数学九年级上册22.1.1 二次函数教案及反思

二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

第1课时　配方法求二次函数解析式

1.掌握用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.

2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式以及性质.

3.会画二次函数y=ax2+bx+c的图象.

【重点难点】

1.掌握用配方法求二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标、对称轴.

2.熟记二次函数y=ax2+bx+c的顶点坐标公式以及性质.

【新课导入】

1.学习了二次函数的几种特殊形式(1)y=ax2;(2)y=ax2+k;(3)y=a(x-h)2;(4)y=a(x-h)2+k.

2.我们能否将y=ax2+bx+c变形为上述特殊形式,再研究此函数的特征?

【课堂探究】

一、利用配方法把y=ax2+bx+c转化为y=a(x-h)2+k的形式

1.将二次函数y=-x2-2x-2配方后得(　D　)

(A)y=-(x-1)2-3 (B)y=-(x+1)2-3

(C)y=-(x-1)2-1 (D)y=-(x+1)2-1

2.若二次函数y=x2+bx+5配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为(　D　)

(A)0,5 (B)0,1 (C)-4,5 (D)-4,1

二、y=ax2+bx+c的图象的画法及性质

3.(2013河南)在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是(　A　)

(A)x<1 (B)x>1

(C)x<-1 (D)x>-1

4.已知二次函数y=-x2+6x-10.

(1)用配方法将它改写成y=a(x-h)2+k的形式;

(2)说出其图象的开口方向、对称轴和顶点坐标;

(3)画出其图象;

(4)说出其图象与二次函数y=-x2的图象的关系.

解:(1)y=-x2+6x-10

=-(x2-12x+20)

=-(x2-12x+36-36+20)

=-[(x-6)2-16]

=-(x-6)2+8.

(2)∵a=-<0,

∴其图象的开口向下;

∵h=6,k=8,

∴其图象的对称轴为直线x=6,顶点坐标为(6,8).

(3)列表:

描点、连线得到该函数的图象,如图所示.

(4)将二次函数y=-x2的图象向右平移6个单位,再向上平移8个单位即得到二次函数y=-x2+6x-10的图象;反之,也可以说成将二次函数y=-x2+6x-10的图象向左平移6个单位,再向下平移8个单位即得到二次函数y=-x2的图象.

1.二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(　A　)

(A)(- 1,8) (B)(1,8)

(C)(-1,2) (D)(1,-4)

2.已知抛物线y=-2x2+12x-13,则此抛物线(　D　)

(A)开口向下,对称轴为直线x=-3

(B)顶点坐标为(-3,5)

(C)最小值为5

(D)当x>3时,y随x的增大而减小

3.(2013嘉兴)若一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与x轴的交点坐标为(-2,0),则抛物线y=ax2+bx的对称轴为(　C　)

(A)直线x=1 (B)直线x=-2

(C)直线x=-1 (D)直线x=-4

4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列关于a,b,c间的关系判断正确的是(　D　)

(A)ab<0

 (B)bc<0

 (C)a+b+c>0

(D)a-b+c<0

5.已知二次函数y=ax2+bx-3的图象经过点A(2,-3),B(-1,0).

(1)求二次函数的关系式;

(2)要使该二次函数的图象与x轴只有一个交点,应把图象沿y轴向上平移多少个单位?

解:(1)由已知,有

即

解得

∴所求的二次函数的解析式为y=x2-2x-3.

(2)y=x2-2x-3

=(x2-2x+1)-1-3

=(x-1)2-4.

∴y=x2-2x-3的图象向上平移4个单位后得y=(x-1)2,开口向上,顶点(1,0),与x轴只有一个交点.

第2课时　用待定系数法求二次函数的解析式

1.理解并掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法.

2.会利用不同的条件,得出二次函数关系式.

【重点难点】

掌握用待定系数法求二次函数解析式的方法.

【新课导入】

1.求一次函数解析式y=kx+b需要两点坐标,求反比例函数解析式y=只需一个点坐标.

2.求二次函数y=ax2+bx+c的解析式,需要什么条件呢?

【课堂探究】

一、用待定系数法求顶点式解析式

1.已知某二次函数的图象如图所示,则这个二次函数的解析式为(　D　)

(A)y=2(x+1)2+8 (B)y=18(x+1)2-8

(C)y=(x-1)2+8 (D)y=2(x-1)2-8

2.(2013安徽)已知二次函数图象的顶点坐标为(1,-1),且经过原点(0,0),求该函数的解析式.

解:设二次函数的解析式为

y=a(x-1)2-1(a≠0),

∵二次函数的图象经过原点(0,0),

∴a·(0-1)2-1=0,

∴a=1,

∴该函数的解析式为

y=(x-1)2-1(或y=x2-2x).

二、用待定系数法求一般式解析式

3.已知二次函数的图象经过点A(0,-1)、B(1,0)、C(-1,2),求此二次函数解析式.

解:设二次函数关系式为y=ax2+bx+c,

由已知,可得

解这个方程组,得a=2,b=-1,c=-1.

所求二次函数的关系式是y=2x2-x-1.

4.当x=1时,y=0;x=0时,y=-2;x=2 时,y=3.求此二次函数解析式.

解:设二次函数解析式为y=ax2+bx+c,

根据题意得,

解得

∴二次函数解析式为y=x2+x-2.

1.(2013上海)如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位,那么所得新抛物线的表达式是(　C　)

(A)y=(x-1)2+2 (B)y=(x+1)2+2

(C)y=x2+1 (D)y=x2+3

2.把抛物线y=x2+bx+c的图象向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式为y=x2-3x+5,则(　A　)

(A)b=3,c=7 (B)b=6,c=3

(C)b=-9,c=-5 (D)b=-9,c=21

3.二次函数y=x2-8x+c的最小值是0,那么c的值等于(　D　)

(A)4 (B)8 (C)-4 (D)16

4.已知抛物线y=ax2+bx+c经过点(1,2)与(-1,4),则a+c的值是　3　. 

5.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C(0,3),则二次函数的解析式是　y=x2-4x+3　. 

6.已知:函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点.求这个函数关系式.

解:当a=0时,y=x+1,图象与x轴只有一个公共点.当a≠0时,Δ=1-4a=0,a=,此时,图象与x轴只有一个公共点.

∴函数的解析式为y=x+1或y=x2+x+1.