矩形的有(填写序号).
解析:根据对角线相等的平行四边形是矩形;矩形的定义.答案:① ④
2.如图,在△ABC中,AB=AC=8,AD是底边上的高,E为AC的中点,则DE= .
解析:根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得,DE等于AC的一半,所以DE=4.答案:4
3.如图,在等边△ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.(1)求∠CAE的度数;(2)取AB边的中点F,连结CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.
解析:(1)在等边△ABC中,∵点D是BC边的中点,∴∠DAC=30º,又∵等边△ADE,∴∠DAE=60º,∴∠CAE=30º.
(2)在等边△ABC中,∵F是AB边的中点,D是BC边的中点,∴CF=AD,∠CFA=90º,又∵AD=AE,∴AE=CF,由(1)知∠CAE=30º,∴∠EAF=60º+30º=90º,∴∠CFA=∠EAF,∴CF∥AE,∵AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形,又∵∠CFA=90º,∴四边形AFCE是矩形.
4.已知:如图,四边形ABCD是由两个全等的正三角形ABD和BCD组成的,M、N分别为BC、AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形.
证明:在正三角形ABD和BCD中,M、N分别为BC、AD的中点.∴BN⊥AD,DM⊥BC,∠DBC=60°,∠BND=∠DMB=90°,∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四边形BMDN是矩形.
5、已知:如图,AC,BD是矩形ABCD的两条对角线,AC,BD相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形.∴AC=BD,且∴OA=OD. ∵∠AOD=120°.∴∠ODA=∠OAD=∵∠DAB=90°.∴BD=2AB=2×2.5=5(cm).
你认为本题还可以怎样解?
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