专题12 导数之极值点偏移（二）（学生版+教师版）

专题11 导数之极值点偏移（二）

一、考情分析

函数的极值点偏移问题，是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数.

二、考点梳理

1、极值点偏移的判定定理

对于可导函数，在区间上只有一个极大（小）值点，方程的解分别为，且，

（1）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏；

（2）若，则，即函数在区间上极（小）大值点右（左）偏.

2、运用判定定理判定极值点偏移的方法

1、极值点偏移处理方法：

（1）求出函数的极值点；

（2）构造一元差函数；

（3）确定函数的单调性；

（4）结合，判断的符号，从而确定、的大小关系.

口诀：极值偏离对称轴，构造函数觅行踪；四个步骤环相扣，两次单调紧跟随.

2、答题模板

若已知函数满足，为函数的极值点，求证：.

（1）讨论函数的单调性并求出的极值点；

假设此处在上单调递减，在上单调递增.[来源:Z,xx,k.Com]

（2）构造；

     注：此处根据题意需要还可以构造成的形式.[来源:Zxxk.Com]

（3）通过求导讨论的单调性，判断出在某段区间上的正负，并得出与的大小关系；

假设此处在上单调递增，那么我们便可得出，从而得到：时，.

（4）不妨设，通过的单调性，，与的大小关系得出结论；

接上述情况，由于时，且，，故，又因为，且在上单调递减，从而得到，从而得证.

（5）若要证明，还需进一步讨论与的大小，得出所在的单调区间，从而得出该处函数导数值的正负，从而结论得证.

此处只需继续证明：因为，故，由于在上单调递减，故.

【说明】

（1）此类试题由于思路固定，所以通常情况下求导比较复杂，计算时须细心；

（2）此类题目若试题难度较低，会分解为三问，前两问分别求的单调性、极值点，证明与（或与）的大小关系；若试题难度较大，则直接给出形如或的结论，让你给予证明，此时自己应主动把该小问分解为三问逐步解题.[来源:Z。xx。k.Com]

三、题型分析

例1、已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.

（1）求的取值范围.

（2）设的两个极值点为，证明.

例2、（2021·重庆市开州中学高三月考）设函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时，若在定义域内存在两实数，满足且，证明：.

例3、已知，．若有两个极值点，，且，求证：（为自然对数的底数）．

例4、已知函数与的图象在点处有相同的切线．

（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有两个极值点，，且，证明：．

例5、（2021·湖北恩施·高三开学考试）已知函数．

（1）判断的单调性；

（2）设方程的两个根为，，求证：．

四、迁移应用

1、（2021·湖北江岸·高二期末）已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且，证明：.

2、已知函数.

(1)求的单调区间；

(2)证明:当时，.

3、（2021·江苏·周市高级中学高三开学考试）已知函数，．

（1）求函数的单调区间；

（2）若，且，证明：．

4、（2021·安徽·合肥一中高三月考（理））已知函数．

（1）若恒成立，求实数的取值范围．

（2）若函数的两个零点为，，证明：．

5、（2021·四川·成都外国语学校高三月考（文））已知函数.

（1）证明：曲线在点处的切线恒过定点；

（2）若有两个零点，，且，证明：.

6、（2021·陕西·千阳县中学模拟预测（理））已知．

（1）求的单调区间；

（2）当时，若关于x的方程存在两个正实数根，证明：且．

7、（2021·北京·临川学校高三期末）已知函数．

（1）若函数在定义域内单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数存在两个极值点，求证：．

8、（2021·全国全国·模拟预测）已知函数，其中为自然对数的底数.

（1）求函数的单调区间和极值；

（2）设方程的两个根分别为，，求证：.