人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时课堂检测

课时作业52　二倍角的正弦、余弦、正切公式

——基础巩固类——

一、选择题

1．已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则sin2α等于(　A　)

A．－1   B．－

C.    D．1

解析：因为sinα－cosα＝，所以(sinα－cosα)2＝2，所以sin2α＝－1，故选A.

2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于(　C　)

A.   B.

C.    D．1＋

解析：利用诱导公式变形产生平方关系式和倍角公式的形式，从而有原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋sin30°＝1＋＝.

3．已知sinα＝，则sin4α－cos4α的值为(　A　)

A．－   B．－

C.    D．

解析：sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)(sin2α－cos2α)＝－(cos2α－sin2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝－.

4．化简·cos28°的结果为(　A　)

A.   B．sin28°

C．2sin28°    D．sin14°cos28°

解析：·cos28°＝×·cos28°

＝tan28°cos28°＝.

5．已知α是第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝(　A　)

A．－   B．－

C.    D．

解析：由sinα＋cosα＝，

平方得1＋2sinαcosα＝＝，

∴2sinαcosα＝－.

∴(cosα－sinα)2＝1－2sinαcosα＝.

∵α是第二象限角，

∴sinα>0，cosα<0.

∴cosα－sinα＝－，

∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(cosα＋sinα)·(cosα－sinα)＝－.

6．函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx在区间上的最大值是(　C　)

A．1   B.

C.    D．1＋

解析：∵f(x)＝＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin(2x－)＋，且≤x≤，

∴≤2x－≤π.

从而可得ymax＝1＋＝.

二、填空题

7．已知tan＝2，则的值为.

解析：∵tan(x＋)＝2，

∴＝2，∴tanx＝.

∴＝＝＝＝.

8．化简：＝－1.

解析：原式＝＝－＝＝－1.

9．已知sin＋sin＝，

则＝.

解析：∵sin＋sin＝，

∴sinαcos＋cosαsin＋sinαcos－cosαsin＝sinα＝，∴sinα＝.

从而＝

＝＝

＝＝＝.

三、解答题

10．已知sin－2cos＝0.

(1)求tanx的值；

(2)求的值．

解：(1)由sin－2cos＝0，

知cos≠0，

∴tan＝2，

∴tanx＝＝＝－.

(2)由(1)，知tanx＝－，

∴

＝

＝

＝

＝×＝×＝.

11．已知函数f(x)＝sincos－sin2.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间[－π，0]上的最小值．

解：(1)因为f(x)＝sinx－(1－cosx)＝sin－，所以f(x)的最小正周期为2π.

(2)因为－π≤x≤0，

所以－≤x＋≤.

当x＋＝－，

即x＝－时，f(x)取得最小值．

所以f(x)在区间[－π，0]上的最小值为f＝－1－.

——能力提升类——

12．已知tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为(　B　)

A．－  B.

C．－    D．

解析：cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝.故选B.

13．若α∈，且cos2α＋cos＝，则tanα的值为(　C　)

A.   B.

C.    D．或－7

解析：cos2α＋cos＝cos2α－sin2α＝cos2α－2sinαcosα＝＝＝，整理得3tan2α＋20tanα－7＝0，解得tanα＝或tanα＝－7.又α∈，所以tanα＝.

14．若0<θ<，则化简－的结果是2sin.

解析：原式＝

－

＝－

＝－.

因为θ∈，所以∈.

所以cos>sin>0.

所以此时原式＝sin＋cos－cos＋sin＝2sin.

15．已知函数f(x)＝.

(1)求f的值；

(2)当x∈时，求函数g(x)＝f(x)＋sin2x的最大值和最小值．

解：(1)f(x)＝

＝

＝＝＝2cos2x，

所以f＝2cos＝2cos＝.

(2)g(x)＝cos2x＋sin2x＝sin.

因为x∈，所以2x＋∈，

所以当x＝时，g(x)max＝，

当x＝0时，g(x)min＝1.