微专题29　导数与不等式的证明

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【难点突破】
[高考真题] (2023·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)＝a(ex＋a)－x.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)证明：当a>0时，f(x)>2ln a＋eq \f(3,2).
样题1 (2023·郑州二模改编)已知函数f(x)＝x2ln x，证明：f(x)≥x－1.
样题2 (2023·天津模拟改编)已知函数f(x)＝eq \f(ln x,x)－k，
(1)若f(x)≤0恒成立，求实数k的取值范围；
(2)证明：ln eq \f(1,2)＋ln eq \f(1,3)＋…＋ln eq \f(1,n)1).
样题3 (2023·荆州调研改编)已知函数f(x)＝ln eq \f(e,x).若x∈(0，1)，求证：f(x)规律方法 利用导数证明不等式问题的方法
(1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x).
(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论.
(3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数.
训练 已知函数f(x)＝ex－a－ln(x＋a).当a≤1时，证明：f(x)>0.