高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换第4课时课时练习

第五章　5.5　5.5.1　第4课时

A组·素养自测

一、选择题

1．已知sin(－x)＝，则cos(－2x)的值为(　D　)

A．　　 B．　　

C．　　 D．

[解析]　因为sin(－x)＝，所以cos(－2x)

＝cos[2(－x)]＝1－2sin2(－x)＝.

2．函数y＝的最小正周期是(　B　)

A． B．

C．π D．2π

[解析]　y＝＝＝cos22x－sin22x＝cos 4x，所以最小正周期T＝＝.

3．设函数f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)，x∈R，则函数f(x)是(　A　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

[解析]　f(x)＝cos2(x＋)－sin2(x＋)＝cos(2x＋)＝－sin 2x，所以函数f(x)是最小正周期为π的奇函数，故选A．

4．若sin(＋)＝－，α为第一象限角，则＝(　C　)

A． B．－

C．－3 D．3

[解析]　∵sin(＋)＝sin(2π＋＋)

＝sin(＋)＝cos＝－.

又∵α为第一象限角，∴2kπ<α<2kπ＋，k∈Z，

∴kπ<<kπ＋，k∈Z，

∴为第一象限角或第三象限角．

又cos＝－，∴为第三象限角，∴sin＝－，

∴＝＝

＝＝－3，故选C．

5．若△ABC的内角A满足sin2A＝，则sinA＋cosA等于(　A　)

A． B．－

C． D．－

[解析]　∵sin2A＝2sinAcosA＝，∴sinAcosA＝.

∵在△ABC中，0<A<π，∴sinA>0，∴cosA>0，

∴sinA＋cosA＝＝＝＝.

6．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于(　C　)

A． B．

C． D．

[解析]　∵tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，

∴tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]

＝＝－1，

又α为锐角，∴2α＝，∴α＝.

二、填空题

7．若sin＝， 则cos2θ＝__－__.

[解析]　由sin＝cosθ＝，

得cos2θ＝2cos2θ－1＝2×2－1＝－.

8．计算：tan－＝__－2__.

[解析]　原式＝＝＝－2.

9．若cos2θ＝－，则sin4θ＋cos4θ＝____.

[解析]　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－sin22θ，又cos2θ＝－，∴sin22θ＝1－cos22θ＝.

∴原式＝1－sin22θ＝1－×＝.

三、解答题

10．求下列各式的值：

(1)；

(2)2tan15°＋tan215°；

(3)sin10°sin30°sin50°sin70°.

[解析]　(1)原式＝

＝

＝

＝＝＝8.

(2)原式＝tan30°(1－tan215°)＋tan215°

＝×(1－tan215°)＋tan215°＝1.

(3)方法一：sin10°sin30°sin50°sin70°

＝cos20°cos40°cos80°

＝

＝

＝＝·＝.

方法二：令x＝sin10°sin50°sin70°，y＝cos10°cos50°cos70°，则xy＝sin10°cos10°sin50°cos50°sin70°cos70°，

＝sin20°·sin100°·sin140°

＝sin20°sin80°sin40°

＝cos10°cos50°cos70°＝y.

∵y≠0，∴x＝.

从而有sin10°sin30°sin50°sin70°＝.

11．已知sinα＋cosα＝，且0<α<π，求sin2α，cos2α，tan2α的值．

[解析]　∵sinα＋cosα＝

∴sin2α＋cos2α＋2sinα·cosα＝，

∴sin2α＝－且sinαcosα＝－<0.

∵0<α<π，sinα>0，∴cosα<0，∴sinα－cosα>0，

∴sinα－cosα＝＝，

∴cos2α＝cos2α－sin2α＝(sinα＋cosα)(cosα－sinα)＝×(－)＝－，

∴tan2α＝＝.

B组·素养提升

一、选择题

1．已知锐角α的终边经过点P(cos50°，1＋sin50°)，则锐角α等于(　C　)

A．10° B．20°

C．70° D．80°

[解析]　由三角函数的定义tanα＝＝＝＝＝＝tan70°.

所以α＝70°.

2．(2019·山西晋中高三适应性考试)若sin(－α)＝，则sin(＋2α)＝(　D　)

A． B．

C． D．

[解析]　由题意及诱导公式可得sin(＋2α)＝cos[－(＋2α)]＝cos(－2α)，

又由余弦的倍角公式，可得cos(－2α)＝1－2sin2(－α)＝1－2×()2＝，

即sin(＋2α)＝.

3．(多选题)下列各式中，值为的是(　BC　)

A．2sin 15°cos 15° B．cos215°－sin215°

C．1－2sin215° D．sin215°＋cos215°

[解析]　A不符合，2sin 15°cos 15°＝sin 30°＝；B符合，cos215°－sin215°＝cos 30°＝；C符合，1－2sin215°＝cos 30°＝；D不符合，sin215°＋cos215°＝1.故选BC．

4．(多选题)已知函数f(x)＝是奇函数，则有(　BCD　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称

B．函数f(x)的图象关于点(，0)对称

C．函数f(x)是奇函数

D．函数f(x)的最小正周期为π

[解析]　因为f(x)＝＝＝－tan x(x≠(k∈Z))，

所以函数f(x)是周期为π的奇函数，图象关于点(，0)对称，故选BCD．

二、填空题

5．若tan(－α)＝，则tan2α＋＝__2__.

[解析]　由tan(－α)＝＝，可求得tanα＝，

∴tan2α＋＝＋＝＋＝＝＝2.

6．已知sinα＋cosβ＝，则cos2α＋cos2β的取值范围是__[－，]__.

[解析]　因为sinα＋cosβ＝，

所以cos2α＋cos2β＝1－2sin2α＋2cos2β－1

＝2(sinα＋cosβ)(cosβ－sinα)

＝3(cosβ－sinα)．

由sinα＋cosβ＝得cosβ＝－sinα，

易得sinα∈[，1]，所以cosβ－sinα＝－2sinα∈[－，]，

所以cos2α＋cos2β∈[－，]．

7．(2019·湖南长沙高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，角θ的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点(，)，则cos(2θ＋)＝__－1__.

[解析]　由题意知cosθ＝，sinθ＝，

∴cos2θ＝2cos2θ－1＝－，

sin2θ＝2sinθcosθ＝，

∴cos(2θ＋)＝cos2θcos－sin2θ·sin＝－×－×＝－1.

三、解答题

8．定义向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，若m与n共线，则有x1y2－x2y1＝0，已知向量m＝(cosα－，－1)，n＝(sinα，1)，m与n为共线向量，且α∈[－，0]．

(1)求sinα＋cosα的值；

(2)求的值．

[解析]　(1)∵m与n为共线向量，

∴(cosα－)×1－(－1)×sinα＝0，

即sinα＋cosα＝.

(2)由(1)得1＋sin2α＝(sinα＋cosα)2＝，

∴sin2α＝－.

∵(sinα＋cosα)2＋(sinα－cosα)2＝2，

∴(sinα－cosα)2＝2－()2＝.

又∵α∈[－，0]，∴sinα－cosα<0，sinα－cosα＝－.

因此，＝.

9．已知函数f(x)＝cos2－sincos－.

(1)求函数f(x)的最小正周期和值域；

(2)若f(α)＝，求sin2α的值．

[解析]　(1)因为f(x)＝cos2－sincos－

＝(1＋cosx)－sinx－＝cos，

所以函数f(x)的最小正周期为2π，值域为.

(2)由(1)知，f(α)＝cos＝，

所以cos＝.

所以sin2α＝－cos

＝－cos2＝1－2cos2＝1－＝.