2021高考数学导数专题复习之极值点偏移

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专题03不含参数的极值点偏移问题
函数的极值点偏移问题，其实是导数应用问题，呈现的形式往往非常简洁，涉及函数的双零点，是一个多元数学问题，不管待证的是两个变量的不等式，还是导函数的值的不等式，解题的策略都是把双变量的等式或不等式转化为一元变量问题求解，途径都是构造一元函数．
例．（2010天津理）已知函数，如果，且．
证明：．
【解析】法一（判定定理）：，易得在上单调递增，在上单调递减，时，，，时，，函数在处取得极大值，且，如图所示．

由，不妨设，则必有，
构造函数，
则，
所以在上单调递增，，
也即对恒成立．
由，则，
所以，
即，又因为，且在上单调递减，
所以，即证．
法二：欲证，即证，
由法一知，故，
又因为在上单调递减，故只需证，
又因为，故也即证，
构造函数，
则等价于证明对恒成立．
由，
则在上单调递增，
所以，即已证明对恒成立，
故原不等式亦成立．
法三：由，得，化简得…①，
不妨设，由法一知，．
令，则，代入①式，得，
反解出，
则，故要证，
即证，
又因为，等价于证明：…②，
构造函数，则，
故在上单调递增，，
从而也在上单调递增，，
即证②式成立，也即原不等式成立．
法四：由法三中①式，两边同时取以e为底的对数，得，
也即，从而，
令，则做证，等价于证明…③，
构造，
则，
又令，则，
由于对恒成立，故，
在上单调递增，
所以，从而，
故在上单调递增，
由洛比塔法则知：，
即证，即证③式成立，也即原不等式成立．
【点评】以上四种方法均是为了实现将双变元的不等式转化为单变元不等式，方法一、二利用构造新的函数来达到消元的目的，方法三、四则是利用构造新的变元，将两个旧的变元都换成新变元来表示，从而达到消元的目的．
例．（2013湖南文）已知函数，证明：当时，．
【解析】易知，在上单调递增，在上单调递减．
当时，由于，所以；
同理，当时，．
当时，不妨设，由函数单调性知．
下面证明：，即证：，
此不等式等价于．
令，则，
当时，，单调递减，从而，
即，
所以，
而，所以，又，
从而f．
由于，且在上单调递增，
所以，即证．
四、招式演练：
1．已知
（1）若，求的最大值；
（2）若有两个不同的极值点，，证明:.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）当时，对函数求导，判断出函数的单调性，进而可得函数的最大值；
（2）对函数求导，则，即为方程的两个不同的正根，表示出，将韦达定理代入化简，并利用构造新函数判断单调性和最值的方法证得命题成立．
【详解】
（1）当时，，
所以，则在上是单调递减函数，且有，
当时，，即为上的增函数，
当时，，即为上的减函数，
所以.
（2）证明：由题意知：由，
则，即为方程的两个不同的正根，
故而需满足：，解得，
所以

令，，
令，所以；
则为上的减函数，且，
所以当时，，即为上的增函数；
当时，，即为上的减函数，
所以，
所以，证毕.
【点睛】
本题考查导数证明不等式问题，考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查学生逻辑思维能力和计算能力，属于中档题．
2．已知函数，若有两个不同的极值点，，且.
（1）求实数的取值范围；
（2）证明：；
（3）证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）转化为为方程的两个不同实根，构造函数，利用导数可求得结果；
（2）根据（1）知，在上递减，要证，只需证 ，构造函数，，利用导数证明即可得证；
（3）先利用导数证明不等式在上成立，所以，，令，令为方程，即的两个实根，根据，，可得，结合韦达定理可证不等式成立.
【详解】
（1）， 则为方程，即的两个不同实根，
令，，
令，得，令，得，
则在上递增，在上递减，
所以当时，取得最大值为，
所以，且，

（2）要证，因为在上递减，所以只需证，即，即要证，由（1）知，所以，
令，，则，
令，，则为上的增函数，
所以，所以为上的增函数，
所以，即在上恒成立，
所以在上为增函数，所以，即，
所以.
（3）令，，则，，
因为为上的增函数，所以，
所以为上的增函数，所以，
所以为上的增函数，所以，
所以不等式在上成立，
所以，
且在上递增，上递减，
令为方程，即的两个实根，，
其中.

由图可知，，即，
所以
，得证.
【点睛】
本题考查了根据函数的极值点个数求参数的取值范围，考查了转化化归思想，考查了数形结合思想，考查了构造函数解决导数问题，考查了利用导数证明不等式，属于难题.
3．已知函数有两个零点.
（1）求实数的取值范围；
（2）设、是的两个零点，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）令可得出，构造函数，可得出直线与函数的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可求得实数的取值范围；
（2）依题意，设，有，构造函数利用导数研究可得，结合，即可得证.
【详解】
（1），当时，令，可得，
令，其中，则，
令，可得，列表如下：











单调递减
单调递减
极小值
单调递增

所以，函数的极小值为，
当时，，当时，，如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，
综上所述，实数的取值范围是；
（2）由（1）中的图象可知，当时，直线与函数的图象有两个交点，且一个交点的横坐标为正、另一个交点的横坐标为负，
即当时，函数有两个零点，一个零点为正、另一个零点为负，
设函数的两个零点分别为、，不妨设，有.
由，
令，则，
所以函数在上单调递增，所以，.
又，所以，即.
当且时，，则函数在区间上单调递增，
又，，所以，所以.
又，所以，所以.
【点睛】
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题.
4．已知函数.
（1）若，求函数的单调递增区间；
（2）设，是的两个不相等的正实数解，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导数，令，解出不等式即可；
（2）依题意可知，是的两个不相等的正实数解，可建立不等式求出的取值范围，在利用韦达定理将化为关于的函数，再构造函数，利用导数即可证明.
【详解】
（1）依题意，，，
，
令，故，解得，
故函数的单调递增区间为.
（2）依题意，，所以，是的两个不相等的正实数解；
则，解得，
，
令，，，
则，∴在上单调递减.
∴，
即.
【点睛】
本题考查利用导数求单调区间，考查利用导数证明不等式，属于较难题.
5．已知函数.
（1）求的单调增区间和极值；
（2）若函数有两个零点，求实数的取值范围，并证明.
【答案】（1）的单调增区间为，在处取得极小值，无极大值；（2），证明详见解析.
【解析】
【分析】
（1）求函数的导数，令导函数大于0可求得单调递增区间，小于0可求得单调递减区间，从而求得极值.；
（2）在（1）和题设条件使得到极小值小于0得到的范围，然后再证明在0的两端都有大于0的函数值即可，同时也找到了两个零点的范围.
【详解】
（1）由题意可得，
令，解得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
故的单调增区间为，
在处取得极小值，无极大值.
（2）由（Ⅰ）可知在上单调递减，在上单调递增，
，若有两个零点，必有，即.
检验当时，函数有两个零点.
由于，，，
则根据函数的零点存在性定理知存在唯一，使得；
，令，则，
当时，，单调递增，
所以，因此.
又因为，，
所以根据函数的零点存在性定理知存在唯一，使得.
所以当时，函数有两个零点.
因为，所以，即成立.
【点睛】
本题考查了导数在函数中的综合应用，函数的单调性以及零点的判断，考查了逻辑推理能力与计算能力.
6．已知函数，．
（1）讨论函数极值点的个数；
（2）若函数有两个极值点，，证明：．
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，研究在上解的个数，由的正负确定的单调性，确定极值点个数；
（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，且，．计算并转化为关于的函数，然后求出函数的单调性证明结论成立．
【详解】
解：（1），．
当时，，
在单调递增，没有极值点；
当时，令，时，或，
设当时，方程的两根为，，且．
若，则，注意到，，
知的两根，满足．
当，，，单增；
当，，，单减，
所以只有一个极值点；
若，则，，
即恒成立，
在单调递增，所以没有极值点；
若，则，注意到，，
知的两根，满足．
当，，，单增；
当，，，单减；
当，，，单增；
所以有两个极值点．
综上：当时，有一个极值点；
当时，没有极值点；
当时，有两个极值点．
（2）由（1）知，当时，函数有两个极值点，，
且，．
所以

，，
令，．
则，
所以在单调递减，
所以，所以．
【点睛】
本题考查用导数研究函数的极值问题，证明有关极值点的不等式，证明有关极值点不等式的关键是问题的转化，利用极值点与题中参数关系，把问题转化为关于参数的函数，转化为确定函数的单调性．
7．已知函数，其中，.
（1）当时，在上是单调函数，求的取值范围；
（2）若的极值点为，且，求证：.
【答案】（1）或；（2）证明见解析；
【解析】
【分析】
（1）在上是单调函数，利用其导数在此区间内的函数值恒正或恒负即可求的范围；（2）由极值点的导函数为0，有即得，又知，即可证；
【详解】
（1）当时，，故，
，令，则由题意，若有对称轴，在上恒正或恒负即可，
∴或，解得：或；
（2）由题意：且，又的极值点为，且，
∴，即，故有，
而知：，有即知：，
∴，即得证.
【点睛】
本题考查了利用导函数研究函数的单调性，并由单调性恒正或恒负求参数范围，以及根据零点与导数的关系、已知等量关系证明不等关系；
8．已知函数.（，，e是自然对数的底数）
（1）若，当时，，求实数a的取值范围；
（2）若，存在两个极值点，，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）将代入，得，再按及讨论即可得解；
（2）将代入，得，由题意可得，不妨设，则，运用导数并结合第一小问的结论即可得证．
【详解】
（1）当，则，
当时，，在，上单调递增，；
当时，在上单调递减，在上单调递增，则，不成立，
实数的取值范围为．
（2）证明：当时，，
函数存在两个极值点，
，即，
由题意知，，为方程的两根，故，
不妨设，则，
，
由（1）知，当，即（当且仅当时取等号），
当时，恒有，

，
又，
令，则，
函数在上单调递增，（1），从而，
综上可得：．
【点睛】
本题考查导数的综合运用，考查恒成立问题及不等式的证明问题，涉及了分类讨思想、转化思想及放缩思维，属于难题．
9．已知函数，(a，b∈R)
（1）当a=﹣1，b=0时，求曲线y=f(x)﹣g(x)在x=1处的切线方程；
（2）当b=0时，若对任意的x∈[1，2]，f(x)+g(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b>0时，若方程f(x)=g(x)有两个不同的实数解x1，x2(x12.
【答案】（1）（2）（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导函数，求出函数在时的导数得到切线的斜率，然后用一般式写出切线的方程；
（2）对，，都成立，则对，，，恒成立，构造函数，求出的最大值可得的范围；
（3）由，得，构造函数，将问题转化为证明，然后构造函数证明即可．
【详解】
（1）当时，时，，
当时，，
，
当时，，
曲线在处的切线方程为；
（2）当时，对，，都成立，
则对，，恒成立，
令，则．
令，则，
当，，此时单调递增；
当时，，此时单调递减，
，，
的取值范围为；
（3）当，时，由，得，
方程有两个不同的实数解，，
令，则，，
令，则，
当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减，
，
，
又，（1），
，
，
只要证明，就能得到，即只要证明，
令，
则，
在上单调递减，则，
，
，
，
，
即，证毕．
【点睛】
本题主要考查求曲线的切线方程，不等式恒成立问题和利用导数研究函数的单调性，考查函数思想和分类讨论思想，属难题．
10．已知函数，.
（1）判断函数在区间上的零点的个数；
（2）记函数在区间上的两个极值点分别为，，求证：.
【答案】（1）2个；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，然后结合导数可求函数的单调性，然后再结合零点判定理即可求解；
（2）结合极值存在的条件及正弦与正切函数的性质进行分析可证．
【详解】
（1），，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
当时，，函数单调递增，且，，，，，
故函数在，上不存在零点，
存在，使得，同理使得
综上，在区间上的零点有2个.
（2），
由（1）可得，在区间，上存在零点，
所以在，上存在极值点，，，
因为在上单调递减，则，

，
又因为，即，
又，
即，
，
，，，
由在上单调递增可得．

再由在上单调递减，得，
，
所以．
【点睛】
本题综合考查了利用导数研究函数的单调性，最值与零点，同时考查了正弦函数与正切函数的性质，试题具有一定的综合性，属于难题．
11．已知函数．
（1）若在上不单调，求a的取值范围；
（2）当时，记的两个零点是
①求a的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）；（2）①；②证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导整理得出，结合研究的区间，对的范围进行讨论，结合函数在某个区间上不单调的条件，即既有增区间，又有减区间，即在区间上存在极值点，得到结果；
（2）①将函数在区间上有两个零点转化为方程有两个解，构造新函数，利用导数求得结果；
②结合①，求得两个零点所属的区间，利用不等式的性质证得结果.
【详解】
（1）因为，所以，
当时，可知在上恒成立，
即在上单调递增，不合题意，
当时，即时，可知时，单调减，
当时，单调增，所以满足在上不单调，
所以a的取值范围是；
（2）①令，得，即有两个解，
令，则，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
且当时，，当时，，且，
所以当时，记的两个零点，a的取值范围是；
②由①知，所以，
所以
【点睛】
该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有根据函数在某个区间上不单调求参数的取值范围，利用导数根据函数的零点的个数求参数的取值范围，利用导数证明不等式，属于难题.
12．已知函数
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个极值点，．且不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）答案不唯一，具体见解析； （2）.
【解析】
【分析】
（1）求得，对的范围分类，即可解不等式，从而求得函数的单调区间，问题得解.
（2）由题可得：，由它有两个极值点，可得：有两个不同的正根，从而求得及，将恒成立转化成：恒成立，记：，利用导数即可求得：，问题得解.
【详解】
（1）因为，所以，
则①当时，是常数函数，不具备单调性；
②当时，由；由．
故此时在单调递增，在单调递减
③当时，由；由．
故此时在单调递减，在单调递增．
（2）因为
所以，
由题意可得：有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
则，
不等式恒成立等价于恒成立
又


所以，
令（），则，
所以在上单调递减， 所以
所以．
【点睛】
本题主要考查了利用导数判断函数的单调性及极值知识，考查了转化能力及函数思想，还考查了利用导数求函数值的取值范围问题，考查计算能力，属于难题.
13．已知函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）求函数在，上的最大值；
（Ⅲ）若存在，，使得，证明：．
【答案】（Ⅰ）函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；（Ⅱ）答案见解析；（Ⅲ）证明见解析.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求导，再令解得，从而由导数的正负确定函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论与，的关系，从而确定函数的单调性，由单调性确定函数的最大值即可；
（Ⅲ）可判断出，，（e），；从而可得，，从而证明．
【详解】
解：（Ⅰ）函数，
，令，解得，
当时，，此时在上单调递增，
当时，，此时在，上单调递减，
所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为，；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）可知，需讨论与，的关系：
①当，，即，时，
在，上的最大值为；
②当，即，时，由的单调性可知，
在，上的最大值为；
③当，即时，由的单调性可知，
在，上的最大值为；
综上所述，当，时，在，上的最大值为；
当，时，在，上的最大值为；
当时，在，上的最大值为；
（Ⅲ）证明：，，
，；
，（e），；
，
，
故．
【点睛】
本题考查了导数的综合应用及函数的最值的求法，同时考查了零点的判断与应用，属于难题．
14．已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点、，证明：.
【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调性；
（2）由韦达定理得出，将所证不等式转化为证明不等式，令，可得出要证不等式，构造函数，利用导数证明出对任意的恒成立即可.
【详解】
（1）函数的定义域为，.
令，.
①当时，即当时，对任意的，，则，
此时，函数在上单调递增；
②当时，即当时，
方程有两个不等的实根，设为、，且，
令，解得，.
解不等式，可得；
解不等式，可得或.
此时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为.
综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无递减区间；
当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由（1）可知，、是关于的二次方程的两个不等的实根，
由韦达定理得，
，
要证，即证，即证，
设，即证，
，设，即证，
构造函数，其中，，
所以，函数在区间上单调递增，
当时，，即.
故原不等式得证.
【点睛】
本题考查利用导数求解含参函数的单调性，同时也考查了利用导数证明函数不等式，考查推理能力与计算能力，属于难题.
15．已知函数.
（1）若函数在上单调递增，求的取值范围；
（2）当时，函数有两个零点，，其中，求证：.
【答案】（1）；（2）证明见详解.
【解析】
【分析】
（1）先对函数求导，根据函数单调性，得到在上恒成立，进而可求出结果；
（2）先由题意，得到，两式作差整理，得到，推出，令，将证明转化为证明即可，利用导数的方法，即可证明结论成立.
【详解】
（1）因为，所以，
因为函数在上单调递增，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
因为幂函数在显然单调递减，所以，因此只需；
（2）当时，，
因为函数有两个零点，，
所以，
两式作差可得：，
因此，
令，则，
要证，即证，即证，即证
令，
则在上恒成立，
所以在上单调递减，
因此，即在上恒成立，
所以.
【点睛】
本题主要考查由函数在给定区间的单调性求参数，以及导数的方法证明不等式，属于常考题型.
16．已知函数，曲线在点处切线与直线垂直．
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：．
【答案】（1），理由见解析；（2）证明见解析．
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，由两直线垂直的条件：斜率相等，即可得到切线的斜率和切点坐标，进而的解析式和导数，求出单调区间，可得，即可得到与的大小；
（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义可得所以化简得，．可得，，要证明，．即证明，也就是．求出，即证，令，则，即证．令，求出导数，判断单调性，即可得证．
【详解】
解：（1）函数，，
所以，又由切线与直线垂直，可得，即，解得．此时，，
令，即，解得；
令，即，解得，
所以的增区间为，减区间为．
所以，即即，
即有：．
（2）证明：不妨设，因为，
所以化简得，．可得，，
要证明，即证明，也就是．
因为，即证，
即，令，则，即证．令．
由，
故函数在是增函数，
所以，即得证．
所以．
【点睛】
本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查化简整理的运算能力，属于中档题．
17．已知函数.
（1）当时，证明：有唯一零点；
（2）若函数有两个极值点，（），求证：.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1)先对函数f(x)求导，再对a分类讨论即可判断函数f(x)的单调性，进而求得最值;
(2)由函数的极值点得关于,的关系式以及参数a的范围,构造函数,将问题转化为该函数的最值问题，再进行适当放缩即可证明.
【详解】
（1）（）
∵，，所以在，上递增，在递减，
又，时，
所以有唯一零点；
（2）（）
.
若有两个极值点，（），
则方程的判别式且，，
因而，
又，∴，即，

设，其中，
由得，由于，
∴在上单调递增，在上单调递减，
即的最大值为，
从而成立.
【点睛】
本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，极值，最值，证明不等式，考查了分类讨论思想，转化思想，属于难题.
18．已知函数，曲线在点处切线与直线垂直.
（1）试比较与的大小，并说明理由；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.
【答案】（1），理由见解析（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）求出的导数，由两直线垂直的条件，即可得切线的斜率和切点坐标，进而可知的解析式和导数，求解单调区间，可得，即可得到与的大小；（2）运用分析法证明，不妨设，由根的定义化简可得，，要证：只需要证： ，求出，即证，令，即证，令，求出导数，判断单调性，即可得证.
【详解】
（1）函数，，
所以，
又由切线与直线垂直，
可得，即，解得，
此时，
令，即，解得，
令，即，解得，
即有在上单调递增，在单调递减
所以
即
（2）不妨设，
由条件：
，
要证：只需要证：，
也即为，由
只需要证：，
设即证：，
设，则
在上是增函数，故，
即得证，所以.
【点睛】
本题主要考查了导数的运用，求切线的斜率和单调区间，构造函数，运用单调性解题是解题的关键，考查了化简运算整理的能力，属于难题.