专题七导数与隐零点问题

专题七       导数与隐零点问题

例题1．已知函数在上有两个极值点，，且．

（1）求实数的取值范围；

（2）证明：当 时，．

（1）解：，

，由题意知方程在上有两不等实根，

设，其图象的对称轴为直线，

故有，解得．

（2）证明：由题意知是方程的大根，从而，，

由于，，

．

设，，，

，

在，递增，

，即成立．

巩固1．已知函数，证明．

解：在上单调递增，

，，

在存在唯一实数根，且，

当时，，，时，，

当时，函数取得最小值，

，即，

，

．

例题2.设函数．

（Ⅰ）求函数的图象在点处的切线方程；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若，为整数，且当时，，求的最大值．

解：（Ⅰ），，，，，

函数的图象在点处的切线方程为．

（Ⅱ），．

若，则恒成立，所以，在区间上单调递增．

若，则当时，，当时，，

所以，在区间上单调递减，在上单调递增．

由于，所以，．

故当时，．①

令，则．

函数在上单调递增，而（1），（2）．

所以在上存在唯一的零点，故在上存在唯一的零点．

设此零点为，则．当时，；当时，；

所以，在上的最小值为．由，可得，

所以，，．由于①式等价于．

故整数的最大值为2．

巩固2.已知函数f(x)＝ax＋xln x(a∈R).

  (1)若函数f(x)在区间[e，＋∞)上为增函数，求a的取值范围；

  (2)当a＝1且k∈Z时，不等式k(x－1)<f(x)在x∈(1，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

巩固3．已知函数

（Ⅰ）若是的极值点，求的值，并讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，证明：．

解：（Ⅰ）由函数的定义域，

因为，是的极值点，

所以（1），所以，

所以，

因为和，在上单调递增，

所以在上单调递增，

当时，；时，，

此时，的单调递减区间为，单调递增区间为，

（Ⅱ）证明：当时，，

设，则，

因为和，在上单调递增，

所以在上单调递增，

因为（1），（2），

所以存在使得，

所以在上使得，在，上，

所以在单调递减，在，上单调递增，

所以，

因为，即，

所以，

所以，

因为，所以，

所以．

【素养提升】

1.设函数f(x)＝－x2＋ax＋ln x(a∈R)．

(1)当a＝－1时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在上有两个零点，求实数a的取值范围．

【解析】(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

当a＝－1时，f′(x)＝－2x－1＋＝，

令f′(x)＝0，得x＝(负值舍去)，

当0<x<时，f′(x)>0；

当x>时，f′(x)<0.

∴f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.

(2)令f(x)＝－x2＋ax＋ln x＝0，得a＝x－.

令g(x)＝x－，其中x∈，

则g′(x)＝1－＝，令g′(x)＝0，得x＝1，

当≤x<1时，g′(x)<0；当1<x≤3时，g′(x)>0，

∴g(x)的单调递减区间为，单调递增区间为(1,3]，

∴g(x)min＝g(1)＝1，∵函数f(x)在上有两个零点，

g＝3ln 3＋，g(3)＝3－，3ln 3＋>3－，

∴实数a的取值范围是.

2.设函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是____.

【答案】

【解析】

函数有三个零点等价于与有三个不同的交点

当时，，则

在上单调递减，在上单调递增

且，，

从而可得图象如下图所示：

通过图象可知，若与有三个不同的交点，则

本题正确结果：

3.（2019·辽宁高考模拟（文））已知函数（表示不超过实数的最大整数），若函数的零点为，则（   ）

A． B．-2 C． D．

【答案】B

【解析】

因为，所以在上恒成立，

即函数在上单调递增；

又，

所以在上必然存在零点，即，

因此，

所以.

故选B

4 .已知函数f(x)＝xln x，g(x)＝－x2＋ax－3(a为实数)，若方程g(x)＝2f(x)在区间上有两个不等实根，求实数a的取值范围．

【解析】　由g(x)＝2f(x)，可得2xln x＝－x2＋ax－3，a＝x＋2ln x＋，

设h(x)＝x＋2ln x＋(x>0)，所以h′(x)＝1＋－＝.

所以x在上变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：

又h＝＋3e－2，h(1)＝4，h(e)＝＋e＋2.

且h(e)－h＝4－2e＋<0.所以h(x)min＝h(1)＝4，h(x)max＝h＝＋3e－2，

所以实数a的取值范围为4<a≤e＋2＋，即a的取值范围为.