某校八年级（上）月考数学试卷（十二月份）

这是一份某校八年级（上）月考数学试卷（十二月份），共22页。试卷主要包含了精心选一选，相信自己的判断！，细心填一填，试试自己的身手！，用心做一做，显显自己的能力！等内容，欢迎下载使用。


1. 如图，用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，它的一种数学美体现在蝴蝶图案的( )

A.轴对称性B.用字母表示数C.随机性D.数形结合

2. 下列各式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.(a+5)(a−5)=a2−25B.a2−b2=(a+b)(a−b)
C.(a+b)2−1=a2+2ab+b2−1D.a2−4a−5=a(a−4)−5

3. 若一个多边形的每个内角都等于150∘，则这个多边形的边数是（ ）
A.10B.11C.12D.13

4. 现有2cm，4cm，5cm，8cm，9cm长的五根木棒，任意选取三根组成一个三角形，选法种数有( )
A.3种B.4种C.5种D.6种

5. 如图，∠A=50∘，P是等腰△ABC内一点，且∠PBC=∠PCA，则∠BPC为（ ）

A.100∘B.140∘C.130∘D.115∘

6. 下列各式计算正确的是（ ）
A.(a7)2=a9B.a7⋅a2=a14
C.2a2+3a3=5a5D.(ab)3=a3b3

7. 如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=30∘，∠2=50∘，则∠3的度数等于( )

A.50∘B.30∘C.20∘D.15∘

8. 如图，△ABC的两条角平分线BD，CE交于O，且∠A=60∘，则下列结论中不正确的是( )

A.∠BOC=120∘B.BC=BE+CD
C.OD=OED.OB=OC

9. 一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3=50∘，则∠1+∠2=( )

A.90∘B.100∘C.130∘D.180∘

10. 如图，△ABC是等边三角形，AD是角平分线，△ADE是等边三角形，下列结论：①AD⊥BC；②EF=FD；③BE=BD中正确个数为( )

A.3个B.2个C.1个D.0个
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在横线上）

已知2x=4y+1，27y=3x−1，则x−y的值为________．

如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠D，请补充一个条件，使△AOB≅△DOC，你补充的条件是________（填出一个即可）．


仔细观察杨辉三角系数表，按规律写出(a+b)4展开式所缺的系数：
(a+b)=a+b
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=a4+4a3b+________a2b2+4ab3+b4．

已知x=y+95，则代数式x2−2xy+y2−25=________．

已知∠AOB=30∘，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是________三角形．

如图，在直角三角形ABC中，∠C=90∘，AC=10cm，BC=5cm，一条线段PQ=AB，P，Q两点分别在AC和AC的垂线AX上移动，则当AP=________时，才能使△ABC和△APQ全等．

三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分．）

分解因式：
1−x3−2x2−x

21−a2−4b2+4ab．

先化简，再求值：
(1)(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)(a−b)，其中a=12，b=−1．

26x2−(2x−1)(3x−2)+(x+2)(x−2)，其中x=3．

在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为(−4, 5)，(−1, 3)．

1在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；

2作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；

3P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短时的点P，直接写出点P的坐标．

已知x+y=1，xy=−12，求x2+y2和x−y的值．

两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图①所示放置，图②是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连接DC，

1请找出图②中的全等三角形，并给予说明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；

2试说明：DC⊥BE．

如图①，P是等腰三角形ABC底边BC上的一个动点，过点P作BC的垂线，交直线AB于点Q，交CA的延长线于点R．
1请观察AR与AQ，它们有何数量关系？证明你的猜想．

2如果点P沿着底边BC所在的直线，按由C向B的方向运动到CB的延长线上时，1中所得的结论还成立吗？请你在图②中完成图形，并给予证明．

如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90∘，AB=BC，E是AB的中点，CE⊥BD．

1求证：BE=AD；

2求证：AC是线段ED的垂直平分线；

3△DBC是等腰三角形吗？并说明理由．

如图①，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，AC=1，点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，设CD=n．
1当n=1时，EA的延长线交BC的延长线于F，则AF=________；

2当0①设∠CBD=x，用含x的式子表示∠ADE和∠ABE．
②求证：△AEH为等边三角形．
参考答案与试题解析
2016-2017学年湖北省孝感市某校八年级（上）月考数学试卷（12月份）
一、精心选一选，相信自己的判断！（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，不选、错选或选的代号超过一个，一律得0分）
1.
【答案】
A
【考点】
生活中的轴对称现象
【解析】
根据轴对称的定义可以得出，数学美体现在蝴蝶图案的对称性．
【解答】
解：用数学的眼光欣赏这个蝴蝶图案，
它的一种数学美体现在蝴蝶图案的对称性．
故选A．
2.
【答案】
B
【考点】
因式分解的概念
【解析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．
【解答】
解：A、是整式的乘法，故A错误；
B、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B正确；
C、是整式的乘法，故C错误；
D、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D错误；
故选B．
3.
【答案】
C
【考点】
多边形内角与外角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可得：180∘⋅(n−2)=150∘⋅n，
解得n=12．
故多边形的边数是12．
故选C．
4.
【答案】
C
【考点】
三角形三边关系
【解析】
先写出所有的组合情况，再进一步根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【解答】
解：其中的任意三条组合有：
2cm，4cm，5cm；2cm，4cm，9cm；
2cm，4cm，8cm；2cm，5cm，9cm；
2cm，5cm，8cm；2cm，9cm，8cm；
4cm，5cm，9cm；4cm，5cm，8cm；
4cm，9cm，8cm；5cm，9cm，8cm十种情况．
根据三角形的三边关系，其中的
2cm，4cm，5cm；
2cm，9cm，8cm；
4cm，5cm，8cm；
4cm，9cm，8cm；
5cm，9cm，8cm能构成三角形．
故选C．
5.
【答案】
D
【考点】
三角形内角和定理
等腰三角形的判定与性质
等腰三角形的性质
三角形的角平分线
【解析】
根据等腰三角形两底角相等求出∠ACB，然后求出∠PCB+∠PBC=∠ACB，再根据三角形的内角和定理列式计算即可得解．
【解答】
解：∵ ∠A=50∘，△ABC是等腰三角形，
∴ ∠ACB=12(180∘−∠A)=12(180∘−50∘)=65∘，
∵ ∠PBC=∠PCA，
∴ ∠PCB+∠PBC=∠PCB+∠PCA=∠ACB=65∘，
∴ ∠BPC=180∘−(∠PCB+∠PBC)=180∘−65∘=115∘．
故选D．
6.
【答案】
D
【考点】
同底数幂的乘法
幂的乘方与积的乘方
合并同类项
【解析】
A，利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断；
B，利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可做出判断；
C，原式不能合并，错误；
D，利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可做出判断．
【解答】
解：A，(a7)2=a14，本选项错误；
B，a7⋅a2=a9，本选项错误；
C，本选项不能合并，错误；
D，(ab)3=a3b3，本选项正确，
故选D.
7.
【答案】
C
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
首先根据平行线的性质得到∠2的同位角∠4的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解．
【解答】
解：
根据平行线的性质，得∠4=∠2=50∘．
∴ ∠3=∠4−∠1=50∘−30∘=20∘．
故选C．
8.
【答案】
D
【考点】
全等三角形的性质与判定
角平分线的性质
【解析】
根据三角形的内角和等于180∘求出∠ABC+∠ACB=120∘，再根据角平分线的性质求出∠OBC+∠OCB=60∘，然后利用三角形的内角和等于180∘列式计算即可求出∠BOC的度数；
连接OA，作OF⊥AB于点F，OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得OF=OG=OH，从而可得△BOF和△BOH全等，△COG和△COH全等，根据全等三角形对应边相等可得BH=BF，CH=CG，再根据四边形的内角和求出∠FOG=120∘，根据对顶角相等求出∠EOD=120∘，然后推出∠EOF=∠DOG，再利用“角边角”证明△EOF和△DOG全等，根据全等三角形对应边相等可得EF=DG，OD=OE，即可判定出B、C选项都正确，根据等角对等边的性质，只有∠ABC=∠ACB时才能得到OB=OC，所以D选项错误．
【解答】
解：①∵ ∠A=60∘，
∴ ∠ABC+∠ACB=180∘−∠A
=180∘−60∘=120∘，
∵ △ABC的两条角平分线BD，CE交于O，
∴ ∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴ ∠BOC=180∘−(∠OBC+∠OCB)
=180∘−12(∠ABC+∠ACB)=120∘，
故A选项正确；
②如图，连接OA，作OF⊥AB于点F，
OG⊥AC于点G，OH⊥BC于点H，
∵ △ABC的两条角平分线BD，CE交于O，
∴ OF=OG=OH，
利用“HL”可得△BOF≅△BOH，
△COG≅△COH，
∴ BH=BF，CH=CG，
在四边形AFOG中，
∠FOG=360∘−60∘−90∘×2=120∘，
∴ DOG=∠FOG−∠DOF=120∘−∠DOF，
又∵ ∠EOD=∠BOC=120∘，
∴ ∠EOF=∠EOD−∠DOF=120∘−∠DOF，
∴ ∠EOF=∠DOG，
在△EOF和△DOG中，∠EOF=∠DOG,OF=OG,∠EFO=∠DGO=90∘,
∴ △EOF≅△DOG(ASA)，
∴ EF=DG，OD=OE，故C选项正确；
③∴ BC=BH+CH=BF+CG
=BE+EF+CD−DG=BE+CD.
即BC=BE+CD，故B选项正确；
④只有当∠ABC=∠ACB时，
∵ △ABC的两条角平分线BD，CE交于O，
∴ ∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∴ ∠OBC=∠OCB，
∴ OB=OC，
而本题无法得到∠ABC=∠ACB，
所以，OB=OC不正确，故D选项错误．
故选D．
9.
【答案】
B
【考点】
三角形内角和定理
【解析】
设围成的小三角形为△ABC，分别用∠1、∠2、∠3表示出△ABC的三个内角，再利用三角形的内角和等于180∘列式整理即可得解．
【解答】
解：如图，
∠BAC=180∘−90∘−∠1=90∘−∠1，
∠ABC=180∘−60∘−∠3=120∘−∠3，
∠ACB=180∘−60∘−∠2=120∘−∠2，
在△ABC中，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180∘，
∴ 90∘−∠1+120∘−∠3+120∘−∠2=180∘，
∴ ∠1+∠2=150∘−∠3，
∵ ∠3=50∘，
∴ ∠1+∠2=150∘−50∘=100∘．
故选B．
10.
【答案】
A
【考点】
等边三角形的性质
全等三角形的性质
【解析】
根据等腰三角形三线合一，即可一一判断．
【解答】
解：∵ △ABC是等边三角形，△AED是等边三角形，
∴ AB=AC=BC，∠BAC=60∘，AE=AD=ED，∠EAD=60∘，
∵ ∠DAB=∠DAC=30∘，
∴ AD⊥BC，故①正确，
则∠EAB=∠BAD=30∘，
∴ AB⊥ED，EF=DF，故②正确
∴ BE=BD，故③正确，
故选A．
二、细心填一填，试试自己的身手！（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将结果直接填写在横线上）
【答案】
3
【考点】
幂的乘方与积的乘方
【解析】
直接利用幂的乘方运算性质将原式变形，进而得出关于x，y的等式求出答案．
【解答】
解：∵ 2x=4y+1=22y+2，27y=33y=3x−1，
∴ x=2y+2,3y=x−1,
解得：x=4,y=1,
则x−y=4−1=3．
故答案为：3．
【答案】
AB=CD（答案不唯一）
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
添加条件是AB=CD，根据AAS推出两三角形全等即可．
【解答】
解：AB=CD，
理由是：∵ 在△AOB和△DOC中，
∠AOB=∠DOC∠A=∠DAB=CD，
∴ △AOB≅△DOC(AAS)，
故答案为：AB=CD（答案不唯一）．
【答案】
6
【考点】
规律型：数字的变化类
完全平方公式
【解析】
根据杨辉三角，下一行的系数是上一行相邻两系数的和，然后写出各项的系数即可．
【解答】
解：∵ (a+b)=a+b，
(a+b)2=a2+2ab+b2，
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3，
∴ (a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：6．
【答案】
9000
【考点】
因式分解-运用公式法
完全平方公式
【解析】
原式前三项利用完全平方公式分解，将已知等式变形后代入计算即可求出值．
【解答】
解：∵ x=y+95，即x−y=95，
∴ 原式=(x−y)2−25
=(95+5)(95−5)=9000.
故答案为：9000.
【答案】
等边
【考点】
等边三角形的判定
轴对称的性质
【解析】
作出图形，连接OP，根据轴对称的性质可得OP1=OP=OP2，∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，然后求出∠P1OP2=2∠AOB=60∘，再根据有一个角是60∘的等腰三角形是等边三角形判定．
【解答】
解：如图，连接OP，
∵ P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，
∴ OP1=OP，OP=OP2，
∠BOP=∠BOP1，∠AOP=∠AOP2，
∴ OP1=OP2，
∠P1OP2=∠BOP+∠BOP1+∠AOP+∠AOP2
=2∠BOP+2∠AOP=2∠AOB
∵ ∠AOB=30∘，
∴ ∠P1OP2=60∘，又OP1=OP2，
∴ △P1OP2是等边三角形．
故答案为：等边．
【答案】
5cm或10cm
【考点】
全等三角形的判定
【解析】
本题要分情况讨论：①Rt△APQ≅Rt△CBA，此时AP=BC=5cm，可据此求出P点的位置；
②Rt△QAP≅Rt△BCA，此时AP=AC，P、C重合．
【解答】
解：∵ PQ=AB，
∴ 根据三角形全等的判定方法HL可知，
①当P运动到AP=BC时，
△ABC≅△APQ，
即AP=BC=5cm；
②当P运动到与C点重合时，
△APQ≅△ABC，
即AP=AC=10cm．
故答案为：5cm或10cm.
三、用心做一做，显显自己的能力！（本大题共8小题，满分72分．）
【答案】
解：1−x3−2x2−x
=−x(x2+2x+1)
=−x(x+1)2；
21−a2−4b2+4ab
=1−(a2−4ab+4b2)
=1−(a−2b)2
=(1+a−2b)(1−a+2b)．
【考点】
因式分解-分组分解法
提公因式法与公式法的综合运用
【解析】
（1）先提取公因式−x，再根据完全平方公式进行二次分解．完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2；
（2）先后面三项根据完全平方公式因式分解，再根据平方差公式即可求解；
【解答】
解：1−x3−2x2−x
=−x(x2+2x+1)
=−x(x+1)2；
21−a2−4b2+4ab
=1−(a2−4ab+4b2)
=1−(a−2b)2
=(1+a−2b)(1−a+2b)．
【答案】
解：(1)(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)(a−b)
=a2−2ab−b2−a2+b2
=−2ab，
当a=12，b=−1时，
原式=−2×12×(−1)=1；
26x2−(2x−1)(3x−2)+(x+2)(x−2)
=6x2−6x2+4x+3x−2+x2−4
=x2+7x−6，
当x=3时，原式=32+7×3−6=24．
【考点】
整式的混合运算——化简求值
【解析】
（1）先算乘法和除法，再合并同类项，最后代入求出即可；
（2）先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】
解：(1)(a2b−2ab2−b3)÷b−(a+b)(a−b)
=a2−2ab−b2−a2+b2
=−2ab，
当a=12，b=−1时，
原式=−2×12×(−1)=1；
26x2−(2x−1)(3x−2)+(x+2)(x−2)
=6x2−6x2+4x+3x−2+x2−4
=x2+7x−6，
当x=3时，原式=32+7×3−6=24．
【答案】
解：1如图所示；
2由图可知，B′(2, 1)；
3如图所示，点P即为所求点，
设直线A′B1的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵ A′(4, 5)，B1(−2, −1)，
∴ 5=4k+b，−1=−2k+b，解得k=1，b=1，
∴ 直线A′B1的解析式为y=x+1．
∵ 当y=0时，x+1=0，解得x=−1，
∴ P(−1, 0)．
【考点】
轴对称——最短路线问题
作图-轴对称变换
【解析】
（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可；
（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；
（3）作点B关于x轴的对称点B1，连接A′B1交x轴于点P，利用待定系数法求出直线A′B1的解析式，进而可得出P点坐标．
【解答】
解：1如图所示；
2由图可知，B′(2, 1)；
3如图所示，点P即为所求点，
设直线A′B1的解析式为y=kx+b(k≠0)，
∵ A′(4, 5)，B1(−2, −1)，
∴ 5=4k+b，−1=−2k+b，解得k=1，b=1，
∴ 直线A′B1的解析式为y=x+1．
∵ 当y=0时，x+1=0，解得x=−1，
∴ P(−1, 0)．
【答案】
解：∵ x+y=1，xy=−12，
∴ (x+y)2=1，
则x2+y2+2xy=1，
故x2+y2=1−(−24)=25，
(x−y)2=x2+y2−2xy=25−2×(−12)=49，
故x−y=±7．
【考点】
平方差公式
完全平方公式
【解析】
直接利用完全平方公式结合已知将原式变形求出答案．
【解答】
解：∵ x+y=1，xy=−12，
∴ (x+y)2=1，
则x2+y2+2xy=1，
故x2+y2=1−(−24)=25，
(x−y)2=x2+y2−2xy=25−2×(−12)=49，
故x−y=±7．
【答案】
解：1△BAE和△CAD全等.
证明如下：
∵ △ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴ ，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘．
∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
AB=AC,∠BAE=∠DAC,AE=AD,
∴ △BAE≅△CAD(SAS)．
2由1得△BAE≅△CAD．
∴ ∠DCA=∠B=45∘．
∵ ∠BCA=45∘，
∴ ∠BCD=∠BCA+∠DCA=90∘，
∴ DC⊥BE．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
等腰三角形的性质
全等三角形的性质定理
【解析】
①可以找出△BAE≅△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE．
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45∘，则∠BCD=90∘，所以DC⊥BE．
①可以找出△BAE≅△CAD，条件是AB=AC，DA=EA，∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE．
②由①可得出∠DCA=∠ABC=45∘，则∠BCD=90∘，所以DC⊥BE．
【解答】
解：1△BAE和△CAD全等.
证明如下：
∵ △ABC，△DAE是等腰直角三角形，
∴ ，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90∘．
∠BAE=∠DAC=90∘+∠CAE，
在△BAE和△DAC中
AB=AC,∠BAE=∠DAC,AE=AD,
∴ △BAE≅△CAD(SAS)．
2由1得△BAE≅△CAD．
∴ ∠DCA=∠B=45∘．
∵ ∠BCA=45∘，
∴ ∠BCD=∠BCA+∠DCA=90∘，
∴ DC⊥BE．
【答案】
解：1AR=AQ，证明如下：
∵ △ABC是等腰三角形,
∴ AB=AC，∠B=∠C,
又∵ PR⊥BC,
∴ ∠RPC=90∘,
∴ ∠C+∠R=90∘，∠B+∠BQP=90∘,
∵ ∠BQP=∠AQR,
∴ ∠AQR=∠R,
∴ AR=AQ.
2AR=AQ仍然成立：
∵ △ABC是等腰三角形,
∴ AB=AC，∠ABC=∠C,
又∵ PR⊥BC,
∴ ∠RPC=90∘,
∴ ∠C+∠R=90∘，∠PBQ+∠BQP=90∘,
∵ ∠ABC=∠PBQ,
∴ ∠AQR=∠R,
∴ AR=AQ.
【考点】
等腰三角形的判定与性质
【解析】
（1）利用△ABC是等腰三角形，可知AB=AC，∠B=∠C，利用同角的余角相等即可求证∠AQR=∠R，从而可知AR=AQ；
（2）证明方法与（1）类似
【解答】
解：1AR=AQ，证明如下：
∵ △ABC是等腰三角形,
∴ AB=AC，∠B=∠C,
又∵ PR⊥BC,
∴ ∠RPC=90∘,
∴ ∠C+∠R=90∘，∠B+∠BQP=90∘,
∵ ∠BQP=∠AQR,
∴ ∠AQR=∠R,
∴ AR=AQ.
2AR=AQ仍然成立：
∵ △ABC是等腰三角形,
∴ AB=AC，∠ABC=∠C,
又∵ PR⊥BC,
∴ ∠RPC=90∘,
∴ ∠C+∠R=90∘，∠PBQ+∠BQP=90∘,
∵ ∠ABC=∠PBQ,
∴ ∠AQR=∠R,
∴ AR=AQ.
【答案】
证明：1
∵ ∠ABC=90∘，
∴ ∠ABD+∠DBC=90∘，
∵ CE⊥BD，
∴ ∠BCE+∠DBC=90∘，
∴ ∠ABD=∠BCE，
∵ AD // BC，
∴ ∠DAB=∠EBC，
在△DAB和△EBC中，
∠ABD=∠BCE，AB=BC，∠DAB=∠EBC，
∴ △DAB≅△EBC(ASA).
∴ AD=BE.
2∵ E是AB的中点，即AE=BE，
∵ BE=AD，
∴ AE=AD，
又∵ ∠BAD=90∘，
∠BAC=∠DAC=45∘，
∴ △ADE是等腰直角三角形，
∴ AC是∠DAE的角平分线，
∴ AC是线段ED的垂直平分线．
解：3△DBC是等腰三角形,
证明如下：
∵ △DAB≅△EBC，
∴ DB=EC
∵ △AEC≅△ADC，
∴ EC=DC，
∴ DB=DC，
∴ △DBC是等腰三角形．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等腰直角三角形
等腰三角形的判定与性质
全等三角形的性质
【解析】
（1）利用已知条件证明△DAB≅△EBC(ASA)，根据全等三角形的对应边相等即可得到AD=BE；
（2）分别证明AD=AE，CE=CE，根据线段垂直平分线的逆定理即可解答；
（3）△DBC是等腰三角形，由△DAB≅△EBC，得到DB=EC，又有△AEC≅△ADC，得到EC=DC，所以DB=DC，即可解答．
【解答】
证明：1
∵ ∠ABC=90∘，
∴ ∠ABD+∠DBC=90∘，
∵ CE⊥BD，
∴ ∠BCE+∠DBC=90∘，
∴ ∠ABD=∠BCE，
∵ AD // BC，
∴ ∠DAB=∠EBC，
在△DAB和△EBC中，
∠ABD=∠BCE，AB=BC，∠DAB=∠EBC，
∴ △DAB≅△EBC(ASA).
∴ AD=BE.
2∵ E是AB的中点，即AE=BE，
∵ BE=AD，
∴ AE=AD，
又∵ ∠BAD=90∘，
∠BAC=∠DAC=45∘，
∴ △ADE是等腰直角三角形，
∴ AC是∠DAE的角平分线，
∴ AC是线段ED的垂直平分线．
解：3△DBC是等腰三角形,
证明如下：
∵ △DAB≅△EBC，
∴ DB=EC
∵ △AEC≅△ADC，
∴ EC=DC，
∴ DB=DC，
∴ △DBC是等腰三角形．
【答案】
2
2①∵ △BDE是等边三角形，
∴ BE=BD，∠EDB=∠EBD=60∘，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60∘=∠CBD+90∘=x+90∘，
∴ ∠ADE=30∘+x，
∵ ∠HBE+∠ABD=60∘，∠CBD+∠ABD=30∘，
∴ ∠HBE=30∘+∠CBD，
∴ ∠ADE=∠HBE，
∴ ∠ABE=∠ADE=x+30∘；
②在△ADE与△HBE中，
BH=AD,∠HBE=∠ADE,BE=DE,
∴ △ADE≅△HBE(SAS)，
∴ AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴ ∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60∘，
∴ △AEH为等边三角形．
【考点】
全等三角形的性质与判定
等边三角形的判定方法
等边三角形的性质
【解析】
（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60∘，再根据平角等于180∘求出∠FAC=60∘，然后求出∠F=30∘，根据30∘角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；
（2）①根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30∘+∠CBD，又∠HBE=30∘+∠CBD，从而得到∠ADE=∠ABE；②然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60∘，再根据等边三角形的判定即可证明．
【解答】
解：1

∵ △BDE是等边三角形，
∴ ∠EDB=60∘，
∵ ∠ACB=90∘，∠ABC=30∘，
∴ ∠BAC=180∘−90∘−30∘=60∘，
∴ ∠FAC=180∘−60∘−60∘=60∘，
∵ ∠ACB=90∘，
∴ ∠ACF=180∘−90∘=90∘，
∴ ∠F=180∘−90∘−60∘=30∘，
∴ AF=2AC=2×1=2.
故答案为：2.
2①∵ △BDE是等边三角形，
∴ BE=BD，∠EDB=∠EBD=60∘，
在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，
即∠ADE+60∘=∠CBD+90∘=x+90∘，
∴ ∠ADE=30∘+x，
∵ ∠HBE+∠ABD=60∘，∠CBD+∠ABD=30∘，
∴ ∠HBE=30∘+∠CBD，
∴ ∠ADE=∠HBE，
∴ ∠ABE=∠ADE=x+30∘；
②在△ADE与△HBE中，
BH=AD,∠HBE=∠ADE,BE=DE,
∴ △ADE≅△HBE(SAS)，
∴ AE=HE，∠AED=∠HEB，
∴ ∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，
即∠AEH=∠BED=60∘，
∴ △AEH为等边三角形．