某校八年级（上）第二次月考数学试卷

这是一份某校八年级（上）第二次月考数学试卷，共24页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


1. 下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）
A.5，2，3B.10，5，4C.4，8，4D.2，3，4

2. 一个三角形的三个内角中（ ）
A.至少有一个钝角B.至少有一个直角
C.至多有一个锐角D.至少有两个锐角

3. 下列各图中，不是轴对称图形的是（ ）
A.B.
C.D.

4. 点P(2, −3)关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A.(2, 3)B.(−2, −3)C.(−2, 3)D.(−3, 2)

5. 如图，已知∠A=∠D，∠1=∠2，那么要得到△ABC≅△DEF，还应给出的条件是（ ）

A.∠E=∠BB.ED=BCC.AB=EFD.AF=CD

6. 如果一个多边形的内角和与外角和相等，那么这个多边形是（ ）
A.四边形B.五边形C.六边形D.七边形

7. 等腰三角形的一边长是3cm，其中一边长为4cm，其它周长分别为（ ）
A.10cmB.11cm
C.10cm或11cmD.无法确定

8. 如图，在△ABC中，BC=6cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于14cm，则AC的长等于( )

A.12cmB.10cmC.8cmD.6cm

9. 一个多边形的内角和比四边形的内角和多720∘，并且这个多边形的各内角相等，则这个多边形的一个外角是（ ）
A.30∘B.45∘C.60∘D.135∘

10. 在△ABC和△DEF中，已知AB=DE，∠A=∠D，还需具备什么条件①AC=DF，②BC=EF，③∠B=∠E，④∠C=∠F，才能推出△ABC≅△DEF，其中符合条件有（ ）个．
A.1B.2 C.3D.4

11. 如图，在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AD是经过A点的一条直线，且B、C在AD的两侧，BD⊥AD于D，CE⊥AD于E，交AB于点F，CE=10，BD=4，则DE的长为( )

A.6B.5C.4D.8

12. 如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，BE平分∠ABC交AC于F，CE⊥BF于E，EG⊥AB于G，连AE．下列结论：①AB+AF=BC；②BF=2CE；③FC=GE；④∠GEA=∠CBF．其中正确的有( )

A.1B.2C.3D.4
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

锐角三角形的三条高都在________，钝角三角形有________条高在三角形外，直角三角形有两条高恰是它的________．

如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为________cm．


如图，在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，它们相交于点G，AD与BF相交于点H，∠BAC=50∘，∠C=70∘，则∠AHB=________．


如图都是由同样大小的正三角形按一定的规律组成的，其中第1个图形共有1个正三角形，第2个图形中共有5个正三角形，第3个图形中共有13个正三角形…，按照此规律第5个图形中正三角形的个数为________．

三、解答题（共9小题，共72分）

画图：

(1)在图(1)中画出△ABC的边BC上的中线和高以及过顶点A画△ABC的角平分线；

(2)在图(2)中画出△ABC各边上的高．

已知等腰三角形的周长是14cm，底边和腰的比是3:2，求各边的长．

如图，两人从路段AB上一点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地．且DA⊥AB，EB⊥AB．若线段DA=EB相等，则C是路段AB的中点吗？为什么？


如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，BE平分∠B，DF平分∠D，求证：BE // DF．


如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(−5, 3)、B(−2, −2)、C(−3, 4)．

(1)作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；

(2)写出点A关于x轴对称的点A2的坐标________；

(3)△ABC的面积为________．

如图，在等边三角形ABC中，点E、D分别从A、C出发，沿AC，CB方向以相同的速度在线段AC，CB上运动，AD、BE相交于F点．

(1)求证：△ABE≅△CAD；

(2)当E、D运动时，∠BFD大小是否发生改变？若不变求其大小，若改变求其变化范围．

如图(1)，Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足为D．AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F.

(1)求证：CE=CF．

(2)将图(1)中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其它条件不变，如图(2)所示．试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．

D为等边△ABC外一点，且BD=CD，∠BDC=120∘，点M，N分别在AB，AC上，若BM+CN=MN，
求证：

(1)∠MDN=60∘；

(2)作出△DMN的高DH，并证明DH=BD．

如图1，已知线段AC // y轴，点B在第一象限，且AO平分∠BAC，AB交y轴与G，连OB、OC．

(1)判断△AOG的形状，并予以证明；

(2)若点B、C关于y轴对称，求证：AO⊥BO；

(3)在(2)的条件下，如图2，点M为OA上一点，且∠ACM=45∘，BM交y轴于P，若点B的坐标为(3, 1)，求点M的坐标．
参考答案与试题解析
2015-2016学年湖北省孝感市某校八年级（上）第二次月考数学试卷
一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请把答题卡上对应题目的答案标号凃黑.
1.
【答案】
D
【考点】
三角形三边关系
【解析】
根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把三边代入，看是否满足即可．
【解答】
解：A、3+2=5，不能构成三角形；
B、5+4<10，不能构成三角形；
C、4+4=8，不能构成三角形；
D、2+3>4，能构成三角形．
故选D.
2.
【答案】
D
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
此题考查三角形内角和定理，较为容易．
【解答】
解：根据三角形内角和定理，一个三角形的三个内角中至少有两个锐角．
故选D.
3.
【答案】
D
【考点】
轴对称图形
【解析】
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】
解：A、是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选D.
4.
【答案】
B
【考点】
关于x轴、y轴对称的点的坐标
【解析】
根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数解答．
【解答】
解：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，所以点P(2, −3)关于y轴的对称点的坐标是(−2, −3)．
故选B.
5.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
判定△ABC≅△DEF已经具备的条件是∠A=∠D，∠1=∠2，再加上两角的夹边对应相等，就可以利用ASA来判定三角形全等．
【解答】
解：
∵ AF=CD,
∴ AC=DF,
又∵ ∠A=∠D，∠1=∠2,
∴ △ABC≅△DEF,
∴ AC=DF，
∴ AF=CD
故选D．
6.
【答案】
A
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
利用多边形的内角和与外角和公式列出方程，然后解方程即可．
【解答】
解：设多边形的边数为n，根据题意
(n−2)⋅180∘＝360∘，
解得n＝4．
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
三角形三边关系
等腰三角形的判定与性质
【解析】
分别从若底边长为3cm，腰长为4cm与若底边长为4cm，腰长为3cm，去分析求解即可求得答案．
【解答】
解：若底边长为3cm，腰长为4cm，则它周长为：3+4+4=11(cm)；
若底边长为4cm，腰长为3cm，则它周长为：4+3+3=10(cm)；
∴ 它周长分别为：10cm或11cm．
故选C.
8.
【答案】
C
【考点】
线段垂直平分线的性质
【解析】
由AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，根据线段垂直平分线的性质，可得AE=BE，又由△BCE的周长等于14cm，可得AC+BC=14cm，继而求得答案．
【解答】
解：∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE=DE，
∵ △BCE的周长等于14cm，
∴ BC+CE+BE=BC+CE+AE=BC+AC=14cm，
∵ BC=6cm，
∴ AC=8cm．
故选C.
9.
【答案】
B
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
首先由题意得出等量关系，即这个多边形的内角和比四边形的内角和多540∘，由此列出方程解出边数，进一步可求出它每一个内角的度数，即可解答．
【解答】
解：设这个多边形边数为n，则(n−2)⋅180∘=360∘+720∘，
解得：n=8，
∵ 这个多边形的每个内角都相等，
∴ 它每一个内角的度数为1080∘÷8=135∘，
∴ 外角为：180∘−135∘=45∘.
故选B.
10.
【答案】
C
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
根据三角形全等的判定方法，①ASA、②AAS、③SAS、④SSS；
已知AB=DE，∠A=∠D，要使△ABC≅△DEF，还还需具备∠B=∠E，符合①；
或具备∠C=∠F，符合②；或具备AC=DF，符合③．问题解决．
【解答】
解：如图，
∵ AB=DE，∠A=∠D，要使△ABC≅△DEF，
还需∠B=∠E(ASA)；或∠C=∠F(AAS)；或AC=DF(SAS)．
故①③④适合．
故选C.
11.
【答案】
A
【考点】
等腰直角三角形
全等三角形的性质
【解析】
根据∠BAC=90∘，AB=AC，得到∠BAD+∠CAD=90∘，由于CE⊥AD于E，于是得到∠ACE+∠CAE=90∘，根据余角的性质得到∠BAD=∠ACE，推出△ABD≅△ACE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】
解：∵ ∠BAC=90∘，AB=AC，
∴ ∠BAD+∠CAD=90∘，
∵ CE⊥AD于E，
∴ ∠ACE+∠CAE=90∘，
∴ ∠BAD=∠ACE，
在△ABD与△ACE中，
∠D=∠AEC=90∘∠BAD=∠ACEAB=AC，
∴ △BAD≅△ACE(AAS)，
∴ AE=BD=4，AD=CE=10，
∴ DE=AD−AE=6．
故选A.
12.
【答案】
C
【考点】
等腰直角三角形
全等三角形的性质
【解析】
过F作FK⊥BC于K，根据等腰直角三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=45∘，由等腰直角三角形性质得到CK=FK，根据角平分线的性质得到FK=AF，等量代换得到AF=CK，根据全等三角形的性质得到AB=BK，于是得到BC=BK+CK=AB+AF，故①正确，由∠BAC=∠BEC=90∘，推出点A，B，C，E四点共圆，根据圆周角定理得到∠ABF=∠ACE，∠EAC=∠FBC，等量代换得到∠EAC=∠ECA，推出AE=CE，根据直角三角形的性质得到AH=BH=12BF，推出AE=AH=CE，于是得到BF=2CE，故②正确，根据在直角三角形中斜边大于直角边得到AE>GE，CF>CE，于是得到CF>GE，故③错误；由∠G=∠BAC=90∘，推出GE // AC根据平行线的性质得到∠AEG=∠EAC，等量代换得到∠GEA=∠CBF，故④正确．
【解答】
解：过F作FK⊥BC于K，
∵ AB=AC，∠BAC=90∘，
∴ ∠ABC=∠ACB=45∘，
∴ CK=FK，
∵ BE平分∠ABC交AC于F，
∴ FK=AF，
∴ AF=CK，
在Rt△ABF与Rt△KBF中，
AF=KFBF=BF，
∴Rt△ABF ≅Rt△KBF(HL)，
∴ AB=BK，
∴ BC=BK+CK=AB+AF，故①正确；
∵ ∠BAC=∠BEC=90∘，
∴ 点A，B，C，E四点共圆，
∴ ∠ABF=∠ACE，∠EAC=∠FBC，∠ECA=∠EBA，
∴ ∠EAC=∠ECA，
∴ AE=CE，
取BF的中点H，连接AH，
∴ AH=BH=12BF，
∴ ∠HAB=∠HBA，
∴ ∠AHE=∠HAB+∠ABH=45∘，
∵ ∠AEB=∠ACB=45∘，
∴ AE=AH=CE，
∴ BF=2CE，故②正确；
∵ ∠G=∠CEF=90∘，
∴ AE>GE，CF>CE，
∴ CF>GE，故③错误；
∵ ∠G=∠BAC=90∘，
∴ GE // AC，
∴ ∠AEG=∠EAC，
∵ ∠EAC=∠CBF，
∴ ∠GEA=∠CBF，故④正确.
故选C.
二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）
【答案】
三角形内部,两,直角边
【考点】
三角形的角平分线、中线和高
三角形的高
【解析】
根据三角形的高的概念，通过具体作高，发现：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部；钝角三角形有两条高在三角形的外部，一条在内部．
【解答】
解：锐角三角形有三条高，高都在三角形内部，且锐角三角形三条高的交点一定在三角形内部；
钝角三角形有三条高，一条高在三角形内部，另外两条高在三角形外部，
直角三角形有两条高即三角形的两条直角边，一条在内部，三条高的交点在顶点上.
故答案分别是：三角形内部；两；直角边．
【答案】
3
【考点】
翻折变换（折叠问题）
轴对称的性质
【解析】
由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影部分的周长可以转化为三角形ABC的周长．
【解答】
解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，
所以AD=A′D，AE=A′E．
则阴影部分图形的周长等于
BC+BD+CE+A′D+A′E
=BC+BD+CE+AD+AE
=BC+AB+AC
=3cm．
故答案为：3．
【答案】
120∘
【考点】
三角形内角和定理
三角形的角平分线、中线和高
三角形的角平分线
【解析】
根据三角形的内角和得出∠ABC=60∘，再利用角平分线的定义和高的定义解答即可．
【解答】
解：∵ 在△ABC中，∠BAC=50∘，∠C=70∘，
∴ ∠ABC=60∘，
∵ 在△ABC中，AD是高，AE，BF是角平分线，
∴ ∠EAD=90∘−(25∘+60∘)=5∘，
∴ ∠AGH=25∘+30∘=55∘，
∴ ∠AHB=180∘−55∘−5∘=120∘．
故答案为：120∘．
【答案】
45
【考点】
规律型：图形的变化类
【解析】
由题意可知：第1个图形共有1个正三角形，第2个图形中共有22+1=5个正三角形，第3个图形中共有32+1+2+1=13个正三角形，第4个图形中共有42+1+2+3+1+2+1=26个正三角形，第5个图形中共有52+1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=45个正三角形，由此求得答案即可．
【解答】
解：第1个图形共有1个正三角形，
第2个图形中共有22+1=5个正三角形，
第3个图形中共有32+1+2+1=13个正三角形，
第4个图形中共有42+1+2+3+1+2+1=26个正三角形，
第5个图形中共有52+1+2+3+4+1+2+3+1+2+1=45个正三角形．
故答案为：45．
三、解答题（共9小题，共72分）
【答案】
解：(1)如图所示：
BC上的中线为AF，高线为：AD，过顶点A画△ABC的角平分线为：AE；
(2)如图(2)所示：
AD，BE，CF即为所求．
【考点】
作图—复杂作图
【解析】
（1）分别利用三角形高线、角平分线以及中线的作法得出答案；
（2）利用三角形高线的作法得出各边上的高即可．
【解答】
解：(1)如图所示：
BC上的中线为AF，高线为AD，过顶点A画△ABC的角平分线为AE；
(2)如图(2)所示：
AD，BE，CF即为所求．
【答案】
解：由题意得：三边之比为：3:2:2；
14÷(3+2+2)
=14÷7
=2(cm)，
2×3=6(cm)，
2×2=4(cm)．
所以三边长分别为6cm，4cm，4cm．
【考点】
等腰三角形的判定与性质
【解析】
因为等腰三角形的两腰相等，底边与腰的比为3:2，所以三条边的比是3:2:2，用周长除以(3+2+2)即可求出每一份的长度，进一步求出三边的长．
【解答】
解：由题意得：三边之比为：3:2:2；
14÷(3+2+2)
=14÷7
=2(cm)，
2×3=6(cm)，
2×2=4(cm)．
所以三边长分别为6cm，4cm，4cm．
【答案】
解：C是路段AB的中点，
理由：∵ 两人从路段AB上一点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴ DC=EC，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
DA=EBDC=EC，
∴ Rt△ADC≅Rt△BEC(HL)，
∴ AC=BC．
【考点】
全等三角形的应用
全等三角形的性质
【解析】
直接利用已知得出DC=EC，再利用HL定理得出答案．
【解答】
解：C是路段AB的中点，
理由：∵ 两人从路段AB上一点C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，
∴ DC=EC，
在Rt△ADC和Rt△BEC中，
DA=EBDC=EC，
∴ Rt△ADC≅Rt△BEC(HL)，
∴ AC=BC，即C是路段AB的中点.
【答案】
证明：∵ 在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，
∴ ∠ABC+∠ADC=180∘，
∵ BE平分∠B，DF平分∠D，
∴ ∠EBF+∠FDC=90∘，
∵ ∠C=90∘，
∴ ∠DFC+∠FDC=90∘，
∴ ∠EBF=∠DFC，
∴ BE // DF．
【考点】
平行线的判定与性质
角平分线的定义
【解析】
根据角平分线的定义和四边形的内角和进行解答即可．
【解答】
证明：∵ 在四边形ABCD中，∠A=∠C=90∘，
∴ ∠ABC+∠ADC=180∘，
∵ BE平分∠B，DF平分∠D，
∴ ∠EBF+∠FDC=90∘，
∵ ∠C=90∘，
∴ ∠DFC+∠FDC=90∘，
∴ ∠EBF=∠DFC，
∴ BE // DF．
【答案】
解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(−5,−3)
6.5
【考点】
作图-轴对称变换
【解析】
（1）利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（2）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用△ABC所在矩形面积-周围三角形面积进而得出答案．
【解答】
解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；
(2)如图所示：
点A关于x轴对称的点A2的坐标为：(−5, −3)；
(3)△ABC的面积为：
3×6−12×1×2−12×3×5−12×1×6=6.5．
故答案为：6.5.
【答案】
解：(1)∵ △ABC是等边三角形，
∴ AC=AB，∠C=∠BAE=60∘，
∵ 点E、D分别从A、C出发，沿AC，CB方向以相同的速度在线段AC，CB上运动，
∴ BD=CE，
∴ AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CAE=CD，
∴ △ABE≅△CAD(SAS)；
(2)当E、D运动时，∠BFD大小不发生改变，
∵ △ABE≅△CAD，
∴ ∠ABE=∠CAD，
∵ ∠AFE=∠ABE+∠BAF，
∴ ∠AFE=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60∘，
∵ ∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴ ∠BFD=60∘．
【考点】
等边三角形的判定方法
全等三角形的性质
【解析】
（1）由等边三角形ABC可得出的条件是：AB=AC，∠BAC=∠ACB=60∘，可根据SAS证明△ABE≅△CAD；
（2）E、D运动时，∠BFD大小不发生改变，根据△ABE≅△CAD，得到∠ABE=∠CAD，利用外角的性质得到∠AFE=∠ABE+∠BAF，再根据对顶角相等，即可解答．
【解答】
解：(1)∵ △ABC是等边三角形，
∴ AC=AB，∠C=∠BAE=60∘，
∵ 点E、D分别从A、C出发，沿AC，CB方向以相同的速度在线段AC，CB上运动，
∴ BD=CE，
∴ AE=CD，
在△ABE和△CAD中，
AB=AC∠BAE=∠CAE=CD，
∴ △ABE≅△CAD(SAS)；
(2)当E、D运动时，∠BFD大小不发生改变，
∵ △ABE≅△CAD，
∴ ∠ABE=∠CAD，
∵ ∠AFE=∠ABE+∠BAF，
∴ ∠AFE=∠CAD+∠BAF=∠BAC=60∘，
∵ ∠AFE=∠BFD（对顶角相等），
∴ ∠BFD=60∘．
【答案】
(1)证明：∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF=∠EAD，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠CAF+∠CFA=90∘，
∵ CD⊥AB于D，
∴ ∠EAD+∠AED=90∘，
∴ ∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴ ∠CFA=∠CEF，
∴ CE=CF；
(2)猜想：BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵ AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴ D′E′=GE，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACD+∠DCB=90∘
∵ CD⊥AB于D，
∴ ∠B+∠DCB=90∘，
∴ ∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
∠GCE=∠B∠CGE=∠BD′E′GE=D′E′，
∴ △CEG≅△BE′D′(AAS)，
∴ CE=BE′，
由(1)可知CE=CF，
∴ BE′=CF．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰三角形的判定与性质
平移的性质
角平分线的定义
【解析】
（1）根据平分线的定义可知∠CAF=∠EAD，再根据已知条件以及等量代换即可证明CE=CF，
（2）根据题意作辅助线过点E作EG⊥AC于G，根据平移的性质得出D′E′=DE，再根据已知条件判断出△CEG≅△BE′D′，可知CE=BE′，再根据等量代换可知BE′=CF．
【解答】
(1)证明：∵ AF平分∠CAB，
∴ ∠CAF=∠EAD，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠CAF+∠CFA=90∘，
∵ CD⊥AB于D，
∴ ∠EAD+∠AED=90∘，
∴ ∠CFA=∠AED，又∠AED=∠CEF，
∴ ∠CFA=∠CEF，
∴ CE=CF；
(2)解：猜想：BE′=CF．
证明：如图，过点E作EG⊥AC于G，连接EE′，
又∵ AF平分∠CAB，ED⊥AB，EG⊥AC，
∴ ED=EG，
由平移的性质可知：D′E′=DE，
∴ D′E′=GE，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACD+∠DCB=90∘
∵ CD⊥AB于D，
∴ ∠B+∠DCB=90∘，
∴ ∠ACD=∠B，
在△CEG与△BE′D′中，
∠GCE=∠B∠CGE=∠BD′E′GE=D′E′，
∴ △CEG≅△BE′D′(AAS)，
∴ CE=BE′，
由(1)可知CE=CF，
∴ BE′=CF．
【答案】
证明：(1)延长NC到E，使CE=BM，连接DE．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60∘，
∵ BD=CD，∠BDC=120∘，
∴ ∠CBD=∠BCD=30∘，
∴ ∠ABD=∠ACD=90∘，
在直角△BDM和直角△CDE中，
BD=CD∠ABD=∠DCE=90∘BM=CE，
∴ Rt△BDM≅Rt△CDE(SAS)，
∴ DM=DE，∠BDM=∠CDE，
∴ ∠MDE=∠BDC=120∘，
∵ BM+CN=MN，
∴ MN=ME，
在△MDN和△EDN中，
DM=DEDN=DNNM=NE，
∴ △MDN≅△EDN(SSS)，
∴ ∠MDN=∠EDN=12∠MDE=60∘；
(2)如图所示：
∵ △MDN≅△EDN，
∴ ∠MND=∠DNE，
又∵ DH⊥MN，DC⊥AC，
∴ DH=DC，
∵ BD=DC，
∴ DH=BD．
【考点】
等边三角形的判定方法
全等三角形的性质
【解析】
（1）延长NC到E，使CE=BM，连接DE，根据等腰三角形的性质以及等边三角形的性质可以得到△BDM和△CDE都是直角三角形，易证这两个三角形全等，根据全等三角形的性质即可证得；
（2）根据△MDN≅△EDN可以证得∠MND=∠DNE，然后根据角平分线的性质即可证得．
【解答】
证明：(1)延长NC到E，使CE=BM，连接DE．
∵ △ABC是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60∘，
∵ BD=CD，∠BDC=120∘，
∴ ∠CBD=∠BCD=30∘，
∴ ∠ABD=∠ACD=90∘，
在直角△BDM和直角△CDE中，
BD=CD∠ABD=∠DCE=90∘BM=CE，
∴ Rt△BDM≅Rt△CDE(SAS)，
∴ DM=DE，∠BDM=∠CDE，
∴ ∠MDE=∠BDC=120∘，
∵ BM+CN=MN，
∴ MN=ME，
在△MDN和△EDN中，
DM=DEDN=DNNM=NE，
∴ △MDN≅△EDN(SSS)，
∴ ∠MDN=∠EDN=12∠MDE=60∘；
(2)如图所示：
∵ △MDN≅△EDN，
∴ ∠MND=∠DNE，
又∵ DH⊥MN，DC⊥AC，
∴ DH=DC，
∵ BD=DC，
∴ DH=BD．
【答案】
解：(1)△AOG的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵ AC // y轴，
∴ ∠CAO=∠GOA，
∵ AO平分∠BAC，
∴ ∠CAO=∠GAO，
∴ ∠GOA=∠GAO，
∴ AG=OG，
∴ △AOG是等腰三角形；
(2)如图1，接连BC，过O作OE⊥AB于E，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵ B、C关于y轴对称，AC // y轴，
∴ AC⊥BC，
在Rt△COD和Rt△BOE中，
DO=OECO=BO，
∴ △COD≅△BOE(HL)，
∴ ∠DCO=∠EBO，
∴ ∠BAC+∠BOC=180∘，
设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，
∴ 2x+∠BOC=180∘，
又∵ 2y+∠BOC=180∘，
∴ x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴ ∠AOB=∠ACB=90∘，
∴ AO⊥OB；
(3)如图2，连BC，作MF⊥x轴于F，BH⊥x轴于H，
则∠ACB=90∘，
∵ ∠ACM=45∘，
∴ CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，
∴ BM平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，
由(2)可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z
∴ ∠OMB=∠OBM，
∴ OM=OB
∴ △OBM为等腰直角三角形，
∵ ∠MFO=∠BHO=90∘∠FMO=∠BOHOM=OB，
∴ △OMF≅△OBH(AAS)，
∴ OF=BH=1，MF=OH=3，
∴ M(−1, 3)．
【考点】
全等三角形的性质
坐标与图形性质
【解析】
（1）△AOG的形状是等腰三角形，利用已知条件证明AG=OG即可；
（2）接连BC，易证△COD≅△BOE(HL)，设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，利用全等三角形的性质和已知条件证明∠AOB=∠ACB=90∘，即可得到AO⊥BO；
（3）连BC，作MF⊥x轴于F，BH⊥x轴于H，易证△OMF≅△OBH，OF=BH=1，MF=OH=3，所以M(−1, 3)．
【解答】
解：(1)△AOG的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵ AC // y轴，
∴ ∠CAO=∠GOA，
∵ AO平分∠BAC，
∴ ∠CAO=∠GAO，
∴ ∠GOA=∠GAO，
∴ AG=OG，
∴ △AOG是等腰三角形；
(2)如图1，接连BC，过O作OE⊥AB于E，过点C作CD⊥x轴于点D，
∵ B、C关于y轴对称，AC // y轴，
∴ AC⊥BC，
在Rt△COD和Rt△BOE中，
DO=OECO=BO，
∴ △COD≅△BOE(HL)，
∴ ∠DCO=∠EBO，
∴ ∠BAC+∠BOC=180∘，
设∠BAO=∠CAO=x，∠OBC=∠OCB=y，
∴ 2x+∠BOC=180∘，
又∵ 2y+∠BOC=180∘，
∴ x=y，故∠OAC=∠OBC，
∴ ∠AOB=∠ACB=90∘，
∴ AO⊥OB；
(3)如图2，连BC，作MF⊥x轴于F，BH⊥x轴于H，
则∠ACB=90∘，
∵ ∠ACM=45∘，
∴ CM平分∠ACB，又AM平分∠BAC，
∴ BM平分∠ABC，设∠ABM=∠CBM=z，
由(2)可得∠OMB=x+z，∠OBM=y+z=x+z，
∴ ∠OMB=∠OBM，
∴ OM=OB ，
∴ △OBM为等腰直角三角形，
∵ ∠MFO=∠BHO=90∘∠FMO=∠BOHOM=OB，
∴ △OMF≅△OBH(AAS)，
∴ OF=BH=1，MF=OH=3，
∴ M(−1, 3)．