专题八 导数与不等式证明

专题八       导数与不等式证明

例题1．已知函数，若在处的切线方程为.

（1）求a，b；（2）证明：任取，.

解：（1）因为， 所以，，，解得，.

（2）由（1）知，当时，，故成立；

当时，令，，

当时，，单调递增；当时，，单调递减，

，故任取，.

例题2．已知函数曲线在点处的切线方程为.

（1）求的值；（2）证明：当且时，.

解：（1）

由于直线的斜率为，且过点，故

即解得，.

（2）由（1）知f(x)=所以

考虑函数则h′(x)=

所以x≠1时h′(x)＜0而h(1)=0,

故x时h(x)>0可得,x h(x)<0可得,

从而当，且时，.

例题3．已知函数.证明：.

证明：等价于，

因为，所以等价于.等价于.

令，则.

因为，所以.所以当时，；当时，.

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以，即.所以不等式得证.

例题4．设函数证明：当时，.

证明：∵ .

∴ 要证：，只需证，

只需证：. 设，

则.

由（1）知在单调递减， 又，

∴ ，即是减函数，而.

∴ ，故原不等式成立.

例题5．已知函数.

（1）讨论的单调性；（2）若，证明：.

解：（1）由题易知的定义域为，.

当时，恒成立，因此在上单调递减；

当时，令，得；令，得.

故在上单调递增，在上单调递减.

综上所述，当时，在上单调递减；

当时，在上单调递增，在上单调递减；

（2）当时，，

不等式即，

令，则，令，得.

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以.又当时，，所以，故原不等式得证.

例题6.已知函数.证明：.

证明：要证，即要证，即证明.

令，则.

由，解得；由，解得.

所以在上单调递减，在上单调递增，.

令，则，

由，解得；由，解得.

所以在上单调递增，在上单调递减，，

所以，且等号不同时取得，即成立，所以.

例题7．已知函数，．

（1）求函数的极大值；

（2）求证：；

解：（1），则

由，可得 ，，可得

所以在上单调递增，在上单调递减.

所以当时，有极大值

（2）由（1）可知，为的最大值，即

所以，即（当且仅当时等号成立）

令，则，取，则，即

则，，

由上面不等式相加得

即

即。

【素养提升】

1.已知函数.

（1）若，求的单调区间；

（2）证明：存在正实数，使得.

【解析】

（1）定义域为，，.

当时，，有一个零点.

当时，，当时，，

所以在单调递增，在单调递减.

（2）当时，存在正实数，使得.

当时，.

由（1）知.

由，得，所以.

设，当时，，

所以在单调递增，所以,

即，存在正实数，使得. 

2.已知函数.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）证明：当时，.

【解析】

（1）当时，，

所以，

讨论：①当时，，有；

②当时，由函数为增函数，有，有；

③当时，由函数为增函数，有，有.

综上，函数的增区间为，，减区间为.

证明：（2）当时，有，所以，

所以.

令，则.

令，有.

令，得.

分析知，函数的增区间为，减区间为.

所以.

所以分析知，函数的增区间为，减区间为,

所以,

故当时，.

3.已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若，求证： （为自然对数的底数）.

【解析】

（1），

当时， ，函数在单调递增，

当时， 时， 时，

在单调递增，在单调递减.

综上所述，当时， 只有增区间为.

当时， 的增区间为，减区间为.

（2）等价于.

令，

而在单调递增，且， .

令，即， ，

则时， 时，

故在单调递减，在单调递增，

所以 .

即.

4.已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若函数有两个零点，求证：．

【解析】

（1）对函数求导可得，令，得

①当时，若则，即

若，则，即．

②当时，若，则，即

若，则，即．

综上，的单调递增区间是，单调递减区间是．

（2）证明：由（1）知，有两个零点时，

∴．

令，

则

∴为方程的两个根．

令，则为的两个零点，．

∴

令，则．

∴在上单调递增

∴

∴，即．

∵

∴当时，单调递增．

∵

∴

∴

∴。

5.设，函数有两个零点、，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：．

【解析】（1），所以有两个零点与有两个交点．，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减．又因为当时，；当时，；，所以实数的取值范围为．

【证明】（2）法1：（化二元为一元）依题意，有，，于是，，所以．

，令，则上式等价于，这是与有关的常用不等式，证明如下：构造，，则，于是在上递增，于是，命题获证．

法2：（化二元为一元）依题意，有，即，设，则，于是，因此

，下同法1．

法3：（极值点偏移），令，，则、是函数的两个零点，且，该问题不是极值点偏移问题，因为的极值点不是，需要把改为，问题才转化为极值点偏移问题．

，由可得，由可得，所以在上递增，在上递减，于是．

构造函数（），则，于是在上递增，于是，即，于是，而，所以．因为，，且在上递减，所以，即，命题获证．