专题十 拉格朗日中值定理

专题十       拉格朗日中值定理

例题1.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，。

（1）讨论函数的单调性；       

（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。

解：(1)的定义域为。

2分

（i）若即,则故在单调增加。

(ii)若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

(II)考虑函数

则

由于1<a<5,故，即g(x)在(4, +∞)单调增加，从而当时有，即，故，当时，有·

证明：由拉格朗日中值定理可知只需证>-1对x(0,+)恒成立。

由+1=x+-(a-1)=,因为1<a<5,所以g(x)=)=+>0,则+1>0 ⇒ >-1

例题2.已知函数

（I）讨论函数的单调性；

（II）设.如果对任意，，求的取值范围。

解：（Ⅰ）的定义域为（0，+∞）. .

当时，＞0，故在（0，+∞）单调增加；

当时，＜0，故在（0，+∞）单调减少；

当-1＜＜0时，令=0，解得.

则当时，＞0；时，＜0.

故在单调增加，在单调减少.

（Ⅱ）不妨假设，而＜-1，由（Ⅰ）知在（0，+∞）单调减少，

从而 ，

等价于，           ①

令，则

①等价于在（0，+∞）单调减少，

即 .

从而

    故a的取值范围为（-∞，-2].

解：由拉格朗日中值定理，可知必存在(0,+使得=

=+2a,当a<-1 且>0时，()=+2a

由题意≥4⇒   ⇒a=-22,即a-2。

例题3.设，若对任意的，有恒成立，求的取值范围.

解：由，知

    令

则在上单调增，故，

则恒成立，所以

例题4.设，若曲线上任意两点的连线的斜率恒大于，求的取值范围.

解：令，则

由拉格朗日中值定理，只需，则，则

设，若对任意，都有，求的取值范围.

解：时，等价于，由拉格朗日中值定理，存在使得，故需要恒成立即可

又，所以

【素养提升】

1、设，且，下列不等式中成立的是（  ）

①；

②；

③；

④.

（A）①③             (B) ① ④                 (C) ②  ③             (D) ②④

解：这是一道与凸函数有关的问题，分别画出的草图.如图2-1是的中点，过、、分别作x轴的垂线，垂足分别为、、，与交于点.由,有

同理，有故②、④正确，选B.

2、若函数 y = sinx在区间（0，π）上是凸函数，那么在△ABC中，sinA + sinB + sinC的最大值为（     ）

A    B     C    D 

解：由函数y = sinx在（0，π）上为凸函数，所以有，即sinA+sinB +sinC≤，当且仅当A = B = C =时等号成立，故选C。

3、定义在集合A上的函数满足：对任意的都有 则称函数是A上的凹函数.

     （1）试判断是否是R上的凹函数？

     （2）若函数是R上的凹函数，求实数的取值范围.

     解：（1）因，，

         所以，

         即，所以，是否是R上的凹函数

        （2）因函数是R上的凹函数，所以，

即  ，

          即所以.

4、若对所有的都有成立，则实数的取值范围是_____.

解：

f(x)的示意图如图，由图可知直线y=ax在区间(0,+∞)上恒在y=f(x)图像下方，所以a≤1.

点评：本题注意的图像过定点(0,0)考虑数形结合就会带来一个问题：虽然可以证明函数是单调递增函数，但是递增的形式是类似还是类似即函数的凸凹性。我们也可以通过再求导，探讨切线斜率的增减性来确定函数图像递增的趋势即凸凹性。

另解：,设

则 , 由得。注意到F(0)=0，若在定义域有极值则比在区间(0,+∞)外.即

   5 、（2006年高考四川理科）已知函数f(x)=,f(x)的导函数是，对任意两个不等的正数，证明：（1）当a≤0时，；

（2）当a≤4时，。

证明  （1），而当a≤0时，显然有，故知f(x)是下凸函数，因此有。

（2）不妨设，由拉格朗日中值定理知，存在c∈（）使得要证，则只需证而，故只需证，整理此不等式知只需证。而，故当a≤4时，有，从而证得。

6、(2009清华)，，，，求证：.

证明：构造函数，，先证明它是凸函数.

事实上，，故，是上的凸函数，从而.

7、已知函数

(1)若在上单调递增，求的取值范围；

    (2)若定义在区间D上的函数对于区间D上的任意两个值总有以下不等式成立，则称函数为区间D上的“凹函数”.试证当时，为“凹函数”

解： (1)由，得

      若函数为上单调增函数，则在上恒成立

     即不等式在上恒成立. 也即在上恒成立

令，上述问题等价于，而为在上的减函数，则，于是为所求

       (2)证明：由 得

        而  ①

        又，  ∴  ②

∵   ∴，

∵  ∴  ③

由①、②、③得

即，从而由凹函数的定义可知函数为凹函数

7、（2005全国）（Ⅰ）设函数，求的最小值；

（Ⅱ）设正数满足，证明

解法一：由函数凹凸性性易证。

解法二、（Ⅰ）解：对函数求导数：

于是，

当时，，在区间是减函数，

当时，，在区间是增函数，

所以时取得最小值，，

（II）用数学归纳法证明

(ⅰ)当n=1时，由（Ⅰ）知命题成立

(ⅱ)假设当n=k时命题成立　

即若正数满足，

则

当n=k+1时，若正数满足，

令

，，……，

则为正数，且，

由归纳假定知

　　　　　　　　　　　①

同理，由，可得

　　　②

综合①、②两式

即当n=k+1时命题也成立

根据(ⅰ)、(ⅱ)可知对一切正整数n命题成立