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2021-2022学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（上）期中数学试 解析版卷
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这是一份2021-2022学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（上）期中数学试 解析版卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题。每小题3分、共30分）
1．（3分）如图所示图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3．（3分）已知a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C．3a＞3b D．ax＞bx
4．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．一个三角形中至少有两个锐角
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同角的余角相等
D．一个角的补角大于这个角本身
5．（3分）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，下列条件中不能证明△ABC≌△FED的是（ ）
A．BC＝ED B．∠A＝∠F C．∠B＝∠E D．AB∥EF
6．（3分）不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．a：b：c＝1：：2
C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3 D．
8．（3分）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个矩形，如图放置，∠ACB＝90°，MN∥PQ．点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．4
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空题（本大题有6小题。每小题4分，共24分）
11．（4分）把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ；该命题是 命题（填“真”或“假”）．
12．（4分）用不等式表示：x的2倍大于3 ；x的3倍与2的和不小于1 ．
13．（4分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，底边上的高AD＝6，则底边BC＝ ．
14．（4分）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则S3＝ ；AB＝ ．
15．（4分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
16．（4分）已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD、则等腰Rt△ACD的面积为 ；再以Rt△ACD的斜边AD为直角边、画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ；依此类推到第n个等腰直角三角形，由n个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）3（x+1）≤5x+7；
（2）．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
19．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
20．（10分）小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a的代数式表示第三条边长；
（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值．
21．（10分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，当∠C＝3∠BAD时，求∠C的度数；
（2）如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连接DF，当∠BAC＝45°时，求证：DF＝DC．
22．（12分）某五金商店购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，已知160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
23．（12分）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高线．动点D在线段AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若DM＝MC，则∠ACD＝ 度，∠BCE＝ 度；
（2）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（3）如图2，若AB＝12，P、Q两点在直线BE上且满足CP＝CQ＝10，试求PQ的长．
（4）在第（3）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由．
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题。每小题3分、共30分）
1．（3分）如图所示图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．
则该三角形的周长是14．
故选：B．
3．（3分）已知a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C．3a＞3b D．ax＞bx
【分析】由于a＜b，根据不等式的性质可以分别判定A、B、C、D 是否正确．
【解答】解：A、由a＜b得到a﹣5＜b﹣5，故本选项不符合题意．
B、由a＜b得到﹣5a＞﹣5b，故本选项符合题意．
C、由a＜b得到3a＜3b，故本选项不符合题意．
D、当x≥0时，ax＞bx不成立，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．一个三角形中至少有两个锐角
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同角的余角相等
D．一个角的补角大于这个角本身
【分析】直接利用三角形的性质以及角的有关性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个三角形中至少有两个锐角，说法正确；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
C、同角的余角相等，说法正确；
D、一个角的补角大于这个角本身，说法错误，例如120°角的补角为60°；
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，下列条件中不能证明△ABC≌△FED的是（ ）
A．BC＝ED B．∠A＝∠F C．∠B＝∠E D．AB∥EF
【分析】欲使△ABC≌△FED，已知AD＝FC，得出AC＝DF，AB＝FE，可根据全等三角形判定定理SAS、SSS添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AD＝FC，
∴AC＝DF，
∵AB＝FE，
A、若添加BC＝ED，因为SSS证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意．
B、若添加∠A＝∠F，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意．
C、若添加∠B＝∠E，不能利用SSA证明△ABE≌△ACD，故本选项符合题意．
D、若添加AB∥EF，易得∠A＝∠F，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得x＜﹣1，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1，
∴不等式组的最大整数解为﹣2．
故选：B．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．a：b：c＝1：：2
C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3 D．
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、设a＝x，b＝x，c＝2x，
∵x2+（x）2＝x2+3x2＝4x2＝（2x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝5：4：3，
∴∠A＝×180°＝75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵a＝c，b＝c，
∴a2+b2＝＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个矩形，如图放置，∠ACB＝90°，MN∥PQ．点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．4
【分析】根据平行线的性质可得∠CAD＝45°，从而△ACD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵MN∥PQ，
∴∠NAB＝∠ABP＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC＝CD＝2，
∴AD＝＝2，
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故选：D．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7﹣x，根据勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，x2+（7﹣x）2＝28，则2x2﹣14x＝﹣21，整体代入可得结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝（NG+PF）•FG＝EF•FG＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×x•（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题。每小题4分，共24分）
11．（4分）把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 ；该命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据命题的概念、平行线的性质判断即可．
【解答】解：命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等，
该命题是假命题，
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假．
12．（4分）用不等式表示：x的2倍大于3 2x＞3 ；x的3倍与2的和不小于1 3x+2≥1 ．
【分析】首先表示x的2倍，再抓住关键词“大于3”列出不等式即可；首先表示x的3倍与2的和，再抓住关键词“不小于”列出不等式即可．．
【解答】解：根据题意得，2x＞3；3x+2≥1，
故答案为：2x＞3；3x+2≥1．
13．（4分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，底边上的高AD＝6，则底边BC＝ 16 ．
【分析】根据勾股定理即可求出BD的长，根据等腰三角形的三线合一得BC＝2BD．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝8．
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝16．
故答案为：16．
14．（4分）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则S3＝ 36 ；AB＝ 8 ．
【分析】根据两个正方形的面积和等于S3，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵S1＝22，S2＝14，
∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，
∴BC＝＝6，
∵AC＝10，
∴AB＝＝＝8，
故答案为：36；8．
15．（4分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 k≤﹣3 ．
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组的解集为x＞﹣1，即可得到关于k的不等式，从而可以求得k的取值范围．
【解答】解：，
由不等式①，得：x＞﹣1，
由不等式②，得：x＞2+k，
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴2+k≤﹣1，
解得k≤﹣3，
故答案为：k≤﹣3．
16．（4分）已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD、则等腰Rt△ACD的面积为 1 ；再以Rt△ACD的斜边AD为直角边、画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ；依此类推到第n个等腰直角三角形，由n个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ．
【分析】图形的构成规律是，从第二个等腰直角三角形开始，每一个等腰直角三角的直角边长都是前一个等腰三角形的直角边长的倍，按这一规律进行推导，即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝CB＝1，∠B＝90°，
∴SRt△ABC＝×1×1＝；
∵AC＝＝AB＝×1＝，
∴SRt△ACD＝×（）2＝1；
同理AD＝AC＝×AB＝（）2×1＝（）2，
∴SRt△ADE＝×[（）2]2＝×（）4＝（）2＝2；
AE＝AD＝××AB＝（）3×1＝（）3，
∴SRt△AEF＝×[（）3]2＝×（）6＝（）4＝4；
AF＝AE＝×××AB＝（）4×1＝（）4，
∴SRt△AEF＝×（）4]2＝×（）8＝（）6＝8，
∴由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8＝；
按此规律，第n个等腰直角三角形的直角边长为（）n﹣1，
第n个等腰直角三角形的面积为[（）n﹣1]2＝＝[）2]n﹣2＝2n﹣2，
∵Sn＝+1+2+4+8+…+2n﹣2，
∴2Sn＝1+2+4+8+16+…+2n﹣2+2n﹣1，
∴Sn＝2Sn﹣Sn＝2n﹣1﹣＝，
故答案为：1，，．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）3（x+1）≤5x+7；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得：3x+3≤5x+7，
移项，得：3x﹣5x≤7﹣3，
合并同类项，得：﹣2x≤4，
系数化为1，得：x≥﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式4x﹣5＜3x+2，得：x＜7，
解不等式≥1，得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x＜7，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝50°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝50°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．
19．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
20．（10分）小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a的代数式表示第三条边长；
（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值．
【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）先根据a＝7，求出三边的长，根据三角形三边关系进行判断；
（3）根据题意需要先分类讨论，分别求出a的值，然后即可得出三角形的三边长，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
【解答】解：（1）∵第二条边长为（2a+2）米，
∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）＝（28﹣3a）米；
（2）不能，理由如下：
当a＝7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，
即第一条边长不能为7米；
（3）根据题意，需要分以下三种情况：
当a＝2a+2时，a＝﹣2，不合题意，不能构成等腰三角形；
当a＝28﹣3a时，a＝7，则该三角形的三边为：7，16，7，由于7+7＜16，所以不能构成三角形；
当2a+2＝28﹣3a时，a＝，则该三角形的三边为：，，，由于0＜＜，所以能构成等腰三角形；
综上所述，当a＝时，能构成等腰三角形．
21．（10分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，当∠C＝3∠BAD时，求∠C的度数；
（2）如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连接DF，当∠BAC＝45°时，求证：DF＝DC．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，设∠BAD＝α，则∠C＝∠B＝3α，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接BF，根据垂直平分线的性质得到AF＝BF，求得∠AFB＝90°，得到∠BFC＝90°，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠C＝3∠BAD，
∴设∠BAD＝α，则∠C＝∠B＝3α，
∴3α+3α+2α＝180°，
解得：α＝22.5°，
∴∠C＝3α＝67.5°；
（2）连接BF，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴DF＝CD＝BC．
22．（12分）某五金商店购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，已知160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
【分析】（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，根据“每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个甲种零件、每个乙种零件的进价；
（2）设该五金商店购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，根据“购进两种零件的总数量不超过95个，且销售两种零件的总利润超过371元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．
（2）设该五金商店购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，
依题意得：，
解得：23＜m≤25．
又∵m为正整数，
∴m可以为24，25，
∴该五金商店共有2种进货方案，
方案1：购进甲种零件67个，乙种零件24个；
方案2：购进甲种零件70个，乙种零件25个．
23．（12分）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高线．动点D在线段AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若DM＝MC，则∠ACD＝ 15 度，∠BCE＝ 15 度；
（2）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（3）如图2，若AB＝12，P、Q两点在直线BE上且满足CP＝CQ＝10，试求PQ的长．
（4）在第（3）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）证△ACD≌△BCE（SAS），即可得出结论；
（3）过点C作CN⊥BQ于点N，由等腰三角形的性质得PQ＝2PN，再由勾股定理求出PN＝8，即可求解；
（4）当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，同（2）得△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得CN＝CM＝6，再由等腰三角形的性质和勾股定理得QN＝PN＝8，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝DE，
∵线段AM为BC边上的高线，
∴AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∵DM＝MC，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴∠MCD＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠MCD＝60°﹣45°＝15°，∠BCE＝∠DCE﹣∠MCD＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15，15；
（2）AD＝BE．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝DE，
∴∠ACB﹣∠MCD＝∠DCE﹣∠MCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（3）如图2，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP＝CQ，
∴PQ＝2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴BC＝AB＝12，CM⊥AD，CM＝BC＝×12＝6，
∴CN＝CM＝6（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP＝CQ＝10，
∴PN＝＝＝8，
∴PQ＝2PN＝16；
（4）PQ的长为定值16．理由如下：
当点D在线段AM的延长线上时，如图3所示：
同（2）得：△ACD≌△BCE（SAS），
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝6，
∵CQ＝CP＝10，
∴QN＝PN＝＝＝8，
∴PQ＝2PN＝16，
即PQ的长是定值；
当点D在线段AM的反向延长线上时，如图4所示：
同（2）得：△ACD≌△BCE（SAS），
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝6，
∵CQ＝CP＝10，
∴QN＝PN＝＝＝8，
∴PQ＝2PN＝16，
即PQ的长是定值；
综上所述，PQ的长是定值，为16．
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题。每小题3分、共30分）
1．（3分）如图所示图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
3．（3分）已知a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C．3a＞3b D．ax＞bx
4．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．一个三角形中至少有两个锐角
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同角的余角相等
D．一个角的补角大于这个角本身
5．（3分）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，下列条件中不能证明△ABC≌△FED的是（ ）
A．BC＝ED B．∠A＝∠F C．∠B＝∠E D．AB∥EF
6．（3分）不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．a：b：c＝1：：2
C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3 D．
8．（3分）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个矩形，如图放置，∠ACB＝90°，MN∥PQ．点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．4
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
二、填空题（本大题有6小题。每小题4分，共24分）
11．（4分）把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 ；该命题是 命题（填“真”或“假”）．
12．（4分）用不等式表示：x的2倍大于3 ；x的3倍与2的和不小于1 ．
13．（4分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，底边上的高AD＝6，则底边BC＝ ．
14．（4分）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则S3＝ ；AB＝ ．
15．（4分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 ．
16．（4分）已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD、则等腰Rt△ACD的面积为 ；再以Rt△ACD的斜边AD为直角边、画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ；依此类推到第n个等腰直角三角形，由n个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）3（x+1）≤5x+7；
（2）．
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
19．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
20．（10分）小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a的代数式表示第三条边长；
（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值．
21．（10分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，当∠C＝3∠BAD时，求∠C的度数；
（2）如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连接DF，当∠BAC＝45°时，求证：DF＝DC．
22．（12分）某五金商店购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，已知160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
23．（12分）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高线．动点D在线段AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若DM＝MC，则∠ACD＝ 度，∠BCE＝ 度；
（2）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（3）如图2，若AB＝12，P、Q两点在直线BE上且满足CP＝CQ＝10，试求PQ的长．
（4）在第（3）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由．
2021-2022学年浙江省杭州市西湖区紫金港中学八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题。每小题3分、共30分）
1．（3分）如图所示图案是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，
故选：D．
2．（3分）一个三角形的两边长为2和6，第三边为偶数．则这个三角形的周长为（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：第三边的取值范围是大于4且小于8，又第三边是偶数，故第三边是6．
则该三角形的周长是14．
故选：B．
3．（3分）已知a＜b，则下列式子正确的是（ ）
A．a﹣5＞b﹣5 B．﹣5a＞﹣5b C．3a＞3b D．ax＞bx
【分析】由于a＜b，根据不等式的性质可以分别判定A、B、C、D 是否正确．
【解答】解：A、由a＜b得到a﹣5＜b﹣5，故本选项不符合题意．
B、由a＜b得到﹣5a＞﹣5b，故本选项符合题意．
C、由a＜b得到3a＜3b，故本选项不符合题意．
D、当x≥0时，ax＞bx不成立，故本选项不符合题意．
故选：B．
4．（3分）下列命题中是假命题的是（ ）
A．一个三角形中至少有两个锐角
B．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．同角的余角相等
D．一个角的补角大于这个角本身
【分析】直接利用三角形的性质以及角的有关性质分别分析得出答案．
【解答】解：A、一个三角形中至少有两个锐角，说法正确；
B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确；
C、同角的余角相等，说法正确；
D、一个角的补角大于这个角本身，说法错误，例如120°角的补角为60°；
故选：D．
5．（3分）如图，在△ABC和△FED中，AD＝FC，AB＝FE，下列条件中不能证明△ABC≌△FED的是（ ）
A．BC＝ED B．∠A＝∠F C．∠B＝∠E D．AB∥EF
【分析】欲使△ABC≌△FED，已知AD＝FC，得出AC＝DF，AB＝FE，可根据全等三角形判定定理SAS、SSS添加条件，逐一证明即可．
【解答】解：∵AD＝FC，
∴AC＝DF，
∵AB＝FE，
A、若添加BC＝ED，因为SSS证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意．
B、若添加∠A＝∠F，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意．
C、若添加∠B＝∠E，不能利用SSA证明△ABE≌△ACD，故本选项符合题意．
D、若添加AB∥EF，易得∠A＝∠F，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）不等式组的最大整数解是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．0
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而求出最大整数解即可．
【解答】解：，
解不等式①，得x≥﹣3，
解不等式②，得x＜﹣1，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜﹣1，
∴不等式组的最大整数解为﹣2．
故选：B．
7．（3分）已知a，b，c为△ABC的内角A，B，C所对应的边，满足下列条件的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．AB＝，BC＝4，AC＝5 B．a：b：c＝1：：2
C．∠A：∠B：∠C＝5：4：3 D．
【分析】依据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理以及直角三角形的性质，即可得到结论．
【解答】解：A、∵52+42＝25+16＝41＝（）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、设a＝x，b＝x，c＝2x，
∵x2+（x）2＝x2+3x2＝4x2＝（2x）2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A：∠B：∠C＝5：4：3，
∴∠A＝×180°＝75°≠90°，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
D、∵a＝c，b＝c，
∴a2+b2＝＝c2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
故选：C．
8．（3分）将一个含30°角的直角三角板ABC与一个矩形，如图放置，∠ACB＝90°，MN∥PQ．点A在直尺边MN上，点B在直尺边PQ上，BC交MN于点D，若∠ABP＝15°，AC＝2，则AD的长为（ ）
A．2 B．4 C．4 D．4
【分析】根据平行线的性质可得∠CAD＝45°，从而△ACD为等腰直角三角形，利用勾股定理即可得出答案．
【解答】解：∵∠ABC＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵MN∥PQ，
∴∠NAB＝∠ABP＝15°，
∴∠CAD＝45°，
∴△ACD为等腰直角三角形，
∴AC＝CD＝2，
∴AD＝＝2，
故选：A．
9．（3分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理可得BC，根据角平分线性质可得DE＝DC，根据三角形面积公式求出CD，即可求出BD．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，
∴BC＝＝＝4，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DC，
∵S△ABC＝AC•BC＝AC•CD+AB•DE，即×3×4＝×3CD+×5CD，
解得CD＝1.5，
∴BD＝4﹣CD＝4﹣1.5＝2.5．
故选：D．
10．（3分）如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成了一个大正方形ABCD，连结AC，交BE于点P，若正方形ABCD的面积为28，AE+BE＝7．则S△CFP﹣S△AEP的值是（ ）
A．3.5 B．4.5 C．5 D．5.5
【分析】先证明△AEP≌△CGM（ASA），则S△AEP＝S△CGM，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设AE＝x，BE＝7﹣x，根据勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，x2+（7﹣x）2＝28，则2x2﹣14x＝﹣21，整体代入可得结论．
【解答】解：∵正方形ABCD的面积为28，
∴AB2＝28，
设AE＝x，
∵AE+BE＝7，
∴BE＝7﹣x，
Rt△AEB中，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，
∴x2+（7﹣x）2＝28，
∴2x2﹣14x＝﹣21，
∵AH⊥BE，BE⊥CF，
∴AH∥CF，
∴∠EAP＝∠GCM，
∵“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD，
∴△AEB≌△CGD，
∴AE＝CG，
∴△AEP≌△CGM（ASA），
∴S△AEP＝S△CGM，EP＝MG，
∴S△CFP﹣S△AEP＝S△CFP﹣S△CGM＝S梯形FPMG＝（NG+PF）•FG＝EF•FG＝S正方形EHGF，
∵S矩形EHGF＝S正方形ABCD﹣4S△AEB＝28﹣4×x•（7﹣x）＝28﹣2x（7﹣x）＝28﹣21＝7，
则S△CFP﹣S△AEP的值是3.5；
故选：A．
二、填空题（本大题有6小题。每小题4分，共24分）
11．（4分）把命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是 如果两个角是内错角，那么这两个角相等 ；该命题是 假 命题（填“真”或“假”）．
【分析】根据命题的概念、平行线的性质判断即可．
【解答】解：命题：“内错角相等”改写成“如果…那么…”的形式是如果两个角是内错角，那么这两个角相等，
该命题是假命题，
故答案为：如果两个角是内错角，那么这两个角相等；假．
12．（4分）用不等式表示：x的2倍大于3 2x＞3 ；x的3倍与2的和不小于1 3x+2≥1 ．
【分析】首先表示x的2倍，再抓住关键词“大于3”列出不等式即可；首先表示x的3倍与2的和，再抓住关键词“不小于”列出不等式即可．．
【解答】解：根据题意得，2x＞3；3x+2≥1，
故答案为：2x＞3；3x+2≥1．
13．（4分）等腰△ABC的腰长AB＝AC＝10，底边上的高AD＝6，则底边BC＝ 16 ．
【分析】根据勾股定理即可求出BD的长，根据等腰三角形的三线合一得BC＝2BD．
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝＝8．
∵△ABC是等腰三角形，
∴BC＝2BD＝16．
故答案为：16．
14．（4分）如图，由两个直角三角形和三个正方形组成的图形．其中两正方形面积分别是S1＝22，S2＝14，AC＝10，则S3＝ 36 ；AB＝ 8 ．
【分析】根据两个正方形的面积和等于S3，然后根据勾股定理即可得到结论．
【解答】解：∵S1＝22，S2＝14，
∴S3＝S1+S2＝22+14＝36，
∴BC＝＝6，
∵AC＝10，
∴AB＝＝＝8，
故答案为：36；8．
15．（4分）已知不等式组的解集为x＞﹣1，则k的取值范围是 k≤﹣3 ．
【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组的解集为x＞﹣1，即可得到关于k的不等式，从而可以求得k的取值范围．
【解答】解：，
由不等式①，得：x＞﹣1，
由不等式②，得：x＞2+k，
∵不等式组的解集为x＞﹣1，
∴2+k≤﹣1，
解得k≤﹣3，
故答案为：k≤﹣3．
16．（4分）已知等腰Rt△ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD、则等腰Rt△ACD的面积为 1 ；再以Rt△ACD的斜边AD为直角边、画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推直到第五个等腰Rt△AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ；依此类推到第n个等腰直角三角形，由n个等腰直角三角形所构成的图形的面积为 ．
【分析】图形的构成规律是，从第二个等腰直角三角形开始，每一个等腰直角三角的直角边长都是前一个等腰三角形的直角边长的倍，按这一规律进行推导，即可求得结论．
【解答】解：∵AB＝CB＝1，∠B＝90°，
∴SRt△ABC＝×1×1＝；
∵AC＝＝AB＝×1＝，
∴SRt△ACD＝×（）2＝1；
同理AD＝AC＝×AB＝（）2×1＝（）2，
∴SRt△ADE＝×[（）2]2＝×（）4＝（）2＝2；
AE＝AD＝××AB＝（）3×1＝（）3，
∴SRt△AEF＝×[（）3]2＝×（）6＝（）4＝4；
AF＝AE＝×××AB＝（）4×1＝（）4，
∴SRt△AEF＝×（）4]2＝×（）8＝（）6＝8，
∴由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8＝；
按此规律，第n个等腰直角三角形的直角边长为（）n﹣1，
第n个等腰直角三角形的面积为[（）n﹣1]2＝＝[）2]n﹣2＝2n﹣2，
∵Sn＝+1+2+4+8+…+2n﹣2，
∴2Sn＝1+2+4+8+16+…+2n﹣2+2n﹣1，
∴Sn＝2Sn﹣Sn＝2n﹣1﹣＝，
故答案为：1，，．
三、解答题（本大题有7小题，共66分）
17．（6分）解不等式（组），并把解集在数轴上表示出来．
（1）3（x+1）≤5x+7；
（2）．
【分析】（1）根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得：3x+3≤5x+7，
移项，得：3x﹣5x≤7﹣3，
合并同类项，得：﹣2x≤4，
系数化为1，得：x≥﹣2，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解不等式4x﹣5＜3x+2，得：x＜7，
解不等式≥1，得：x≥，
∴不等式组的解集为≤x＜7，
将不等式组的解集表示在数轴上如下：
18．（8分）如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1）作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
（2）在（1）的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．
【分析】（1）根据题意作出图形即可；
（2）由于DE是AB的垂直平分线，得到AE＝BE，根据等腰三角形的性质得到∠EAB＝∠B＝50°，由三角形的外角的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）如图所示；
（2）∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B＝50°，
∴∠AEC＝∠EAB+∠B＝100°．
19．（8分）如图，△ABC与△DCB中，AC与BD交于点E，且∠A＝∠D，AB＝DC．
（1）求证：△ABE≌△DCE；
（2）当∠AEB＝50°，求∠EBC的度数．
【分析】（1）根据AAS即可推出△ABE和△DCE全等；
（2）根据三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根据三角形的外角性质得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．
【解答】（1）证明：在△ABE和△DCE中，
，
∴△ABE≌△DCE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△DCE，
∴BE＝EC，
∴∠EBC＝∠ECB，
∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，
∴∠EBC＝25°．
20．（10分）小明准备用一段长30米的篱笆围成一个三角形形状的小圈（篱笆全部用完），用于饲养家兔．已知第一条边长为a米，第二条边长是第一条边长的2倍多2米．
（1）请用a的代数式表示第三条边长；
（2）第一条边长可以为7米吗？为什么？
（3）如果围成的三角形是等腰三角形，求a的值．
【分析】（1）先表示出第二条边长，即可得出第三条边长；
（2）先根据a＝7，求出三边的长，根据三角形三边关系进行判断；
（3）根据题意需要先分类讨论，分别求出a的值，然后即可得出三角形的三边长，再根据三角形的三边关系进行判断即可．
【解答】解：（1）∵第二条边长为（2a+2）米，
∴第三条边长为30﹣a﹣（2a+2）＝（28﹣3a）米；
（2）不能，理由如下：
当a＝7时，三边长分别为7，16，7，
由于7+7＜16，所以不能构成三角形，
即第一条边长不能为7米；
（3）根据题意，需要分以下三种情况：
当a＝2a+2时，a＝﹣2，不合题意，不能构成等腰三角形；
当a＝28﹣3a时，a＝7，则该三角形的三边为：7，16，7，由于7+7＜16，所以不能构成三角形；
当2a+2＝28﹣3a时，a＝，则该三角形的三边为：，，，由于0＜＜，所以能构成等腰三角形；
综上所述，当a＝时，能构成等腰三角形．
21．（10分）等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D．
（1）如图1，当∠C＝3∠BAD时，求∠C的度数；
（2）如图2，EF垂直平分AB，交AC于点F，连接DF，当∠BAC＝45°时，求证：DF＝DC．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，设∠BAD＝α，则∠C＝∠B＝3α，根据三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接BF，根据垂直平分线的性质得到AF＝BF，求得∠AFB＝90°，得到∠BFC＝90°，根据等腰三角形的性质得到BD＝CD，根据直角三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵AD⊥BC，
∴∠BAC＝2∠BAD，
∵∠C＝3∠BAD，
∴设∠BAD＝α，则∠C＝∠B＝3α，
∴3α+3α+2α＝180°，
解得：α＝22.5°，
∴∠C＝3α＝67.5°；
（2）连接BF，
∵EF垂直平分AB，
∴AF＝BF，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，
∴∠AFB＝90°，
∴∠BFC＝90°，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴DF＝CD＝BC．
22．（12分）某五金商店购进甲、乙两种零件进行销售．若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，已知160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个．
（1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？
（2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润＝售价﹣进价）超过371元，通过计算求出该五金商店购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来．
【分析】（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，根据“每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，160元可以购进甲种零件10个与乙种零件8个”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每个甲种零件、每个乙种零件的进价；
（2）设该五金商店购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，根据“购进两种零件的总数量不超过95个，且销售两种零件的总利润超过371元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案．
【解答】解：（1）设每个甲种零件的进价为x元，每个乙种零件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：每个甲种零件的进价为8元，每个乙种零件的进价为10元．
（2）设该五金商店购进乙种零件m个，则购进甲种零件（3m﹣5）个，
依题意得：，
解得：23＜m≤25．
又∵m为正整数，
∴m可以为24，25，
∴该五金商店共有2种进货方案，
方案1：购进甲种零件67个，乙种零件24个；
方案2：购进甲种零件70个，乙种零件25个．
23．（12分）如图1，在等边△ABC中，线段AM为BC边上的高线．动点D在线段AM（点D与点A重合除外）上时，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连结BE．
（1）若DM＝MC，则∠ACD＝ 15 度，∠BCE＝ 15 度；
（2）判断AD与BE是否相等，请说明理由；
（3）如图2，若AB＝12，P、Q两点在直线BE上且满足CP＝CQ＝10，试求PQ的长．
（4）在第（3）小题的条件下，当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，判断PQ的长是否为定值，若是，请直接写出PQ的长；若不是，请简单说明理由．
【分析】（1）由等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求解即可；
（2）证△ACD≌△BCE（SAS），即可得出结论；
（3）过点C作CN⊥BQ于点N，由等腰三角形的性质得PQ＝2PN，再由勾股定理求出PN＝8，即可求解；
（4）当点D在线段AM的延长线（或反向延长线）上时，同（2）得△ACD≌△BCE（SAS），由全等三角形的性质得CN＝CM＝6，再由等腰三角形的性质和勾股定理得QN＝PN＝8，即可求解．
【解答】解：（1）∵△ABC和△CDE是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝DE，
∵线段AM为BC边上的高线，
∴AM⊥BC，
∴∠AMC＝90°，
∵DM＝MC，
∴△CDM是等腰直角三角形，
∴∠MCD＝45°，
∴∠ACD＝∠ACB﹣∠MCD＝60°﹣45°＝15°，∠BCE＝∠DCE﹣∠MCD＝60°﹣45°＝15°，
故答案为：15，15；
（2）AD＝BE．理由如下：
∵△ABC和△CDE都是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝∠DCE＝60°，CD＝DE，
∴∠ACB﹣∠MCD＝∠DCE﹣∠MCD，
即∠ACD＝∠BCE，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD＝BE；
（3）如图2，过点C作CN⊥BQ于点N，
∵CP＝CQ，
∴PQ＝2PN，
∵△ABC是等边三角形，AM是中线，
∴BC＝AB＝12，CM⊥AD，CM＝BC＝×12＝6，
∴CN＝CM＝6（全等三角形对应边上的高相等），
∵CP＝CQ＝10，
∴PN＝＝＝8，
∴PQ＝2PN＝16；
（4）PQ的长为定值16．理由如下：
当点D在线段AM的延长线上时，如图3所示：
同（2）得：△ACD≌△BCE（SAS），
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝6，
∵CQ＝CP＝10，
∴QN＝PN＝＝＝8，
∴PQ＝2PN＝16，
即PQ的长是定值；
当点D在线段AM的反向延长线上时，如图4所示：
同（2）得：△ACD≌△BCE（SAS），
∴对应边AD、BE上的高线对应相等，
∴CN＝CM＝6，
∵CQ＝CP＝10，
∴QN＝PN＝＝＝8，
∴PQ＝2PN＝16，
即PQ的长是定值；
综上所述，PQ的长是定值，为16．
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