4.6考点1 利用正、余弦定理解三角形练习题

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考点1 利用正、余弦定理解三角形
（2018·浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，C．若a＝7，b＝2，A＝60°，则sin B＝________，c＝________.
【解析】如图，由正弦定理asinA＝bsinB，
得sin B＝ba·sin A＝27×32＝217.
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc·cs A，
得7＝4＋c2－4c×cs 60°，
即c2－2c－3＝0，解得c＝3或c＝－1（舍去）．
【答案】217 3
（2018·天津卷（文））在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，C．已知bsin A＝acsB-π6.
（1）求角B的大小；
（2）设a＝2，c＝3，求b和sin（2A－B）的值．
【解析】（1）在△ABC中，
由正弦定理asinA＝bsinB，可得bsin A＝asin
B．
又由bsin A＝acsB-π6，得asin B＝acsB-π6，
即sin B＝csB-π6，可得tan B＝3.
又因为B∈（0，π），所以B＝π3.
（2）在△ABC中，由余弦定理及a＝2，c＝3，B＝π3，
得b2＝a2＋c2－2accs B＝7，故b＝7.
由bsin A＝acsB-π6，可得sin A＝217 .
因为a＜c，所以cs A＝277.
因此sin 2A＝2sin Acs A＝437，
cs 2A＝2cs2A－1＝17.
所以sin（2A－B）＝sin 2Acs B－cs 2Asin B
＝437×12－17×32＝3314.
【答案】见解析
（2018·全国卷Ⅲ（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若△ABC的面积为a2+b2-c24，则C等于（ ）
A．π2
B．π3
C．π4
D．π6
【解析】∵S＝12absin C＝a2+b2-c24＝2abcsC4
＝12abcs C，
∴sin C＝cs C，即tan C＝1.
∵C∈（0，π），∴C＝π4.
【答案】C
（2018·全国Ⅱ卷（文））在△ABC中，cs C2＝55，BC＝1，AC＝5，则AB等于（ ）
A．42 B．30
C．29 D．25
【解析】∵cs C2＝55，
∴cs C＝2cs2C2－1＝2×552－1＝－35.
在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cs C＝52＋12－2×5×1×-35＝32，
∴AB＝32＝42.
【答案】A
（2018·全国Ⅱ卷（文））如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝22，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．
（1）证明：PO⊥平面ABC；
（2）若点M在棱BC上，且MC＝2MB，求点C到平面POM的距离．
【解析】（1）证明 因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，
所以OP⊥AC，且OP＝23.
如图，连接OB．
因为AB＝BC＝22AC，
所以△ABC为等腰直角三角形，
所以OB⊥AC，OB＝12AC＝2.
由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB．
因为OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，OB，AC⊂平面ABC，
所以PO⊥平面ABC．
（2）作CH⊥OM，垂足为H，作CH⊥OM，垂足为H，
又由（1）可得OP⊥CH，
因为OM∩OP＝P，OM，OP⊂平面POM，
所以CH⊥平面POM.
故CH的长为点C到平面POM的距离．
由题意可知OC＝12AC＝2，CM＝23BC＝423，∠ACB＝45°，
所以在△OMC中，由余弦定理可得，OM＝253，
CH＝OC·MCsin∠ACBOM＝455.
所以点C到平面POM的距离为455.
【答案】见解析
（2018·全国Ⅰ卷（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，C．已知bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．
【解析】∵bsin C＋csin B＝4asin Bsin C，
∴由正弦定理得
sin Bsin C＋sin Csin B＝4sin Asin BsinC．
又sin Bsin C＞0，∴sin A＝12.
由余弦定理得cs A＝b2+c2-a22bc＝82bc＝4bc＞0，
∴cs A＝32，bc＝4csA＝833，
∴S△ABC＝12bcsin A＝12×833×12＝233.
【答案】233
（2018·北京卷（文））若△ABC的面积为34（a2＋c2－b2），且∠C为钝角，则∠B＝________；ca的取值范围是________．
【解析】由余弦定理得cs B＝a2+c2-b22ac，
∴a2＋c2－b2＝2accsB．
又∵S＝34（a2＋c2－b2），
∴12acsin B＝34×2accs B，
∴tan B＝3，又∠B∈（0，π），
∴∠B＝π3.
又∵∠C为钝角，∴∠C＝2π3－∠A＞π2，
∴0＜∠A＜π6.
由正弦定理得ca＝sin2π3-∠AsinA
＝32csA+12sinAsinA＝12＋32·1tanA.
∵0＜tan A＜33，∴1tanA＞3，
∴ca＞12＋32×3＝2，
即ca＞2.
∴ca的取值范围是（2，＋∞）．
【答案】π3 （2，＋∞）