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广东省广州市荔湾区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案）
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这是一份广东省广州市荔湾区2021-2022学年八年级上学期期中数学试卷（word版 含答案），共26页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之差小于第三边
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形的稳定性
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，7 C．1，4，6 D．3，4，5
4．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠C＝90° C．∠2+∠C＝90° D．∠1+∠2＝90°
6．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
9．如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34° B．36° C．44° D．46°
10．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③2CE＝BF；④AD+CF＝BD．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（每题3分，共18分）
11．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，则∠DEF的度数是 ．
12．等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为 ．
13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于 ．
14．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是 ．
15．如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 cm．
16．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．如图，AB＝AD，BC＝CD．求证：∠B＝∠D．
18．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
19．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（3，1），C（3，5）．
（1）点A关于x轴的对称点的坐标为 ；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）已知点D的横纵坐标都是整数，且△BCD和△BCA全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标 （D与A不重合）．
21．如图，在等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC、BD交于点M．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AMB的度数．
22．如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；
（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；
（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．
23．直线AB交x轴于点A（6，0），交y轴于点B（0，6）．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：△BOF≌△OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt△BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
24．如图1，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，∠FBE、∠FEC的平分线交于点G，求∠BGE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，且点G恰好落在AC上时，BG与AE交于点H，连接FG，试探究AB、AH、FG之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
2．如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之差小于第三边
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形的稳定性
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：D．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，7 C．1，4，6 D．3，4，5
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＝5＜7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、1+4＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
解：根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线垂足为D，
纵观各图形，选项ABD都不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠C＝90° C．∠2+∠C＝90° D．∠1+∠2＝90°
【分析】根据三角形内角和定理逐一判断即可．
解：如图，设AD与BE交于点F，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠1＝∠2，
故A正确；
∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠C＝90°，
故B正确；
∵∠BEC＝90°，
∴∠2+∠C＝90°，
故C正确；
∵由题意不能证明∠2＝∠BFD或∠1＝∠AFE，
故D错误，
故选：D．
6．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据两直线平行内错角相等，再根据SAS即可证明△ABC≌△DEF．
解：∵AC∥FD，
∴∠CAD＝∠ADF，
∵AE＝DB，
∴ED＝AB，
∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：B．
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α＝∠1+30°＝75°．
故选：D．
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
【解答】解如图，连接AD，
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，
∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，
∴∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34° B．36° C．44° D．46°
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∴∠PQC＝×（180°﹣32°﹣32°）﹣24°＝58°﹣24°＝34°，
故选：A．
10．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③2CE＝BF；④AD+CF＝BD．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由等腰直角三角形的性质可得BD＝CD，利用ASA判定△DFB≌△DAC，可得DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，可得2CE＝AC＝BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA，
在△DFB和△DAC中，
，
∴△DFB≌△DAC（ASA），
∴BF＝AC，DF＝AD，
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA），
∴CE＝AE＝AC．
又∵BF＝AC，
∴AC＝BF＝2CE；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC，
∴BG＝CG，
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG，
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
故选：B．
二.填空题（每题3分，共18分）
11．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，则∠DEF的度数是 30° ．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到∠DEF＝∠B＝30°．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∵∠B＝30°，
∴∠DEF＝30°，
故答案为：30°．
12．等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为 10 ．
【分析】因为已知长度为2和4两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：当2为底时，其它两边都为4，
∵2、4、4可以构成三角形，
∴周长为10；
当2为腰时，其它两边为2和4，
∵2+2＝4＝4，所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有10．
故答案为：10．
13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于 10 ．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故答案为：10．
14．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是 ① ．
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
解：带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故答案为：①．
15．如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 4 cm．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵AC＝BC＝8cm，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×8＝4（cm）．
故答案为：4．
16．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 8 个．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．
故答案为8．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．如图，AB＝AD，BC＝CD．求证：∠B＝∠D．
【分析】欲证明∠B＝∠D，只要证明△ADC≌△ABC即可．
【解答】证明：在△ADC和△ABC中
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠B＝∠D．
18．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
【分析】由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，进而得到∠CFE的度数，再根据三角形内角和定理求得∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE，
＝180°﹣60°，
＝120°，
∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE
＝180°﹣30°﹣120°
＝30°，
∴∠2＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
19．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．
【分析】要证AD平分∠BAC，只需证明△EBD≌△FCD，得到DE＝DF，利用角平分线的性质的逆定理即可解答．
解：∵AD是△ABC的中线（已知），
∴BD＝CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD是∠BAC的平分线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（3，1），C（3，5）．
（1）点A关于x轴的对称点的坐标为 （1，﹣4） ；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）已知点D的横纵坐标都是整数，且△BCD和△BCA全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标 （1，2），（5，2），（5，4） （D与A不重合）．
【分析】（1）根据关于x轴的对称点，得出A'坐标即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据全等三角形的性质解答即可．
解：（1）如图所示：A'（1，﹣4），
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图所示：
（3）如图所示，D（1，2），（5，2），（5，4）．
故答案为：（1，2），（5，2），（5，4）．
21．如图，在等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC、BD交于点M．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AMB的度数．
【分析】（1）证明△AOC≌△BOD（SAS）即可得出结论，
（2）根据全等三角形性质和三角形内角和定理即可求得∠AMB＝90°．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．
22．如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；
（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；
（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，加上DA＝DC，利用等线段代换得到BC＝△ADF的周长；
（3）先根据三角形内角和定理计算出∠B+∠C＝70°，再利用等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，所以∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C）．
解：（1）如图，GF为所作；
（2）∵FG垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∵DA＝DC，
∴BC＝BF+FD+CD＝FA+FD+DA＝△ADF的周长＝16cm；
（3）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵FA＝FB，DA＝DC，
∴∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠FAB﹣∠DAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．
23．直线AB交x轴于点A（6，0），交y轴于点B（0，6）．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：△BOF≌△OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt△BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可求解；
②由“ASA”可证△BOF≌△OAD；
（2）由“ASA”可证△BCO≌△CGN，可得GN＝OC，CN＝AO＝BO，可证△OAH是等腰直角三角形，可得OA＝OH＝6．
解：（1）①∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
又∵∠AOB＝90°，点M为AB的中点，
∴∠BOM＝45°；
②∵BC⊥OD，
∴∠BEO＝90°＝∠AOB，
∴∠BOE+∠OBE＝90°＝∠BOE+∠DOA，
∴∠OBE＝∠DOA，
∵OA＝OB＝6，AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°＝∠BOM，
在△OAD和△BOF中，
，
∴△OAD≌△BOF（ASA）；
（2）线段OH的长度不会变化，OH＝6，理由如下：
过G作GN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BCG＝90°，
∴∠BCO+∠GCN＝90°．
∵∠AOB＝∠GNC＝90°，
∴∠BCO＝∠CGN，∠CBO＝∠GCN．
∵BC＝CG，
∴△BCO≌△CGN（ASA），
∴GN＝OC，CN＝AO＝BO，
∴OC＝OA+AC＝CN+AC＝AN，
∴GN＝AN，
∴∠GAN＝45°＝∠OAH．
∵∠AOH＝90°，
∴△OAH是等腰直角三角形，
∴OA＝OH＝6．
∴无论P点怎么动，OH的长不变．
24．如图1，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，∠FBE、∠FEC的平分线交于点G，求∠BGE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，且点G恰好落在AC上时，BG与AE交于点H，连接FG，试探究AB、AH、FG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）可由∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC，AD＝CE得证；
（2）根据三角形的外角与内角的关系可得：∠AEC＝∠FBE+∠FBE＝2∠GBE+∠60°，∠GCE＝∠GBE+∠BGE，进而得证；
（3）作GH⊥BC于H，作GM⊥AE于M，作GN⊥BD于N，延长BF至P，使PF＝FG，连接PG，先得出∠EFG＝∠DFG＝60°，可得△PFG是等边三角形，从而证明△PBG≌△CBG，再证得∠FCG＝∠GBC从而∠ABH＝∠BCF，再证明△ABH≌△BCF（ASA），进而得出AB、AH、FG之间的数量关系．
【解答】（1）证明：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAE＝∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵AD＝CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
（2）解：如图2，
由（1）得：△ABD≌△CAE，∠CAE＝60°，
∴∠ABD＝∠CAE
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∵BG是∠FBE的平分线，EG是∠AEC的平分线，
∴∠FBE＝2∠GBE，∠AEC＝2∠CEG，
∵∠AEC＝∠FBE+∠FBE＝2∠GBE+∠60°①，
∠GCE＝∠GBE+∠BGE②，
∴①﹣②×2得：60°﹣2∠BGE＝0，
∴∠BGE＝30°；
（3）如图3，
作GH⊥BC于H，作GM⊥AE于M，作GN⊥BD于N，延长BF至P，使PF＝FG，连接PG，
∵EG平分∠AEC，
∴GH＝GM，
同理可得：GN＝GH，
∴GM＝GN，
∴FG平分∠DFE，
∵∠BFE＝60°，
∴∠EFG＝∠DFG＝60°，
∴△PFG是等边三角形，
∴∠P＝60°，PG＝FG，
∵∠PBG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△PBG≌△CBG（ASA），
∴BP＝BC，PG＝CG，
∴FG＝CG，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴∠AGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠FCG，
∵∠BFG+∠BCG＝120°+60°＝180°，
∴∠FBC+∠FGC＝180°，
∵∠AGF+∠FGC＝180°，
∴∠AGF＝∠FBC＝2∠GBC，
∴∠FCG＝∠GBC，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC﹣∠FCG＝∠ACB﹣∠GBC，
即∠ABH＝∠BCF，
∵∠CAE＝∠ABD，
∴∠BAE＝∠FBC，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCF（ASA），
∴AH＝BF，
∴BP＝BF+PF＝AH+FG，
∵BP＝BC，BC＝AB，
∴AB＝AH+FG．
2021-2022学年八年级第一学期期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之差小于第三边
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形的稳定性
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，7 C．1，4，6 D．3，4，5
4．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠C＝90° C．∠2+∠C＝90° D．∠1+∠2＝90°
6．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
9．如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34° B．36° C．44° D．46°
10．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③2CE＝BF；④AD+CF＝BD．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二.填空题（每题3分，共18分）
11．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，则∠DEF的度数是 ．
12．等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为 ．
13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于 ．
14．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是 ．
15．如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 cm．
16．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 个．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．如图，AB＝AD，BC＝CD．求证：∠B＝∠D．
18．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
19．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（3，1），C（3，5）．
（1）点A关于x轴的对称点的坐标为 ；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）已知点D的横纵坐标都是整数，且△BCD和△BCA全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标 （D与A不重合）．
21．如图，在等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC、BD交于点M．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AMB的度数．
22．如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；
（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；
（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．
23．直线AB交x轴于点A（6，0），交y轴于点B（0，6）．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：△BOF≌△OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt△BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
24．如图1，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，∠FBE、∠FEC的平分线交于点G，求∠BGE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，且点G恰好落在AC上时，BG与AE交于点H，连接FG，试探究AB、AH、FG之间的数量关系，并证明．
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列微信表情图标属于轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】结合轴对称图形的概念求解即可．
解：A、不是轴对称图形，本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，本选项不合题意；
C、是轴对称图形，本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，本选项不合题意．
故选：C．
2．如图，空调安装在墙上时，一般都会采用如图所示的方法固定，这种方法应用的几何原理是（ ）
A．三角形两边之差小于第三边
B．三角形两边之和大于第三边
C．垂线段最短
D．三角形的稳定性
【分析】钉在墙上的方法是构造三角形支架，因而应用了三角形的稳定性．
解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性，
故选：D．
3．下列长度的三条线段，能组成三角形的是（ ）
A．1，1，2 B．2，3，7 C．1，4，6 D．3，4，5
【分析】根据“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”对各选项进行进行逐一分析即可．
解：根据三角形的三边关系，得
A、1+1＝2，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
B、2+3＝5＜7，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C、1+4＝5＜6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
D、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．下列四个图中，正确画出△ABC中BC边上的高是（ ）
A．
B．
C．
D．
【分析】根据高的定义对各个图形观察后解答即可．
解：根据三角形高线的定义，BC边上的高是过点A向BC作垂线垂足为D，
纵观各图形，选项ABD都不符合题意，选项C符合题意．
故选：C．
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，则下列结论不一定成立的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠1+∠C＝90° C．∠2+∠C＝90° D．∠1+∠2＝90°
【分析】根据三角形内角和定理逐一判断即可．
解：如图，设AD与BE交于点F，
∵AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，
∴∠ADB＝∠AEB＝90°，
又∵∠AFE＝∠BFD，
∴∠1＝∠2，
故A正确；
∵∠ADC＝90°，
∴∠1+∠C＝90°，
故B正确；
∵∠BEC＝90°，
∴∠2+∠C＝90°，
故C正确；
∵由题意不能证明∠2＝∠BFD或∠1＝∠AFE，
故D错误，
故选：D．
6．如图，已知：AC＝DF，AC∥FD，AE＝DB，判断△ABC≌△DEF的依据是（ ）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】根据两直线平行内错角相等，再根据SAS即可证明△ABC≌△DEF．
解：∵AC∥FD，
∴∠CAD＝∠ADF，
∵AE＝DB，
∴ED＝AB，
∵AC＝DF，
∴△ABC≌△DEF（SAS），
故选：B．
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】利用两直线平行，内错角相等和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和计算．
解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1＝45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α＝∠1+30°＝75°．
故选：D．
8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝（ ）
A．90° B．130° C．180° D．360°
【分析】连接AD，由三角形内角和外角的关系可知∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，由四边形内角和是360°，即可求∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
【解答】解如图，连接AD，
∵∠1＝∠E+∠F，∠1＝∠ADE+∠DAF，
∴∠E+∠F＝∠ADE+∠DAF，
∴∠BAD+∠B+∠C+∠CDA＝360°，
∴∠BAF+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F＝360°．
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数是360°．
故选：D．
9．如图，在△ABC中，直线l为边BC的垂直平分线，l交AC于点Q，∠ABC的角平分线与l相交于点P．若∠BAC＝60°，∠ACP＝24°，则∠PQC是（ ）
A．34° B．36° C．44° D．46°
【分析】根据角平分线的定义得到∠ABP＝∠CBP，根据线段垂直平分线的性质得到PB＝PC，根据三角形内角和定理计算，得到答案．
解：∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP＝∠CBP，
∵直线l是线段BC的垂直平分线，
∴BP＝CP，
∴∠CBP＝∠BCP，
∴∠ABP＝∠BCP，
∵∠A+∠ACB+∠ABC＝180°，∠A＝60°，∠ACP＝24°，
∴3∠ABP+24°+60°＝180°，
∴∠ABP＝32°，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∴∠PQC＝×（180°﹣32°﹣32°）﹣24°＝58°﹣24°＝34°，
故选：A．
10．如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，DH⊥BC于H，交BE于G，下列结论：①BD＝CD；②AE＝BG；③2CE＝BF；④AD+CF＝BD．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】由等腰直角三角形的性质可得BD＝CD，利用ASA判定△DFB≌△DAC，可得DF＝AD，BF＝AC．则CD＝CF+AD，即AD+CF＝BD；再利用ASA判定Rt△BEA≌Rt△BEC，得出CE＝AE＝AC，可得2CE＝AC＝BF，连接CG．因为△BCD是等腰直角三角形，即BD＝CD．又因为DH⊥BC，那么DH垂直平分BC．即BG＝CG．在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，所以CE＜CG．即AE＜BG．
解：∵CD⊥AB，∠ABC＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形．
∴BD＝CD．故①正确；
在Rt△DFB和Rt△DAC中，∠DBF＝90°﹣∠BFD，∠DCA＝90°﹣∠EFC，
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴∠DBF＝∠DCA，
在△DFB和△DAC中，
，
∴△DFB≌△DAC（ASA），
∴BF＝AC，DF＝AD，
∵CD＝CF+DF，
∴AD+CF＝BD；故④正确；
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE．
在Rt△BEA和Rt△BEC中，
，
∴Rt△BEA≌Rt△BEC（ASA），
∴CE＝AE＝AC．
又∵BF＝AC，
∴AC＝BF＝2CE；故③正确；
连接CG．
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD
又DH⊥BC，
∴DH垂直平分BC，
∴BG＝CG，
在Rt△CEG中，CG是斜边，CE是直角边，
∴CE＜CG，
∵CE＝AE，
∴AE＜BG．故②错误．
故选：B．
二.填空题（每题3分，共18分）
11．如图，△ABC≌△DEF，∠B＝30°，则∠DEF的度数是 30° ．
【分析】根据全等三角形的性质即可得到∠DEF＝∠B＝30°．
解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∵∠B＝30°，
∴∠DEF＝30°，
故答案为：30°．
12．等腰三角形的两条边长为2，4，则等腰三角形的周长为 10 ．
【分析】因为已知长度为2和4两边，没由明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．
解：当2为底时，其它两边都为4，
∵2、4、4可以构成三角形，
∴周长为10；
当2为腰时，其它两边为2和4，
∵2+2＝4＝4，所以不能构成三角形，故舍去，
∴答案只有10．
故答案为：10．
13．一个多边形的每一个外角都等于36°，则这个多边形的边数n等于 10 ．
【分析】多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出多边形的边数．
解：∵一个多边形的每一个外角都等于36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10．
故答案为：10．
14．小良打碎了一块三角形玻璃如图所示，现在他要去玻璃店配一块完全一样的玻璃，如果他带了两块玻璃，其中有一块是②，另一块是 ① ．
【分析】可以采用排除法进行分析从而确定最后的答案．
解：带①②去，符合ASA判定，选项符合题意；
带②③去，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
带②④去，仅保留了原三角形的两个角和部分边，不符合任何判定方法，选项不符合题意；
故答案为：①．
15．如图，AC＝BC＝8cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为 4 cm．
【分析】根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BAC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠ACD＝30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答即可．
解：∵AC＝BC＝8cm，
∴∠B＝∠BAC＝15°，
∴∠ACD＝∠B+∠BAC＝15°+15°＝30°，
∵AD⊥BC，
∴AD＝AC＝×8＝4（cm）．
故答案为：4．
16．如图，在3×3的网格中，每个网格线的交点称为格点．已知图中A，B两个格点，请在图中再寻找另一个格点C，使△ABC成为等腰三角形，则满足条件的点C有 8 个．
【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．
解：如图，AB是腰长时，红色的4个点可以作为点C，
AB是底边时，黑色的4个点都可以作为点C，
所以，满足条件的点C的个数是4+4＝8．
故答案为8．
三.解答题（共8小题，共72分）
17．如图，AB＝AD，BC＝CD．求证：∠B＝∠D．
【分析】欲证明∠B＝∠D，只要证明△ADC≌△ABC即可．
【解答】证明：在△ADC和△ABC中
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠B＝∠D．
18．如图，直线AB∥CD，若∠1＝60°，∠2＝30°，求证：△FCE是等腰三角形．
【分析】由AB∥CD可得∠DFE＝∠1＝60°，进而得到∠CFE的度数，再根据三角形内角和定理求得∠CEF的度数，再根据等腰三角形的判定即可得出结论．
【解答】证明：∵AB∥CD，
∴∠DFE＝∠1＝60°，
∴∠CFE＝180°﹣∠DFE，
＝180°﹣60°，
＝120°，
∴∠CEF＝180°﹣∠2﹣∠CFE
＝180°﹣30°﹣120°
＝30°，
∴∠2＝∠CEF，
∴CF＝EF，
∴△FCE是等腰三角形．
19．如图，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BE＝CF，求证：AD是△ABC的平分线．
【分析】要证AD平分∠BAC，只需证明△EBD≌△FCD，得到DE＝DF，利用角平分线的性质的逆定理即可解答．
解：∵AD是△ABC的中线（已知），
∴BD＝CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴DE＝DF（全等三角形的对应边相等），
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD是∠BAC的平分线．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知A（1，4），B（3，1），C（3，5）．
（1）点A关于x轴的对称点的坐标为 （1，﹣4） ；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（3）已知点D的横纵坐标都是整数，且△BCD和△BCA全等，请直接写出所有满足条件的点D的坐标 （1，2），（5，2），（5，4） （D与A不重合）．
【分析】（1）根据关于x轴的对称点，得出A'坐标即可；
（2）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（3）根据全等三角形的性质解答即可．
解：（1）如图所示：A'（1，﹣4），
故答案为：（1，﹣4）；
（2）如图所示：
（3）如图所示，D（1，2），（5，2），（5，4）．
故答案为：（1，2），（5，2），（5，4）．
21．如图，在等腰Rt△OAB和等腰Rt△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AC、BD交于点M．
（1）求证：AC＝BD；
（2）求∠AMB的度数．
【分析】（1）证明△AOC≌△BOD（SAS）即可得出结论，
（2）根据全等三角形性质和三角形内角和定理即可求得∠AMB＝90°．
【解答】（1）证明：∵∠AOB＝∠COD＝90°，
∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，
∴∠BOD＝∠AOC，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC＝BD；
（2）解：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC＝∠OBD，
又∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠ABO＝∠ABM+∠OBD，∠MAB＝∠MAO+∠OAB，
∴∠MAB+∠MBA＝90°，
又∵∠AMB+∠ABM+∠BAM＝180°，
∴∠AMB＝180°﹣（∠ABM+∠BAM）＝180°﹣90°＝90°．
22．如图，在△ABC中，DE⊥AC于点E，DA＝DC．
（1）尺规作图：作线段AB的垂直平分线，交BC于点F，交AB于点G，连接AF；
（2）若△DAF的周长是16cm，求BC的长；
（3）若∠BAC＝110°，求∠DAF的度数．
【分析】（1）利用基本作图作AB的垂直平分线；
（2）根据线段垂直平分线的性质得到FA＝FB，加上DA＝DC，利用等线段代换得到BC＝△ADF的周长；
（3）先根据三角形内角和定理计算出∠B+∠C＝70°，再利用等腰三角形的性质得到∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，所以∠DAF＝∠BAC﹣（∠B+∠C）．
解：（1）如图，GF为所作；
（2）∵FG垂直平分AB，
∴FA＝FB，
∵DA＝DC，
∴BC＝BF+FD+CD＝FA+FD+DA＝△ADF的周长＝16cm；
（3）∵∠B+∠C+∠BAC＝180°，
∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，
∵FA＝FB，DA＝DC，
∴∠FAB＝∠B，∠DAC＝∠C，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠FAB﹣∠DAC＝∠BAC﹣（∠B+∠C）＝110°﹣70°＝40°．
23．直线AB交x轴于点A（6，0），交y轴于点B（0，6）．
（1）如图1，点M为AB的中点，点C在线段OA上，OM交BC于点F．
①求∠BOM的度数；
②如图2，若在线段AB上有点D，且满足BC⊥OD于点E，求证：△BOF≌△OAD．
（2）如图3，当点C在线段OA的延长线上任一点时，以BC为边作等腰Rt△BCG，其中CB＝CG，直线GA交y轴于点H，当C在x轴上A点右侧运动时，线段OH的长度是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，求线段OH的取值范围．
【分析】（1）①由等腰直角三角形的性质可求解；
②由“ASA”可证△BOF≌△OAD；
（2）由“ASA”可证△BCO≌△CGN，可得GN＝OC，CN＝AO＝BO，可证△OAH是等腰直角三角形，可得OA＝OH＝6．
解：（1）①∵点A（6，0），点B（0，6），
∴OA＝OB＝6，
又∵∠AOB＝90°，点M为AB的中点，
∴∠BOM＝45°；
②∵BC⊥OD，
∴∠BEO＝90°＝∠AOB，
∴∠BOE+∠OBE＝90°＝∠BOE+∠DOA，
∴∠OBE＝∠DOA，
∵OA＝OB＝6，AOB＝90°，
∴∠OAB＝45°＝∠BOM，
在△OAD和△BOF中，
，
∴△OAD≌△BOF（ASA）；
（2）线段OH的长度不会变化，OH＝6，理由如下：
过G作GN⊥x轴，垂足为N．
∵∠BCG＝90°，
∴∠BCO+∠GCN＝90°．
∵∠AOB＝∠GNC＝90°，
∴∠BCO＝∠CGN，∠CBO＝∠GCN．
∵BC＝CG，
∴△BCO≌△CGN（ASA），
∴GN＝OC，CN＝AO＝BO，
∴OC＝OA+AC＝CN+AC＝AN，
∴GN＝AN，
∴∠GAN＝45°＝∠OAH．
∵∠AOH＝90°，
∴△OAH是等腰直角三角形，
∴OA＝OH＝6．
∴无论P点怎么动，OH的长不变．
24．如图1，在等边三角形ABC中，D，E分别为AC，BC边上的点，AD＝CE，连接AE，BD交于点F．
（1）求证：△ABD≌△CAE；
（2）如图2，∠FBE、∠FEC的平分线交于点G，求∠BGE的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，且点G恰好落在AC上时，BG与AE交于点H，连接FG，试探究AB、AH、FG之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）可由∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC，AD＝CE得证；
（2）根据三角形的外角与内角的关系可得：∠AEC＝∠FBE+∠FBE＝2∠GBE+∠60°，∠GCE＝∠GBE+∠BGE，进而得证；
（3）作GH⊥BC于H，作GM⊥AE于M，作GN⊥BD于N，延长BF至P，使PF＝FG，连接PG，先得出∠EFG＝∠DFG＝60°，可得△PFG是等边三角形，从而证明△PBG≌△CBG，再证得∠FCG＝∠GBC从而∠ABH＝∠BCF，再证明△ABH≌△BCF（ASA），进而得出AB、AH、FG之间的数量关系．
【解答】（1）证明：如图1，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAE＝∠BAC＝∠C＝60°，AB＝AC，
∵AD＝CE，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
（2）解：如图2，
由（1）得：△ABD≌△CAE，∠CAE＝60°，
∴∠ABD＝∠CAE
∴∠BFE＝∠ABD+∠BAE＝∠CAE+∠BAE＝∠BAC＝60°，
∵BG是∠FBE的平分线，EG是∠AEC的平分线，
∴∠FBE＝2∠GBE，∠AEC＝2∠CEG，
∵∠AEC＝∠FBE+∠FBE＝2∠GBE+∠60°①，
∠GCE＝∠GBE+∠BGE②，
∴①﹣②×2得：60°﹣2∠BGE＝0，
∴∠BGE＝30°；
（3）如图3，
作GH⊥BC于H，作GM⊥AE于M，作GN⊥BD于N，延长BF至P，使PF＝FG，连接PG，
∵EG平分∠AEC，
∴GH＝GM，
同理可得：GN＝GH，
∴GM＝GN，
∴FG平分∠DFE，
∵∠BFE＝60°，
∴∠EFG＝∠DFG＝60°，
∴△PFG是等边三角形，
∴∠P＝60°，PG＝FG，
∵∠PBG＝∠CBG，BG＝BG，
∴△PBG≌△CBG（ASA），
∴BP＝BC，PG＝CG，
∴FG＝CG，
∴∠GFC＝∠GCF，
∴∠AGF＝∠GFC+∠GCF＝2∠FCG，
∵∠BFG+∠BCG＝120°+60°＝180°，
∴∠FBC+∠FGC＝180°，
∵∠AGF+∠FGC＝180°，
∴∠AGF＝∠FBC＝2∠GBC，
∴∠FCG＝∠GBC，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABC﹣∠FCG＝∠ACB﹣∠GBC，
即∠ABH＝∠BCF，
∵∠CAE＝∠ABD，
∴∠BAE＝∠FBC，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCF（ASA），
∴AH＝BF，
∴BP＝BF+PF＝AH+FG，
∵BP＝BC，BC＝AB，
∴AB＝AH+FG．
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