专题九导数与极值点偏移

专题九       导数与极值点偏移

例题1．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）（2）当时，设函数的两个零点为，，试证明：.

解：（1）易得函数的定义域为.对函数求导得：.

当时，恒成立，即可知在上单调递增；

当时，当时，，当时，，

故在上单调递增，在上单调递减.

（2）当时，，，

此时在上单调递增，在上单调递减.

，又，，

不妨设，则有，令，，

.

当时，，单调递增，

，，，

又，，

，，在上单调递减，，即.

例题2．已知函数.

（1）求函数的极值；

（2）若函数有两个零点，且，证明：.

解：（1）函数的定义域为，.

当时，，在上是减函数，所以在上无极值；

当时，若，，在上是减函数.

当，，在上是增函数，

故当时，在上的极小值为，无极大值.

（2）当时，，

由（1）知，在上是减函数，在上是增函数，是极值点，

又，为函数零点，所以，要证，只需证.

∵ ，又

∵，∴，

令，则，

∴在上是增函数，∴，∴，

∴，即得证.

例题3．已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若函数的图象与直线交于，两点，记，两点的横坐标分别为，且，证明：.

解：（1），

时，，在递增，

时，令，解得：，令，解得：，

故在递减，在递增；

（2）函数的的导数，若，则，还是单调递增，

则不满足条件，则由得，由得，

即当时，还是取得极小值同时也是最小值

∵有两个根，∴，即，则，即

要证，则只需要又，则只需要证明，即证，

令，，

则，

，

即在上单调递减，

即则命题成立.

例题4．已知函数

（1）若存在极值点1，求的值；

（2）若存在两个不同的零点，求证：

解：(1) ，因为存在极值点为1，所以，即，经检验符合题意，所以.                       

(2)

①当时，恒成立，所以在上为增函数，不符合题意；

②当时，由得，

当时，，所以为增函数，

当时，，所为减函数，

所以当时，取得极小值

又因为存在两个不同零点，所以，即

整理得，

作关于直线的对称曲线，

令

所以在上单调递增，

不妨设，则，

即，

又因为且在上为减函数，

故，即，又，易知成立，

故.

【素养提升】

1. 已知函数，正实数满足.

证明：.[来源:

【解析】由，得

从而，

令，构造函数，

得，可知在上单调递减，在上单调递增，

所以，也即，

解得：.

2.已知函数（），曲线在点处的切线与直线垂直.

（1）试比较与的大小，并说明理由；

（2）若函数有两个不同的零点，证明： .

解析：（1）依题意得，

所以，又由切线方程可得，即，解得

此时， ，

令，即，解得；

令，即，解得

所以的增区间为，减区间为

所以，即，

， .

（2）证明：不妨设因为

所以化简得，

可得， .

要证明，即证明，也就是

因为，所以即证

即，令，则，即证.

令（），由

故函数在是增函数，所以，即得证.

所以.