高中数学讲义微专题31 解三角形的要素
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一、基础知识：
1、正弦定理：，其中为外接圆的半径
正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行
例如：（1）
（2）（恒等式）
（3）
2、余弦定理：
变式：（1）
① 此公式通过边的大小（角两边与对边）可以判断出是钝角还是锐角
当时，，即为锐角；
当（勾股定理）时，，即为直角；
当时，，即为钝角
② 观察到分式为齐二次分式，所以已知的值或者均可求出
（2） 此公式在已知和时不需要计算出的值，进行整体代入即可
3、三角形面积公式：
（1） （为三角形的底，为对应的高）
（2）
（3） （为三角形内切圆半径，此公式也可用于求内切圆半径）
（4）海伦公式：
（5）向量方法： （其中为边所构成的向量，方向任意）
证明：
，而
坐标表示：，则
4、三角形内角和（两角可表示另一角）。
5、确定三角形要素的条件：
（1）唯一确定的三角形：
① 已知三边（SSS）：可利用余弦定理求出剩余的三个角
② 已知两边及夹角（SAS）：可利用余弦定理求出第三边，进而用余弦定理（或正弦定理）求出剩余两角
③ 两角及一边（AAS或ASA）：利用两角先求出另一个角，然后利用正弦定理确定其它两条边
（2）不唯一确定的三角形
① 已知三个角（AAA）：由相似三角形可知，三个角对应相等的三角形有无数多个。由正弦定理可得：已知三个角只能求出三边的比例：
② 已知两边及一边的对角（SSA）：比如已知，所确定的三角形有可能唯一，也有可能是两个。其原因在于当使用正弦定理求时，，而时，一个可能对应两个角（1个锐角，1个钝角），所以三角形可能不唯一。（判定是否唯一可利用三角形大角对大边的特点，具体可参考例1）
6、解三角形的常用方法：
（1）直接法：观察题目中所给的三角形要素，使用正余弦定理求解
（2）间接法：可以根据所求变量的个数，利用正余弦定理，面积公式等建立方程，再进行求解
7、三角形的中线定理与角平分线定理
（1）三角形中线定理：如图，设为的一条中线，则 （知三求一）
证明：在中
①
②
为中点
①②可得：
（2）角平分线定理：如图，设为中的角平分线，则
证明：过作∥交于
为的角平分线
为等腰三角形
而由可得：
二、典型例题：
例1：（1）的内角所对的边分别为，若，则_____
（2））的内角所对的边分别为，若，则_____
思路：（1）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：。由可得：，所以
答案：
（2）由已知求可联想到使用正弦定理：
代入可解得：，则或，由可得：，所以和均满足条件
答案：或
小炼有话说：对比（1）（2）可发现对于两边及一边的对角，满足条件的三角形可能唯一确定，也有可能两种情况，在判断时可根据“大边对大角”的原则，利用边的大小关系判断出角之间的大小关系，判定出所求角是否可能存在钝角的情况。进而确定是一个解还是两个解。
例2：在中，，若的面积等于，则边长为_________
思路：通过条件可想到利用面积与求出另一条边，再利用余弦定理求出 即可
解：
答案：
例3：（2012课标全国）已知分别为三个内角的对边，且有
（1）求
（2）若，且的面积为，求
（1）思路：从等式入手，观察每一项关于齐次，考虑利用正弦定理边化角：，所涉及式子与关联较大，从而考虑换掉，展开化简后即可求出
解：
即
或（舍）
（2）思路：由（1）可得，再由，可想到利用面积与关于的余弦定理可列出的两个方程，解出即可
解：
可解得
小炼有话说：通过第（1）问可以看出，在遇到关于边角的方程时，可观察边与角正弦中是否具备齐次的特点，以便于进行边角互化。另一方面当角同时出现在方程中时，通常要从所给项中联想到相关两角和差的正余弦公式，然后选择要消去的角
例4：如图，在中，是边上的点，且，则的值为___________
思路：求的值考虑把放入到三角形中，可选的三角形有 和，在中，已知条件有两边，但是缺少一个角（或者边），看能否通过其它三角形求出所需要素，在中，三边比例已知，进而可求出，再利用补角关系求出，从而中已知两边一角，可解出
解：由可设则
在中，
在中，由正弦定理可得：
小炼有话说：（1）在图形中求边或角，要把边和角放入到三角形当中求解，在选择三角形时尽量选择要素多的，并考虑如何将所缺要素利用其它条件求出。
（2）本题中给出了关于边的比例，通常对于比例式可考虑引入一个字母（例如本题中的），这样可以将比例转化为边的具体数值，便于计算
例5：已知中，分别是角所对边的边长，若的面积为，且，则等于___________
思路：由已知可联想到余弦定理关于的内容，而，所以可以得到一个关于的式子，进而求出
解：
而 代入可得：
答案：
例6：在 中，内角所对的边分别为 ，已知的面积为 ， 则的值为 .
思路：已知求可以联想到余弦定理，但要解出的值，所以寻找解出的条件，，而代入可得，再由可得 ，所以
答案：
例7：设的内角所对边的长分别为，若，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
思路：由可得：，从而，解得，从可联想到余弦定理：，所以有，从而再由可得，所以的值为
答案：C
小炼有话说：本题的难点在于公式的选择，以及所求也会让我们想到正弦定理。但是通过尝试可发现利用角进行计算较为复杂。所以在解三角形的题目中，条件的特征决定选择哪种公式入手；如果所给是关于边，角正弦的其次式，可以考虑正弦定理。如果条件中含有角的余弦，或者是边的平方项，那么可考虑尝试余弦定理。
例8：设的内角所对边的长分别为，且，则（ ）
A. B. C. D. 或
思路：由的结构可以联想到余弦定理：，可以此为突破口，即，代入解得：，进而求出，得到比例代入余弦定理可计算出
解：由可得：，
代入到
可得：
例9：已知的三边长为三个连续的自然数，且最大内角是最小内角的2倍，则最小内角的余弦值是（ ）
A. B. C. D.
思路：不妨考虑，将三个边设为，则，想到正弦定理，再将利用余弦定理用边表示，列方程解出，从而求出
解：设，则
代入可得：
，解得：
答案：A
小炼有话说：本题的特色在于如何利用“最大内角是最小内角2倍”这个条件，可联想到正余弦的二倍角公式。本题采用正弦二倍角公式，在加上余弦定理可之间与题目中边的条件找到联系。如果采用余弦二倍角公式，则有，即便使用余弦定理也会导致方程次数过高，不利于求解。
例10：在中，为边上一点，，若的面积为，则_________
思路：要求出，可在中求解，通过观察条件，可从可解，解出，进而求出，再在中解出，从而三边齐备，利用余弦定理可求出
解：
同理
答案：
小炼有话说：（1）本题与例4想法类似，都是把所求要素放入到三角形中，同时要通过条件观察哪个三角形条件比较齐备，可作为入手点解出其他要素
（2）本题还可以利用辅助线简化运算，作于，进而利用在 中得，再用解出
进而，则在上
所以可得：，所以
三、近年好题精选
1、设的内角所对边的长分别为，且，则（ ）
A. B. C. D.
2、设的内角所对边的长分别为，且，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3、在中，为边上一点，，若，则（ ）
A. B. C. D.
4、（2015，北京）在中，，则_______
5、（2015，广东）设的内角的对边分别为，若，则_______
6、（2015，福建）若锐角的面积为，且，则等于_______
答案：7
7、（2015，天津）在中，内角的对边分别为，已知的面积为，，则的值为_________
8、（2014，天津）在中，内角的对边分别为，已知，，则的值为_______
9、（2014，山东）在中，已知，当时，的面积为_____
10、（2014，辽宁）在中，内角的对边分别为，且，已知，求：
（1）的值
（2）的值
11、（2015，陕西）设的内角的对边分别为，向量与平行
（1）求
（2）若，求的面积
12、（2015，新课标II）在中，是上的点，平分，的面积是面积的2倍
（1）求
（2）若，求的长
13、（2015，安徽）在中，，点在边上，，求的长
14、(2015，江苏）在中，已知
（1）求的长
（2）求的值
习题答案：
1、答案：A
解析：
代入可得：
2、答案：D
解析：
3、答案：C
解析：设，则，由余弦定理可得：
，代入可得：
解得：
4、答案：1
解析：
5、答案：1
解析：由及可得：，从而，由正弦定理可得：，
解得
6、答案：7
解析：由，可得：，即，再由余弦定理可计算
7、答案：8
解析：
由余弦定理可得：
8、答案：
解析：由可得代入到即可得到，不妨设，则
9、答案：
解析：
10、解析：由可得：
由余弦定理可得：即
解得：
（2）由可得：
由正弦定理可知：
为锐角
11、解析：（1）
（2）由余弦定理可得：即
12、解析：（1）
（2）
在中，由余弦定理可得：
再由可解得：
13、解析：
由正弦定理可得：
由可知为等腰三角形
由正弦定理可得：
14、解析：（1）由余弦定理可得：
（2）由余弦定理可得：
