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物理必修 第二册2 向心力学案设计
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这是一份物理必修 第二册2 向心力学案设计，共26页。
1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.体验向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力与物体的质量、速度和轨道半径的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用.4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点.
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着半径指向圆心.
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝meq \f(v2,r)
(2)Fn＝mω2r.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示.
图1
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的.( × )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力.( √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.( × )
(5)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.( √ )
2.如图2所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落.则下列说法正确的是( )
图2
A.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B.小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C.筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D.筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误.水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项B、C错误，D正确.
第1课时 实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图3(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
图3
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图4所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
图4
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图5所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
图5
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
②m、ω一定(表二)
③r、ω一定(表三)
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
一、定性研究影响向心力大小的因素
如图6甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素.用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)，将手举过头顶，使杯在水平面内做圆周运动.
图6
(1)下列说法中正确的是________.
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙，绳离杯心40 cm处打一结点A,80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学手表计时，另一位同学操作.
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小.
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：________________相同，向心力大小与________有关；
②物理学中此种实验方法叫________________法.
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
答案 (1)BD (2)①角速度、半径 质量
②控制变量
③说法不正确.该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心.细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心.
二、定量研究影响向心力大小的因素
用如图7所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关.
图7
(1)本实验采用的科学方法是________.
A.控制变量法 B.累积法
C.微元法 D.放大法
(2)图示情景正在探究的是________.
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结论是________.
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
答案 (1)A (2)D (3)C
一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系.在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中.
表1 向心力Fn与半径r的测量数据
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物的角速度ω，得到几组向心力Fn和角速度ω的数据，记录到表2中.
表2 向心力Fn与角速度ω的测量数据
(1)根据上面的测量结果，分别在图8和图9中作出Fn－r图线和Fn－ω图线.
图8
图9
(2)若作出的Fn－ω图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图10中作出Fn－ω2图线.
图10
(3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________.
答案 (1)
(2)
(3)正比 正比
1.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着绳在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图11所示)，则下列说法中正确的是( )
图11
A.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
答案 B
2.(多选)(2018·北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系.它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变，利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多.采用如图12所示的实验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是( )
图12
A.控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系
B.控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系
C.钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多
D.钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多
答案 AC
3.如图13所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中 A、B 为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤.试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素.
图13
(1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆.
现象：连接 A的棉线先断.
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大.
(2)使质量 mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆.
现象：连接 A的棉线先断.
表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大.
(3)对任一次断线过程进行考察.
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的.
表明：在物体质量和转动半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大.
答案 (1)物体质量 (2)转动半径 (3)转动角速度
4.如图14甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F－v图像、F－v2图像、F－v3图像.
图14
(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1 m的条件下得到的.研究图像后，可得出向心力F和圆柱体线速度大小v的关系式____________________________.
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持______不变.
(3)若已知向心力公式为F＝meq \f(v2,r)，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________.
答案 (1)F＝0.88v2 (2)线速度大小v (3)0.088 kg
解析 (1)研究数据表格和题图乙中B图不难得出F∝v2，进一步研究知题图乙B中图线的斜率k＝eq \f(ΔF,Δv2)≈0.88，故F与v的关系式为F＝0.88v2.
(2)还应保持线速度大小v不变.
(3)因F＝meq \f(v2,r)＝0.88v2，r＝0.1 m，则m＝0.088 kg.
第2课时 向心力的分析和公式的应用
一、向心力的理解及来源分析
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)合力的大小F＝meq \f(v2,r).
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
关于向心力的说法中正确的是( )
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
答案 B
解析 向心力是物体做圆周运动的原因，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误.
(多选)如图2所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
图2
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于Mgtan θ
答案 BCD
二、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
如图3所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动.g取10 m/s2，问：(结果均保留三位有效数字)
图3
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动？
(2)此时绳子的张力为多大？
答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.
(1)对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2r
r＝L′＋Lsin 45°
联立并将数值代入可得
ω≈6.44 rad/s
(2)FT＝eq \f(mg,cs 45°)≈4.24 N.
针对训练1 如图4所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)( )
图4
A.meq \r(g2＋\f(v2,R)2) B.meq \r(\f(v2,R)2－g2)
C.meq \f(v2,R) D.mg
答案 A
解析 对老鹰进行受力分析如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知，力F沿水平方向的分力F1提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力F2与重力平衡，故F1＝eq \f(mv2,R)，F2＝mg，则F＝eq \r(F\\al( 2,2)＋F\\al( 2,1))＝eq \r(mg2＋m\f(v2,R)2)＝meq \r(g2＋\f(v2,R)2)，A正确.
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
如图6所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
图6
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误.
针对训练2 (2019·莲塘第一中学期中)如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小.在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是( )
答案 C
解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故合力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确，B错误.
1.(向心力的理解)(多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是( )
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D.向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
答案 ACD
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的几个力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，B错误；向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，A、C、D正确.
2.(一般曲线运动分析)(2018·绵阳高一检测)如图7所示，小鸟沿图中虚线向上加速飞行，空气对其作用力可能是( )
图7
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
答案 D
3.(向心力公式的应用)(2019·棠湖中学高一质检)如图8所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向上做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
图8
A.螺丝帽在重力和摩擦力作用下处于平衡状态
B.螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C.此时手转动塑料管的角速度ω＝eq \r(\f(g,μr))
D.若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管向下运动
答案 C
解析 螺丝帽恰好不下滑，则有μFN＝mg
螺丝帽做匀速圆周运动，塑料管的弹力FN提供向心力，即弹力方向指向圆心，则FN＝mω2r，
联立解得ω＝eq \r(\f(g,μr))，故C正确.
4.(向心力公式的应用)(2019·南阳市高一下学期期末)如图9所示，长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的小钉子A，小球从一定高度摆下，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置距小球eq \f(L,4)，则细绳碰到钉子前、后瞬间( )
图9
A.绳对小球的拉力大小之比为1∶4
B.小球所受合外力大小之比为1∶4
C.小球做圆周运动的线速度大小之比为1∶4
D.小球做圆周运动的角速度之比为4∶1
答案 B
解析 细绳碰到钉子前、后瞬间线速度大小不变，即线速度大小之比为1∶1；半径变小，根据v＝ωr得知，角速度之比为1∶4，故C、D错误.根据F合＝F－mg＝meq \f(v2,r)，则合外力之比为1∶4，选项B正确；拉力F＝mg＋meq \f(v2,r)，可知拉力之比eq \f(F1,F2)＝eq \f(g＋\f(v2,L),g＋\f(4v2,L))＝eq \f(gL＋v2,gL＋4v2)≠eq \f(1,4)，选项A错误.
5.(向心力公式的应用)如图10所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的( )
图10
A.向心力大小相同
B.运动周期不同
C.运动线速度大小相同
D.运动角速度相同
答案 D
解析 对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力：F＝mgtan θ，①
θ不同，则F大小不同，故A错误；
由向心力公式得：F＝mω2r，②
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan θ，③
由①②③得，ω＝eq \r(\f(g,h))，可知角速度与绳子的长度和转动半径无关，两球角速度相同，故D正确；又由T＝eq \f(2π,ω)可知两球运动周期相同，故B错误；由v＝ωr可知，两球转动半径不等，线速度大小不同，故C错误.
考点一 向心力的概念及其来源分析
1.(多选)关于使物体做圆周运动的向心力，下列说法正确的是( )
A.做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力一定是物体所受的合外力
D.向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
答案 BD
2.(2018·牡丹江一中高一下期中)如图1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A.受重力、支持力
B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C.受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力和向心力
D.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
答案 B
解析 物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力，所以B选项是正确的，A、C、D错误.
3.(2019·安徽宣城三校高一下期中联考)如图2所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点.则小球在竖直面内摆动的过程中，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
图2
A.小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合外力为零
C.小球在最低点C所受的合外力为向心力
D.小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为细绳的拉力
答案 C
解析 小球在摆动过程中受到的合外力只有在小球运动到C点时全部充当向心力，故A错误，C正确；小球运动到最高点时，虽然小球的速度为零，但小球受到的合外力不为零，故B错误；小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为重力垂直于细绳方向的分力，故D错误.
4.(多选)(2019·安徽师大附中高一下学期期末)如图3所示，小球m用两根长度相等的细绳系在竖直杆上，细绳不可伸长，当杆旋转时，对小球受力分析正确的是( )
图3
A.受重力、绳的拉力和向心力作用
B.可能受重力、一根绳的拉力共两个力作用
C.可能受重力、两根绳的拉力共三个力作用
D.上面一根绳的拉力总大于小球的重力
答案 BCD
解析 转速较小时，小球受重力和上面一根绳的拉力作用，转速较大时，小球受重力和两根绳的拉力作用，故A错误，B、C正确.只有上面一根绳有拉力时，绳的竖直分力大小等于球的重力；如果两根绳都有拉力，上面绳的竖直分力大小等于球的重力和下面绳拉力的竖直分力之和，所以上面一根绳的拉力一定比球的重力大，故D正确.
考点二 向心力公式的理解及应用
5.一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图4所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
图4
A.μmg B.eq \f(μmv2,R)
C.μm(g＋eq \f(v2,R)) D.μm(g－eq \f(v2,R))
答案 C
解析 在最低点由向心力公式得：FN－mg＝meq \f(v2,R)，得FN＝mg＋meq \f(v2,R)，又由摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋meq \f(v2,R))＝μm(g＋eq \f(v2,R))，C选项正确.
6.(2019·安徽师大附中高一下学期期末)如图5所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动.以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FnA、FnB)和对内壁的压力大小(FNA、FNB)的说法正确的是( )
图5
A.vA>vB B.ωA>ωB
C.FnA>FnB D.FNA>FNB
答案 A
解析 对小球受力分析如图所示，可得FN＝eq \f(mg,sin θ)，Fn＝eq \f(mg,tan θ)，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到支持力的大小都相同，故C、D错误；由向心力的公式Fn＝meq \f(v2,r)可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误.
7.(多选)如图6所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，运动员转动的周期T＝2 s，重力加速度为g，估算该女运动员( )
图6
A.受到的拉力为eq \r(3)mg
B.受到的拉力为2mg
C.做圆周运动的半径为eq \f(\r(3)g,π2)
D.做圆周运动的半径为eq \f(\r(3)g,3π2)
答案 BC
解析 设女运动员受到的拉力为F，分析女运动员受力情况可知，Fsin 30°＝mg，Fcs 30°＝meq \f(4π2,T2)r，可得：F＝2mg，r＝eq \f(\r(3)g,π2)，故B、C正确.
考点三 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
8.“歼20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图7中虚曲线是某次“歼20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是( )
图7
A.沿F1方向 B.沿F2方向
C.沿F3方向 D.沿F4方向
答案 C
解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有F3符合题意.
9.如图8，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针).某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
图8
答案 C
解析 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增大，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.
10.(2019·重庆十一中高一下期中)如图9所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止.当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
图9
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
答案 D
解析 容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确.
11.(多选)(2019·北京十二中期末)如图10所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆).现使小球在一个更高一些的水平面内做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是( )
图10
A.小球P运动的周期变大
B.小球P运动的线速度变大
C.小球P运动的角速度变小
D.金属块Q受到桌面的支持力不变
答案 BD
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ(θ＝90°)，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L.小球P做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，周期T＝eq \f(2π,ω)＝2πeq \r(\f(Lcs θ,g))，线速度大小v＝rω＝Lsin θ·eq \r(\f(g,Lcs θ))＝eq \r(gLtan θsin θ)，小球在一个更高一些的水平面内做匀速圆周运动时，θ增大，则cs θ减小，sin θ、tan θ均增大，故角速度增大，周期减小，线速度变大，选项B正确，A、C错误；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球整体研究，在竖直方向上没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与小球的总重力，保持不变，选项D正确.
12.(多选)如图11所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是( )
图11
A.A、B两球受到的向心力大小之比为2∶1
B.A、B两球角速度之比为1∶1
C.A、B两球运动半径之比为1∶2
D.A、B两球线速度大小之比为1∶2
答案 BCD
解析 两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，因为mA∶mB＝2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确；由v＝rω，可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，D正确.
13.如图12所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比.
图12
答案 3∶2
解析 球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球所受到的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供.
分别隔离A、B受力分析，如图所示.由于A、B放在水平面上，故G＝FN，又有A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得：
对A：FOA－FAB＝mrω2，
对B：FAB′＝2mrω2
又FAB＝FAB′，
联立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2.
14.如图13所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内.已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小.
图13
答案 sin θeq \r(\f(gR,cs θ)) eq \f(mg,cs θ)
解析 小球受力如图所示，
mgtan θ＝eq \f(mv2,r)
r＝Rsin θ
FNcs θ＝mg
联立以上三式解得v＝sin θeq \r(\f(gR,cs θ))
FN＝eq \f(mg,cs θ).
15.如图14所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m.(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图14
(1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝eq \f(5\r(6),3) rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC.
答案 (1)eq \f(5\r(2),2) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
解析 (1)当细线AB刚好被拉直时，AB的拉力为零，AC的拉力和小球重力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mLABω12，又有LAB＝Lsin 37°，
解得ω1＝eq \r(\f(gtan 37°,LAB))＝eq \r(\f(10×\f(3,4),1×\f(3,5))) rad/s＝eq \f(5\r(2),2) rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝eq \f(5\r(6),3) rad/s
LAB＝Lsin 37°
竖直方向上有FTACcs 37°＝mg
水平方向上有FTACsin 37°＋FTAB＝mLABω22
代入数据解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N.序号
1
2
3
4
5
6
Fn
ω
ω2
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
r
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
m
次数
1
2
3
4
5
半径r/mm
50
60
70
80
90
向心力Fn/N
5.46
6.55
7.64
8.74
9.83
次数
1
2
3
4
5
角速度ω/(rad·s－1)
6.8
9.3
11.0
14.4
21.8
向心力Fn/N
0.98
2.27
2.82
4.58
10.81
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fcs θ＝mg,Fsin θ＝mω2lsin θ))
或mgtan θ＝mω2lsin θ
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FNcs θ＝mg,FNsin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F升cs θ＝mg,F升sin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FN＝mg,F拉＝mBg＝mω2r))
1.知道什么是向心力，知道向心力的作用，知道它是根据力的作用效果命名的.2.会分析向心力的来源，掌握向心力的表达式，并能用来进行计算.3.体验向心力的存在，会设计相关实验，探究向心力与物体的质量、速度和轨道半径的关系，体会控制变量法在研究多个物理量关系中的应用.4.知道变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点.
一、向心力
1.定义：做匀速圆周运动的物体所受的合力总指向圆心，这个指向圆心的力叫作向心力.
2.方向：始终沿着半径指向圆心.
3.作用：只改变速度的方向，不改变速度的大小.
4.向心力是根据力的作用效果命名的，它由某个力或者几个力的合力提供.
5.表达式：
(1)Fn＝meq \f(v2,r)
(2)Fn＝mω2r.
二、变速圆周运动和一般的曲线运动
1.变速圆周运动的合力：变速圆周运动的合力产生两个方向的效果，如图1所示.
图1
(1)跟圆周相切的分力Ft：改变线速度的大小.
(2)指向圆心的分力Fn：改变线速度的方向.
2.一般的曲线运动的处理方法
(1)一般的曲线运动：运动轨迹既不是直线也不是圆周的曲线运动.
(2)处理方法：可以把曲线分割为许多很短的小段，每一小段可以看作圆周运动的一部分，分析质点经过曲线上某位置的运动时，可以采用圆周运动的分析方法来处理.
1.判断下列说法的正误.
(1)做匀速圆周运动的物体的向心力是恒力.( × )
(2)向心力和重力、弹力一样，都是根据性质命名的.( × )
(3)向心力可以是物体受到的某一个力，也可以是物体受到的合力.( √ )
(4)变速圆周运动的向心力并不指向圆心.( × )
(5)做变速圆周运动的物体所受合力的大小和方向都改变.( √ )
2.如图2所示，圆柱形转筒绕其竖直中心轴转动，小物体贴在圆筒内壁上随圆筒一起转动而不滑落.则下列说法正确的是( )
图2
A.小物体受到重力、弹力、摩擦力和向心力共4个力的作用
B.小物体随筒壁做圆周运动的向心力是由摩擦力提供的
C.筒壁对小物体的摩擦力随转速增大而增大
D.筒壁对小物体的弹力随转速增大而增大
答案 D
解析 小物体随转筒一起做圆周运动，受重力、弹力和静摩擦力共3个力的作用，故选项A错误.水平方向上，弹力指向圆心，提供向心力，据牛顿第二定律有：FN＝mω2r，又ω＝2πn，可知转速越大，角速度越大，小物体所受的弹力就越大；在竖直方向上，小物体所受的重力和静摩擦力平衡，静摩擦力大小不变，故选项B、C错误，D正确.
第1课时 实验：探究向心力的大小与半径、角速度、质量的关系
探究方案一 用绳和沙袋定性研究
1.实验原理
如图3(a)所示，绳子的一端拴一个小沙袋(或其他小物体)，将手举过头顶，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，此时沙袋所受的向心力近似等于绳对沙袋的拉力.
图3
2.实验步骤
在离小沙袋重心40 cm的地方打一个绳结A，在离小沙袋重心80 cm的地方打另一个绳结B.同学甲看手表计时，同学乙按下列步骤操作：
操作一 手握绳结A，如图(b)所示，使沙袋在水平面内做匀速圆周运动，每秒转动1周.体会此时绳子拉力的大小.
操作二 手仍然握绳结A，但使沙袋在水平面内每秒转动2周，体会此时绳子拉力的大小.
操作三 改为手握绳结B，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
操作四 手握绳结A，换用质量较大的沙袋，使沙袋在水平面内每秒转动1周，体会此时绳子拉力的大小.
(1)通过操作一和二，比较在半径、质量相同的情况下，向心力大小与角速度的关系.
(2)通过操作一和三，比较在质量、角速度相同的情况下，向心力大小与半径的关系.
(3)通过操作一和四，比较在半径、角速度相同的情况下，向心力大小与质量的关系.
3.实验结论：半径越大，角速度越大，质量越大，向心力越大.
探究方案二 用向心力演示器定量探究
1.实验原理
向心力演示器如图4所示，匀速转动手柄1，可使变速塔轮2和3以及长槽4和短槽5随之匀速转动.皮带分别套在塔轮2和3上的不同圆盘上，可使两个槽内的小球分别以几种不同的角速度做匀速圆周运动.小球做圆周运动的向心力由横臂6的挡板对小球的压力提供，球对挡板的反作用力，通过横臂的杠杆使弹簧测力套筒7下降，从而露出标尺8，根据标尺8上露出的红白相间等分标记，可以粗略计算出两个球所受向心力的比值.
图4
2.实验步骤
(1)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动半径和转动角速度相同时，探究向心力与小球质量的关系.
(2)皮带套在塔轮2、3半径相同的圆盘上，小球转动角速度和质量相同时，探究向心力与转动半径的关系.
(3)皮带套在塔轮2、3半径不同的圆盘上，小球质量和转动半径相同时，探究向心力与角速度的关系.
探究方案三 利用力传感器和光电传感器探究
1.实验原理与操作
如图5所示，利用力传感器测量重物做圆周运动的向心力，利用天平、刻度尺、光电传感器分别测量重物的质量m、做圆周运动的半径r及角速度ω.实验过程中，力传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示力的大小.光电传感器与DIS数据分析系统相连，可直接显示挡光杆挡光的时间，由挡光杆的宽度和挡光杆做圆周运动的半径，可得到重物做圆周运动的角速度.
图5
实验时采用控制变量法，分别研究向心力与质量、半径、角速度的关系.
2.实验数据的记录与分析
(1)设计数据记录表格，并将实验数据记录到表格中(表一、表二、表三)
①m、r一定(表一)
②m、ω一定(表二)
③r、ω一定(表三)
(2)数据处理
分别作出Fn－ω、Fn－r、Fn－m的图像，若Fn－ω图像不是直线，可以作Fn－ω2图像.
(3)实验结论：
①在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度的平方成正比.
②在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成正比.
③在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比.
一、定性研究影响向心力大小的因素
如图6甲所示，某实验小组探究影响向心力大小的因素.用细绳系一纸杯(杯中有30 mL的水)，将手举过头顶，使杯在水平面内做圆周运动.
图6
(1)下列说法中正确的是________.
A.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将不变
B.保持质量、绳长不变，增大转速，绳对手的拉力将增大
C.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持质量、角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将增大
(2)如图乙，绳离杯心40 cm处打一结点A,80 cm处打一结点B，学习小组中一位同学手表计时，另一位同学操作.
操作一：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作二：手握绳结B，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
操作三：手握绳结A，使杯在水平面内每秒运动二周，体会向心力的大小.
操作四：手握绳结A，再向杯中添加30 mL的水，使杯在水平面内每秒运动一周，体会向心力的大小.
则：①操作二与一相比较：质量、角速度相同，向心力的大小与转动半径大小有关；
操作三与一相比较：质量、半径相同，向心力的大小与角速度有关；
操作四与一相比较：________________相同，向心力大小与________有关；
②物理学中此种实验方法叫________________法.
③小组总结阶段，在空中甩动，使杯在水平面内做圆周运动的同学谈感受时说：“感觉手腕发酸，感觉力的方向不是指向圆心的向心力而是背离圆心的离心力，跟书上说的不一样”，你认为该同学的说法是否正确，为什么？
答案 (1)BD (2)①角速度、半径 质量
②控制变量
③说法不正确.该同学受力分析的对象是自己的手，我们实验受力分析的对象是纸杯(包括水)，细绳对纸杯(包括水)的拉力提供纸杯(包括水)做圆周运动的向心力，指向圆心.细绳对手的拉力与细绳对纸杯(包括水)的拉力大小相等、方向相反，背离圆心.
二、定量研究影响向心力大小的因素
用如图7所示的装置可以探究做匀速圆周运动的物体需要的向心力的大小与哪些因素有关.
图7
(1)本实验采用的科学方法是________.
A.控制变量法 B.累积法
C.微元法 D.放大法
(2)图示情景正在探究的是________.
A.向心力的大小与半径的关系
B.向心力的大小与线速度大小的关系
C.向心力的大小与角速度的关系
D.向心力的大小与物体质量的关系
(3)通过本实验可以得到的结论是________.
A.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与角速度成正比
B.在质量和半径一定的情况下，向心力的大小与线速度的大小成正比
C.在半径和角速度一定的情况下，向心力的大小与质量成正比
D.在质量和角速度一定的情况下，向心力的大小与半径成反比
答案 (1)A (2)D (3)C
一物理兴趣小组利用学校实验室的数字实验系统探究物体做圆周运动时向心力大小与角速度、半径的关系.在保证重物的质量m和做圆周运动的角速度ω不变的情况下，改变重物做圆周运动的半径r，得到几组向心力大小Fn与半径r的数据，记录到表1中.
表1 向心力Fn与半径r的测量数据
在保证重物的质量m和做圆周运动的半径r不变的情况下，改变重物的角速度ω，得到几组向心力Fn和角速度ω的数据，记录到表2中.
表2 向心力Fn与角速度ω的测量数据
(1)根据上面的测量结果，分别在图8和图9中作出Fn－r图线和Fn－ω图线.
图8
图9
(2)若作出的Fn－ω图线不是直线，可以尝试作Fn－ω2图线，试在图10中作出Fn－ω2图线.
图10
(3)通过以上实验探究可知，向心力与转动半径成________，与角速度的平方成________.
答案 (1)
(2)
(3)正比 正比
1.某同学为感受向心力的大小与哪些因素有关，做了一个小实验：绳的一端拴一小球，手牵着绳在空中甩动，使小球在水平面内做圆周运动(如图11所示)，则下列说法中正确的是( )
图11
A.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将不变
B.保持绳长不变，增大角速度，绳对手的拉力将增大
C.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将不变
D.保持角速度不变，增大绳长，绳对手的拉力将减小
答案 B
2.(多选)(2018·北京市大兴区上学期期末)向心力演示仪可以利用控制变量法探究向心力的大小与质量、角速度和半径之间的关系.它通过皮带传动改变两轮的转速，让两轮上的实心小球(体积相同)同时做圆周运动，然后通过连动装置使安放在圆盘中心套筒中的弹簧产生形变，利用形变大小来反映向心力的大小，形变越大，露出的标尺格数越多.采用如图12所示的实验装置，可以实现的实验目的和观察到的现象是( )
图12
A.控制角速度和半径相同，研究向心力大小与质量的关系
B.控制半径相同，研究向心力大小与角速度大小的关系
C.钢球比铝球的质量大，钢球一侧露出的标尺格数多
D.钢球比铝球的质量大，铝球一侧露出的标尺格数多
答案 AC
3.如图13所示是一种简易的圆周运动向心力演示仪，图中 A、B 为两个穿在水平滑杆上并通过棉线与转轴相连的重锤.试结合下列演示现象，分析影响向心力的因素.
图13
(1)使线长LA＝LB，质量mA＞mB，加速转动横杆.
现象：连接 A的棉线先断.
表明：在半径和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大.
(2)使质量 mA＝mB，线长LA＞LB，加速转动横杆.
现象：连接 A的棉线先断.
表明：在物体质量和角速度一定的条件下，圆周运动所需向心力随________的增大而增大.
(3)对任一次断线过程进行考察.
现象：并不是横杆一开始转动就断线，而是加速了一段时间之后线才断的.
表明：在物体质量和转动半径一定的条件下，圆周运动所需向心力随_________的增大而增大.
答案 (1)物体质量 (2)转动半径 (3)转动角速度
4.如图14甲所示是一个研究向心力与哪些因素有关的DIS实验装置的示意图，其中做匀速圆周运动的圆柱体的质量为m，放置在未画出的圆盘上，圆周轨道的半径为r，力电传感器测定的是向心力，光电传感器测定的是圆柱体的线速度大小，表格中是所得数据，图乙为F－v图像、F－v2图像、F－v3图像.
图14
(1)数据表格和图乙中的三个图像是在用实验探究向心力F和圆柱体线速度大小v的关系时，保持圆柱体质量不变、半径r＝0.1 m的条件下得到的.研究图像后，可得出向心力F和圆柱体线速度大小v的关系式____________________________.
(2)为了研究F与r成反比的关系，实验时除了保持圆柱体质量不变外，还应保持______不变.
(3)若已知向心力公式为F＝meq \f(v2,r)，根据上面的图线可以推算出，本实验中圆柱体的质量为____________.
答案 (1)F＝0.88v2 (2)线速度大小v (3)0.088 kg
解析 (1)研究数据表格和题图乙中B图不难得出F∝v2，进一步研究知题图乙B中图线的斜率k＝eq \f(ΔF,Δv2)≈0.88，故F与v的关系式为F＝0.88v2.
(2)还应保持线速度大小v不变.
(3)因F＝meq \f(v2,r)＝0.88v2，r＝0.1 m，则m＝0.088 kg.
第2课时 向心力的分析和公式的应用
一、向心力的理解及来源分析
导学探究
1.如图1所示，用细绳拉着质量为m的小球在光滑水平面上做匀速圆周运动.
图1
(1)小球受哪些力作用？什么力提供了向心力？合力指向什么方向？
(2)若小球的线速度为v，运动半径为r，合力的大小是多少？
答案 (1)小球受到重力、支持力和绳的拉力，绳的拉力提供了向心力，合力等于绳的拉力，方向指向圆心.
(2)合力的大小F＝meq \f(v2,r).
2.若月球(质量为m)绕地球做匀速圆周运动，其角速度为ω，月地距离为r.月球受什么力作用？什么力提供了向心力？该力的大小、方向如何？
答案 月球受到地球的引力作用，地球对月球的引力提供了月球绕地球做圆周运动的向心力，其大小Fn＝mω2r，方向指向地球球心.
知识深化
1.对向心力的理解
(1)向心力大小：Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,T)))2r.
(2)向心力的方向
无论是否为匀速圆周运动，其向心力总是沿着半径指向圆心，方向时刻改变，故向心力是变力.
(3)向心力的作用效果——改变线速度的方向.由于向心力始终指向圆心，其方向与物体运动方向始终垂直，故向心力不改变线速度的大小.
2.向心力的来源分析
向心力是根据力的作用效果命名的.它可以由重力、弹力、摩擦力等各种性质的力提供，也可以由它们的合力提供，还可以由某个力的分力提供.
(1)当物体做匀速圆周运动时，由于物体线速度大小不变，沿切线方向的合外力为零，物体受到的合外力一定指向圆心，以提供向心力.
(2)当物体做非匀速圆周运动时，其向心力为物体所受的合外力在半径方向上的分力，而合外力在切线方向的分力则用于改变线速度的大小.
关于向心力的说法中正确的是( )
A.物体由于做圆周运动而产生了向心力
B.向心力不改变圆周运动中物体线速度的大小
C.对做匀速圆周运动的物体进行受力分析时，一定不要漏掉向心力
D.做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的
答案 B
解析 向心力是物体做圆周运动的原因，故A错误；因向心力始终垂直于线速度方向，所以它不改变线速度的大小，只改变线速度的方向，当合外力完全提供向心力时，物体就做匀速圆周运动，该合力大小不变，方向时刻改变，即向心力是变力，故B正确，D错误；向心力是根据力的作用效果命名的，它可能是某种性质的力，也可能是某个力的分力或几个力的合力，受力分析时不能加入向心力，故C错误.
(多选)如图2所示，用长为L的细线拴住一个质量为M的小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，细线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g，关于小球的受力情况，下列说法中正确的是( )
图2
A.小球受到重力、细线的拉力和向心力三个力
B.向心力是细线对小球的拉力和小球所受重力的合力
C.向心力的大小等于细线对小球拉力的水平分力
D.向心力的大小等于Mgtan θ
答案 BCD
二、匀速圆周运动问题分析
1.匀速圆周运动问题的求解方法
圆周运动问题仍属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况.
解答有关匀速圆周运动问题的一般方法步骤：
(1)确定研究对象、轨迹圆周(含圆心、半径和轨道平面).
(2)受力分析，确定向心力的大小(合成法、正交分解法等).
(3)根据向心力公式列方程，必要时列出其他相关方程.
(4)统一单位，代入数据计算，求出结果或进行讨论.
2.几种常见的匀速圆周运动实例
如图3所示，已知绳长为L＝20 cm，水平杆长为L′＝0.1 m，小球质量m＝0.3 kg，整个装置可绕竖直轴转动.g取10 m/s2，问：(结果均保留三位有效数字)
图3
(1)要使绳子与竖直方向成45°角，试求该装置必须以多大的角速度转动？
(2)此时绳子的张力为多大？
答案 (1)6.44 rad/s (2)4.24 N
解析 小球绕竖直轴做圆周运动，其轨道平面在水平面内，对小球受力分析如图所示，设绳对小球拉力为FT，小球重力为mg，则绳的拉力与重力的合力提供小球做圆周运动的向心力.
(1)对小球利用牛顿第二定律可得：
mgtan 45°＝mω2r
r＝L′＋Lsin 45°
联立并将数值代入可得
ω≈6.44 rad/s
(2)FT＝eq \f(mg,cs 45°)≈4.24 N.
针对训练1 如图4所示，一只质量为m的老鹰，以速率v在水平面内做半径为R的匀速圆周运动，则空气对老鹰的作用力的大小等于(重力加速度为g)( )
图4
A.meq \r(g2＋\f(v2,R)2) B.meq \r(\f(v2,R)2－g2)
C.meq \f(v2,R) D.mg
答案 A
解析 对老鹰进行受力分析如图所示，老鹰受到重力mg、空气对老鹰的作用力F.由题意可知，力F沿水平方向的分力F1提供老鹰做圆周运动的向心力，且其沿竖直方向的分力F2与重力平衡，故F1＝eq \f(mv2,R)，F2＝mg，则F＝eq \r(F\\al( 2,2)＋F\\al( 2,1))＝eq \r(mg2＋m\f(v2,R)2)＝meq \r(g2＋\f(v2,R)2)，A正确.
三、变速圆周运动和一般的曲线运动
导学探究
用绳拴一沙袋，使沙袋在光滑水平面上做变速圆周运动，如图5所示.
图5
(1)分析绳对沙袋的拉力的作用效果.
(2)沙袋的速度大小如何变化？为什么？
答案 (1)绳对沙袋的拉力方向不经过圆心，即不与沙袋的速度方向垂直，而是与沙袋的速度方向成一锐角θ，如题图所示，拉力F有两个作用效果，一是改变线速度的大小，二是改变线速度的方向.
(2)由于拉力F沿切线方向的分力与v一致，故沙袋的速度增大.
知识深化
1.变速圆周运动
(1)受力特点：变速圆周运动中合力不指向圆心，合力F产生改变线速度大小和方向两个作用效果.
(2)某一点的向心力仍可用公式Fn＝meq \f(v2,r)＝mω2r求解.
2.一般的曲线运动
曲线轨迹上每一小段看成圆周运动的一部分，在分析其速度大小与合力关系时，可采用圆周运动的分析方法来处理.
(1)合外力方向与速度方向夹角为锐角时，速率越来越大.
(2)合外力方向与速度方向夹角为钝角时，力为阻力，速率越来越小.
如图6所示，物块P置于水平转盘上随转盘一起运动，图中c方向沿半径指向圆心，a方向与c方向垂直.当转盘逆时针转动时，下列说法正确的是( )
图6
A.当转盘匀速转动时，P所受摩擦力方向为c
B.当转盘匀速转动时，P不受转盘的摩擦力
C.当转盘加速转动时，P所受摩擦力方向可能为a
D.当转盘减速转动时，P所受摩擦力方向可能为b
答案 A
解析 转盘匀速转动时，物块P所受的重力和支持力平衡，摩擦力提供其做匀速圆周运动的向心力，故摩擦力方向指向圆心O点，A项正确，B项错误；当转盘加速转动时，物块P做加速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有指向a方向的切向力，使线速度大小增大，故摩擦力可能沿b方向，不可能沿a方向，C项错误；当转盘减速转动时，物块P做减速圆周运动，不仅有沿c方向指向圆心的向心力，还有与a方向相反的切向力，使线速度大小减小，故摩擦力可能沿d方向，不可能沿b方向，D项错误.
针对训练2 (2019·莲塘第一中学期中)如图所示，在“神舟十一号”沿曲线从M点到N点的飞行过程中，速度逐渐减小.在此过程中“神舟十一号”所受合力F的方向可能是( )
答案 C
解析 做曲线运动的物体所受合力的方向总是指向曲线凹侧，A、D错误；由于速度逐渐减小，故合力F的方向与速度方向的夹角应大于90°，C正确，B错误.
1.(向心力的理解)(多选)下列关于向心力的叙述中，正确的是( )
A.向心力的方向始终沿着半径指向圆心，所以是一个变力
B.做匀速圆周运动的物体，除了受到别的物体对它的作用力外，还一定受到一个向心力的作用
C.向心力可以是重力、弹力、摩擦力中的某个力，也可以是这些力中某几个力的合力，或者是某一个力的分力
D.向心力只改变物体线速度的方向，不改变物体线速度的大小
答案 ACD
解析 向心力是根据力的作用效果来命名的，它可以是物体受到的几个力的合力，也可以是某一个力的分力，因此，在进行受力分析时，不能再分析向心力，B错误；向心力时刻指向圆心，与线速度方向垂直，所以向心力只改变线速度方向，不改变线速度大小，A、C、D正确.
2.(一般曲线运动分析)(2018·绵阳高一检测)如图7所示，小鸟沿图中虚线向上加速飞行，空气对其作用力可能是( )
图7
A.F1 B.F2
C.F3 D.F4
答案 D
3.(向心力公式的应用)(2019·棠湖中学高一质检)如图8所示，某同学用硬塑料管和一个质量为m的铁质螺丝帽研究匀速圆周运动，将螺丝帽套在塑料管上，手握塑料管使其保持竖直并在水平方向上做半径为r的匀速圆周运动，则只要运动角速度合适，螺丝帽恰好不下滑，假设螺丝帽与塑料管间的动摩擦因数为μ，认为最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力.重力加速度为g，则在该同学手转塑料管使螺丝帽恰好不下滑时，下列分析正确的是( )
图8
A.螺丝帽在重力和摩擦力作用下处于平衡状态
B.螺丝帽受到塑料管的弹力方向水平向外，背离圆心
C.此时手转动塑料管的角速度ω＝eq \r(\f(g,μr))
D.若塑料管的转动加快，螺丝帽有可能相对塑料管向下运动
答案 C
解析 螺丝帽恰好不下滑，则有μFN＝mg
螺丝帽做匀速圆周运动，塑料管的弹力FN提供向心力，即弹力方向指向圆心，则FN＝mω2r，
联立解得ω＝eq \r(\f(g,μr))，故C正确.
4.(向心力公式的应用)(2019·南阳市高一下学期期末)如图9所示，长为L的细绳一端固定于O点，另一端系一个小球，在O点的正下方钉一个光滑的小钉子A，小球从一定高度摆下，当细绳与钉子相碰时，钉子的位置距小球eq \f(L,4)，则细绳碰到钉子前、后瞬间( )
图9
A.绳对小球的拉力大小之比为1∶4
B.小球所受合外力大小之比为1∶4
C.小球做圆周运动的线速度大小之比为1∶4
D.小球做圆周运动的角速度之比为4∶1
答案 B
解析 细绳碰到钉子前、后瞬间线速度大小不变，即线速度大小之比为1∶1；半径变小，根据v＝ωr得知，角速度之比为1∶4，故C、D错误.根据F合＝F－mg＝meq \f(v2,r)，则合外力之比为1∶4，选项B正确；拉力F＝mg＋meq \f(v2,r)，可知拉力之比eq \f(F1,F2)＝eq \f(g＋\f(v2,L),g＋\f(4v2,L))＝eq \f(gL＋v2,gL＋4v2)≠eq \f(1,4)，选项A错误.
5.(向心力公式的应用)如图10所示，两个质量相同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做同方向的匀速圆周运动，则它们的( )
图10
A.向心力大小相同
B.运动周期不同
C.运动线速度大小相同
D.运动角速度相同
答案 D
解析 对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力，绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力；将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得合力：F＝mgtan θ，①
θ不同，则F大小不同，故A错误；
由向心力公式得：F＝mω2r，②
设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htan θ，③
由①②③得，ω＝eq \r(\f(g,h))，可知角速度与绳子的长度和转动半径无关，两球角速度相同，故D正确；又由T＝eq \f(2π,ω)可知两球运动周期相同，故B错误；由v＝ωr可知，两球转动半径不等，线速度大小不同，故C错误.
考点一 向心力的概念及其来源分析
1.(多选)关于使物体做圆周运动的向心力，下列说法正确的是( )
A.做匀速圆周运动的物体，因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力
B.因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小
C.向心力一定是物体所受的合外力
D.向心力是沿着半径指向圆心方向的合力，是根据力的作用效果命名的
答案 BD
2.(2018·牡丹江一中高一下期中)如图1所示，小物块A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，关于A的受力情况，下列说法正确的是( )
图1
A.受重力、支持力
B.受重力、支持力和指向圆心的摩擦力
C.受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力和向心力
D.受重力、支持力和与运动方向相反的摩擦力
答案 B
解析 物块A随圆盘一起做匀速圆周运动，受重力、支持力和指向圆心的静摩擦力，重力和支持力平衡，靠静摩擦力提供向心力，所以B选项是正确的，A、C、D错误.
3.(2019·安徽宣城三校高一下期中联考)如图2所示，轻质且不可伸长的细绳一端系一质量为m的小球，另一端固定在天花板上的O点.则小球在竖直面内摆动的过程中，不计空气阻力，以下说法正确的是( )
图2
A.小球在摆动过程中受到的外力的合力即为向心力
B.在最高点A、B，因小球的速度为零，所以小球受到的合外力为零
C.小球在最低点C所受的合外力为向心力
D.小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为细绳的拉力
答案 C
解析 小球在摆动过程中受到的合外力只有在小球运动到C点时全部充当向心力，故A错误，C正确；小球运动到最高点时，虽然小球的速度为零，但小球受到的合外力不为零，故B错误；小球在摆动过程中使其速率发生变化的力为重力垂直于细绳方向的分力，故D错误.
4.(多选)(2019·安徽师大附中高一下学期期末)如图3所示，小球m用两根长度相等的细绳系在竖直杆上，细绳不可伸长，当杆旋转时，对小球受力分析正确的是( )
图3
A.受重力、绳的拉力和向心力作用
B.可能受重力、一根绳的拉力共两个力作用
C.可能受重力、两根绳的拉力共三个力作用
D.上面一根绳的拉力总大于小球的重力
答案 BCD
解析 转速较小时，小球受重力和上面一根绳的拉力作用，转速较大时，小球受重力和两根绳的拉力作用，故A错误，B、C正确.只有上面一根绳有拉力时，绳的竖直分力大小等于球的重力；如果两根绳都有拉力，上面绳的竖直分力大小等于球的重力和下面绳拉力的竖直分力之和，所以上面一根绳的拉力一定比球的重力大，故D正确.
考点二 向心力公式的理解及应用
5.一质量为m的物体，沿半径为R的向下凹的半圆形轨道滑行，如图4所示，经过最低点时的速度为v，物体与轨道之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g，则它在最低点时受到的摩擦力为( )
图4
A.μmg B.eq \f(μmv2,R)
C.μm(g＋eq \f(v2,R)) D.μm(g－eq \f(v2,R))
答案 C
解析 在最低点由向心力公式得：FN－mg＝meq \f(v2,R)，得FN＝mg＋meq \f(v2,R)，又由摩擦力公式有Ff＝μFN＝μ(mg＋meq \f(v2,R))＝μm(g＋eq \f(v2,R))，C选项正确.
6.(2019·安徽师大附中高一下学期期末)如图5所示，竖直固定的锥形漏斗内壁是光滑的，内壁上有两个质量相等的小球A和B，在各自不同的水平面内做匀速圆周运动.以下关于A、B两球做圆周运动时的线速度大小(vA、vB)、角速度(ωA、ωB)、向心力大小(FnA、FnB)和对内壁的压力大小(FNA、FNB)的说法正确的是( )
图5
A.vA>vB B.ωA>ωB
C.FnA>FnB D.FNA>FNB
答案 A
解析 对小球受力分析如图所示，可得FN＝eq \f(mg,sin θ)，Fn＝eq \f(mg,tan θ)，由于两个小球的质量相同，并且都是在水平面内做匀速圆周运动，即θ相同，所以两个小球的向心力大小和受到支持力的大小都相同，故C、D错误；由向心力的公式Fn＝meq \f(v2,r)可知，半径大的，线速度大，所以vA>vB，故A正确；由向心力的公式Fn＝mω2r可知，半径大的，角速度小，所以ωA<ωB，故B错误.
7.(多选)如图6所示，在双人花样滑冰运动中，有时会看到被男运动员拉着的女运动员离开地面在空中做圆锥摆运动的精彩场面，目测质量为m的女运动员做圆锥摆运动时和水平冰面的夹角约为30°，运动员转动的周期T＝2 s，重力加速度为g，估算该女运动员( )
图6
A.受到的拉力为eq \r(3)mg
B.受到的拉力为2mg
C.做圆周运动的半径为eq \f(\r(3)g,π2)
D.做圆周运动的半径为eq \f(\r(3)g,3π2)
答案 BC
解析 设女运动员受到的拉力为F，分析女运动员受力情况可知，Fsin 30°＝mg，Fcs 30°＝meq \f(4π2,T2)r，可得：F＝2mg，r＝eq \f(\r(3)g,π2)，故B、C正确.
考点三 变速圆周运动和一般曲线运动的受力特点
8.“歼20”是我国自主研发的一款新型隐形战机，图7中虚曲线是某次“歼20”离开跑道加速起飞的轨迹，虚直线是曲线上过飞机所在位置的切线，则空气对飞机作用力的方向可能是( )
图7
A.沿F1方向 B.沿F2方向
C.沿F3方向 D.沿F4方向
答案 C
解析 飞机向上加速，空气作用力与重力的合力应指向曲线的凹侧，同时由于飞机加速起飞，故空气对飞机的作用力与速度的夹角应为锐角，故只有F3符合题意.
9.如图8，一水平圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针).某段时间内圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是( )
图8
答案 C
解析 橡皮块做加速圆周运动，合力不指向圆心，但一定指向圆周的内侧；由于做加速圆周运动，速度不断增大，故合力与速度的夹角小于90°，故选C.
10.(2019·重庆十一中高一下期中)如图9所示，一圆柱形容器绕其轴线匀速转动，内部有A、B两个物体，均与容器的接触面始终保持相对静止.当转速增大后(A、B与容器接触面间仍相对静止)，下列说法正确的是( )
图9
A.两物体受到的摩擦力都增大
B.两物体受到的摩擦力大小都不变
C.物体A受到的摩擦力增大，物体B受到的摩擦力大小不变
D.物体A受到的摩擦力大小不变，物体B受到的摩擦力增大
答案 D
解析 容器绕其轴线转动时，两个物体随容器一起转动，以A为研究对象，在水平方向上，容器施加的弹力提供A做圆周运动的向心力；在竖直方向上，重力和静摩擦力平衡，所以当转速增大后，物体A受到的摩擦力大小保持不变；以B为研究对象，水平方向的静摩擦力提供向心力，由Ff＝Fn＝mω2r知其受到的摩擦力随着转速的增大而增大，故D正确.
11.(多选)(2019·北京十二中期末)如图10所示，一根细线下端拴一个金属小球P，细线的上端固定在金属块Q上，Q放在带小孔的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(即圆锥摆).现使小球在一个更高一些的水平面内做匀速圆周运动(图上未画出)，两次金属块Q都保持在桌面上静止，则后一种情况与原来相比较，下列说法正确的是( )
图10
A.小球P运动的周期变大
B.小球P运动的线速度变大
C.小球P运动的角速度变小
D.金属块Q受到桌面的支持力不变
答案 BD
解析 设细线与竖直方向的夹角为θ(θ＝90°)，细线的拉力大小为FT，细线的长度为L.小球P做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，则有mgtan θ＝mω2Lsin θ，得角速度ω＝eq \r(\f(g,Lcs θ))，周期T＝eq \f(2π,ω)＝2πeq \r(\f(Lcs θ,g))，线速度大小v＝rω＝Lsin θ·eq \r(\f(g,Lcs θ))＝eq \r(gLtan θsin θ)，小球在一个更高一些的水平面内做匀速圆周运动时，θ增大，则cs θ减小，sin θ、tan θ均增大，故角速度增大，周期减小，线速度变大，选项B正确，A、C错误；金属块Q保持在桌面上静止，对金属块和小球整体研究，在竖直方向上没有加速度，根据平衡条件可知，Q受到桌面的支持力等于Q与小球的总重力，保持不变，选项D正确.
12.(多选)如图11所示，A、B两球穿过光滑水平杆，两球间用一细绳连接，当该装置绕竖直轴OO′匀速转动时，两球在杆上恰好不发生滑动.若两球质量之比mA∶mB＝2∶1，那么关于A、B两球的下列说法中正确的是( )
图11
A.A、B两球受到的向心力大小之比为2∶1
B.A、B两球角速度之比为1∶1
C.A、B两球运动半径之比为1∶2
D.A、B两球线速度大小之比为1∶2
答案 BCD
解析 两球的向心力都由细绳的拉力提供，大小相等，两球都随杆一起转动，角速度相等，A错误，B正确；设两球的运动半径分别为rA、rB，转动角速度为ω，则mArAω2＝mBrBω2，因为mA∶mB＝2∶1，所以运动半径之比为rA∶rB＝1∶2，C正确；由v＝rω，可知vA∶vB＝rA∶rB＝1∶2，D正确.
13.如图12所示，质量相等的小球A、B分别固定在轻杆的中点及端点，当杆在光滑的水平面上绕O点匀速转动时，求杆的OA段及AB段对球的拉力之比.
图12
答案 3∶2
解析 球所受的重力和水平面的支持力在竖直面内，且是一对平衡力，故球所受到的向心力由杆的OA段和AB段的拉力提供.
分别隔离A、B受力分析，如图所示.由于A、B放在水平面上，故G＝FN，又有A、B固定在同一根轻杆上，所以A、B的角速度相同，设角速度为ω，则由向心力公式可得：
对A：FOA－FAB＝mrω2，
对B：FAB′＝2mrω2
又FAB＝FAB′，
联立三式，解得FOA∶FAB＝3∶2.
14.如图13所示，有一质量为m的小球在光滑的半球形碗内做匀速圆周运动，轨道平面在水平面内.已知小球与半球形碗的球心O的连线跟竖直方向的夹角为θ，半球形碗的半径为R，重力加速度为g，求小球做匀速圆周运动的速度大小及碗壁对小球的弹力大小.
图13
答案 sin θeq \r(\f(gR,cs θ)) eq \f(mg,cs θ)
解析 小球受力如图所示，
mgtan θ＝eq \f(mv2,r)
r＝Rsin θ
FNcs θ＝mg
联立以上三式解得v＝sin θeq \r(\f(gR,cs θ))
FN＝eq \f(mg,cs θ).
15.如图14所示装置可绕竖直轴OO′转动，可视为质点的小球A与两细线连接后分别系于B、C两点，当细线AB沿水平方向绷直时，细线AC与竖直方向的夹角θ＝37°.已知小球的质量m＝1 kg，细线AC长L＝1 m.(重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8)
图14
(1)若装置匀速转动，细线AB刚好被拉直成水平状态，求此时的角速度ω1；
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝eq \f(5\r(6),3) rad/s，求细线AB和AC上的张力大小FTAB、FTAC.
答案 (1)eq \f(5\r(2),2) rad/s (2)2.5 N 12.5 N
解析 (1)当细线AB刚好被拉直时，AB的拉力为零，AC的拉力和小球重力的合力提供小球做圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有mgtan 37°＝mLABω12，又有LAB＝Lsin 37°，
解得ω1＝eq \r(\f(gtan 37°,LAB))＝eq \r(\f(10×\f(3,4),1×\f(3,5))) rad/s＝eq \f(5\r(2),2) rad/s
(2)若装置匀速转动的角速度ω2＝eq \f(5\r(6),3) rad/s
LAB＝Lsin 37°
竖直方向上有FTACcs 37°＝mg
水平方向上有FTACsin 37°＋FTAB＝mLABω22
代入数据解得FTAC＝12.5 N，FTAB＝2.5 N.序号
1
2
3
4
5
6
Fn
ω
ω2
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
r
序号
1
2
3
4
5
6
Fn
m
次数
1
2
3
4
5
半径r/mm
50
60
70
80
90
向心力Fn/N
5.46
6.55
7.64
8.74
9.83
次数
1
2
3
4
5
角速度ω/(rad·s－1)
6.8
9.3
11.0
14.4
21.8
向心力Fn/N
0.98
2.27
2.82
4.58
10.81
v/(m·s－1)
1
1.5
2
2.5
3
F/N
0.88
2
3.5
5.5
7.9
图形
受力分析
力的分解方法
满足的方程及向心加速度
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Fcs θ＝mg,Fsin θ＝mω2lsin θ))
或mgtan θ＝mω2lsin θ
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FNcs θ＝mg,FNsin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(F升cs θ＝mg,F升sin θ＝mω2r))
或mgtan θ＝mω2r
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(FN＝mg,F拉＝mBg＝mω2r))
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