还剩20页未读，
继续阅读
2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷
展开
这是一份2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷，共23页。
2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣+2＝0 D．2x2＝1
3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝x2﹣2
4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
5．（3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．60（1+2x）＝100
B．100（1+x）2＝60
C．60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝1
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．（3分）抛物线y＝（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
9．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是 ．
12．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3有最 （填大或小）值，最值为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2+a图象上的两点，比较：y1 y2．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
16．（4分）在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2021的坐标为 ．
三.解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
19．（6分）已知二次函数的图象以点A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A2BC2．
四.解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数y＝x2+ax+a﹣2的图象与x轴有两个交点．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
23．（8分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，则每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
五.解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ．
（2）将图（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为 ，周长为 ．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 ．并证明你的结论．
25．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣+2＝0 D．2x2＝1
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断．
【解答】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程；
B：当a＝0时，不是一元二次方程；
C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程．
故选：D．
3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝x2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：根据题意y＝x2的图象向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2．
故选：C．
4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
【分析】把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【解答】解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
5．（3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．60（1+2x）＝100
B．100（1+x）2＝60
C．60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，结合4月、6月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，
∴60（1+x）2＝100．
故选：C．
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝1
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．
【解答】解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则＝﹣1，
解得，x＝1，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣3，x2＝1．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝120°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝120°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝60°
∴旋转角α的度数是60°，
故选：C．
8．（3分）抛物线y＝（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：C．
9．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2，
得t（20﹣5t）＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s，
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故结论正确；
②∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1．
∴2a+b＝0．
故结论错误；
③当x＝2时，4a+2b+c＞0，故结论正确；
④∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故结论不正确；
⑤如图，当y＞0时，﹣1＜x＜3，故结论不正确；
综上所述，正确的结论是①③．
故选：A．
二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P（1，﹣2），
∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）．
12．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3有最 小 （填大或小）值，最值为 ﹣4 ．
【分析】首先运用配方法得到顶点式，即可求得结论．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点为（1，﹣4），
∵a＝1＞0，
∴y有最小值，y最小值＝﹣4．
故答案是：小，﹣4．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到Δ＝9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣1≠0，
∴9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，
∴m＜且m≠1，
故答案为：m＜且m≠1．
14．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2+a图象上的两点，比较：y1 ＜ y2．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为y轴，再根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）与（2，y1）关于y轴对称
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且5＞2
∴y1＜y2．
故答案为＜．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 18 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+6＝8，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为4+6+8＝18，
故答案为：18．
16．（4分）在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是 x（x﹣1）＝28 ．
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：x（x﹣1）次；已知“所有人共握手28次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，
根据题意得：x（x﹣1）＝28．
故答案为：x（x﹣1）＝28．
17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2021的坐标为 （﹣1011，10112） ．
【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2021（﹣1011，10112），
故答案为（﹣1011，10112）．
三.解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】利用求根公式x＝进行解答即可．
【解答】解：3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1
∴Δ＝b2﹣4ac＝13＞0，
则x＝，
解得x1＝，x2＝．
19．（6分）已知二次函数的图象以点A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把（2，﹣5）代入求出a的值即可；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴y随x的增大而增大时自变量x的取值范围是x＜﹣1．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A2BC2．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作．
四.解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数y＝x2+ax+a﹣2的图象与x轴有两个交点．
【分析】（1）将x＝1代入方程求a，根据x1•x2＝求方程另一个根．
（2）令y＝0，求出方程判别式Δ进行判断．
【解答】（1）解：把x＝1代入x2+ax+a﹣2＝0得1+2a﹣2＝0，
解得a＝，
∴原方程为x2+x﹣＝0，
∵x1＝1，
∵x1•x2＝x2＝﹣．
（2）证明：令y＝0，则0＝x2+ax+a﹣2，
∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【分析】（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF＝AF＝2，DF∥AB，
∴∠1＝∠BAC＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF＝2，
∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．
23．（8分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，则每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
【分析】（1）设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，根据：每件盈利×销售量＝总盈利，列方程求解．注意扩大销售量，实际上就是要降价多一些；
（2）根据（1）直接列出盈利的函数关系式，整理为二次函数的一般式，根据顶点坐标公式求二次函数的最大值．
【解答】解：（1）设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x1＝10，x2＝20，
因为要减少库存，x＝20．即降价20元；
（2）y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
当x＝15元时，有最大值y＝1250，
答：降价20元时可降低库存，并使每天盈利1200元；每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元．
五.解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 4 ，周长为 4+4 ．
（2）将图（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为 4 ，周长为 8 ．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 4 ．并证明你的结论．
【分析】（1）如图（1）中，根据AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM＝MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长．
（2）如图（2）中，易得重叠部分是正方形，边长为AC，面积为AC2，周长为2AC．
（3）如图（3）中，过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积．
【解答】解：（1）如图（1）中，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∵M是AB的中点，
∴AM＝2，
∵∠ACM＝45°，
∴AM＝MC，
∴重叠部分的面积是＝4，
∴周长为：AM+MC+AC＝2+2+4＝4+4；
故答案为：4，4+4．
（2）如图（2）中，∵叠部分是正方形，
∴边长为×4＝2，面积为×4×4＝4，
周长为2×4＝8．
故答案为：4，8．
（3）如图（3）中，过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝4，
∴MH＝BC，
ME＝AC，
∴MH＝ME，
又∵∠NMK＝∠HME＝90°，
∴∠NMH+∠HMK＝90°，∠EMG+∠HMK＝90°，
∴∠HMD＝∠EMG，
在△MHD和△MEG中，
，
∴△MHD≌△MEG（ASA），
∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，
∵正方形CEMH的面积是ME•MH＝×4××4＝4；
∴阴影部分的面积是4；
故答案为：4．
25．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
（3）本题应分情况讨论：
①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；
②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；（1分）
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为：（2分）
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在中，令y＝0，
得方程
解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴
解这个方程组，得
∴AC的解析式为：（3分）
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝
＝
设，（4分）
当x＝﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值（5分）
（3）如图所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴
解得x1＝0，x2＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴，
x2+3x﹣8＝0
解得或，
此时存在点和
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3），，．
2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣+2＝0 D．2x2＝1
3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝x2﹣2
4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
5．（3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．60（1+2x）＝100
B．100（1+x）2＝60
C．60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝1
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
8．（3分）抛物线y＝（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
9．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是 ．
12．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3有最 （填大或小）值，最值为 ．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 ．
14．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2+a图象上的两点，比较：y1 y2．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 ．
16．（4分）在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是 ．
17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2021的坐标为 ．
三.解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
19．（6分）已知二次函数的图象以点A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A2BC2．
四.解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数y＝x2+ax+a﹣2的图象与x轴有两个交点．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
23．（8分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，则每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
五.解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ．
（2）将图（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为 ，周长为 ．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 ．并证明你的结论．
25．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2021-2022学年广东省中山市九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故A选项错误；
B、不是中心对称图形，故B选项错误；
C、不是中心对称图形，故C选项错误；
D、是中心对称图形，故D选项正确．
故选：D．
2．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．（x﹣3）x＝x2+2 B．ax2+bx+c＝0
C．3x2﹣+2＝0 D．2x2＝1
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高常数是2整式方程是一元二次方程．对每个方程进行分析，作出判断．
【解答】解：A：化简后不含二次项，不是一元二次方程；
B：当a＝0时，不是一元二次方程；
C：是分式方程，不是整式方程，所以不是一元二次方程；
D：符合一元二次方程的定义，是一元二次方程．
故选：D．
3．（3分）将抛物线y＝x2向右平移2个单位后，抛物线的解析式为（ ）
A．y＝（x+2）2 B．y＝x2+2 C．y＝（x﹣2）2 D．y＝x2﹣2
【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律求则可．
【解答】解：根据题意y＝x2的图象向右平移2个单位得y＝（x﹣2）2．
故选：C．
4．（3分）用配方法解方程x2+6x+4＝0时，原方程变形为（ ）
A．（x+3）2＝9 B．（x+3）2＝13 C．（x+3）2＝5 D．（x+3）2＝4
【分析】把常数项4移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数6的一半的平方．
【解答】解：由x2+6x+4＝0可得：x2+6x＝﹣4，
则x2+6x+9＝﹣4+9，
即：（x+3）2＝5，
故选：C．
5．（3分）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5，6两个月营业额的月平均增长率为x，则下列方程中正确的是（ ）
A．60（1+2x）＝100
B．100（1+x）2＝60
C．60（1+x）2＝100
D．60+60（1+x）+60（1+x）2＝100
【分析】根据该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，结合4月、6月营业额即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：∵该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，
∴60（1+x）2＝100．
故选：C．
6．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的解为（ ）
A．x1＝﹣3，x2＝0 B．x1＝3，x2＝﹣1
C．x1＝﹣3，x2＝﹣1 D．x1＝﹣3，x2＝1
【分析】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根即为二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标．
【解答】解：根据图象知，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点是（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1．
设该抛物线与x轴的另一个交点是（x，0）．
则＝﹣1，
解得，x＝1，
即该抛物线与x轴的另一个交点是（1，0）．
所以关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根为x1＝﹣3，x2＝1．
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0°＜α＜180°）得到△ADE，若DE∥AB，则α的值为（ ）
A．50° B．55° C．60° D．65°
【分析】根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据旋转得出∠EDA＝∠ABC＝120°，根据平行线的性质求出∠DAB即可．
【解答】解：∵在△ABC中，∠BAC＝45°，∠C＝15°，
∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠C＝180°﹣45°﹣15°＝120°，
∵将△ABC绕点A逆时针旋转α角度（0＜α＜180°）得到△ADE，
∴∠ADE＝∠ABC＝120°，
∵DE∥AB，
∴∠ADE+∠DAB＝180°，
∴∠DAB＝180°﹣∠ADE＝60°
∴旋转角α的度数是60°，
故选：C．
8．（3分）抛物线y＝（x+1）2+3的顶点坐标是（ ）
A．（1，﹣3） B．（1，3） C．（﹣1，3） D．（﹣1，﹣3）
【分析】根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
【解答】解：抛物线y＝2（x+1）2+3的顶点坐标是（﹣1，3）．
故选：C．
9．（3分）如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）具有函数关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地的所用时间为（ ）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【分析】根据关系式，令h＝0即可求得t的值为飞行的时间．
【解答】解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2，
得t（20﹣5t）＝0，
解得t＝0（舍去）或t＝4，
即小球从飞出到落地所用的时间为4s，
故选：B．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，则下列结论：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＞0；④3a+c＞0；⑤当y＜0时，﹣1＜x＜3．其中正确的个数为（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴判定b与0的关系以及2a+b＝0；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝0；然后由图象确定当x取何值时，y＞0．
【解答】解：①∵开口向下，
∴a＜0，
∵对称轴在y轴右侧，
∴﹣＞0，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，故结论正确；
②∵对称轴为直线x＝1，
∴﹣＝1．
∴2a+b＝0．
故结论错误；
③当x＝2时，4a+2b+c＞0，故结论正确；
④∵对称轴x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故结论不正确；
⑤如图，当y＞0时，﹣1＜x＜3，故结论不正确；
综上所述，正确的结论是①③．
故选：A．
二.填空题（共7小题，每小题4分，共28分）
11．（4分）点P（1，﹣2）关于原点的对称点的坐标是 （﹣1，2） ．
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）可以直接得到答案．
【解答】解：∵点P（1，﹣2），
∴关于原点的对称点的坐标是：（﹣1，2）
故答案为：（﹣1，2）．
12．（4分）抛物线y＝x2﹣2x﹣3有最 小 （填大或小）值，最值为 ﹣4 ．
【分析】首先运用配方法得到顶点式，即可求得结论．
【解答】解：y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点为（1，﹣4），
∵a＝1＞0，
∴y有最小值，y最小值＝﹣4．
故答案是：小，﹣4．
13．（4分）若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 m＜且m≠1 ．
【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义得到Δ＝9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，求出m的取值范围即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+2＝0总有两个不相等的实数根，
∴Δ＞0且m﹣1≠0，
∴9﹣4×（m﹣1）×2＞0且m﹣1≠0，
∴m＜且m≠1，
故答案为：m＜且m≠1．
14．（4分）已知点A（﹣2，y1），B（5，y2）为函数y＝x2+a图象上的两点，比较：y1 ＜ y2．
【分析】先根据函数解析式确定出对称轴为y轴，再根据二次函数的增减性解答．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+a，
∴图象开口向上，对称轴为y轴，
∴A（﹣2，y1）与（2，y1）关于y轴对称
∵当x＞0时，y随x的增大而增大，且5＞2
∴y1＜y2．
故答案为＜．
15．（4分）一个三角形的两边长分别为6和8，第三边长是方程x2﹣6x+8＝0的根，则这个三角形的周长为 18 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到x1＝2，x2＝4，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为4，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
所以x1＝2，x2＝4，
而2+6＝8，
所以三角形第三边的长为4，
所以三角形的周长为4+6+8＝18，
故答案为：18．
16．（4分）在某次聚会上每两人都握了一次手，所有的共握手28次，设有x人参加这次聚会，则列出方程正确的是 x（x﹣1）＝28 ．
【分析】如果有x人参加了聚会，则每个人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每两个人都握了一次手，因此要将重复计算的部分除去，即一共握手：x（x﹣1）次；已知“所有人共握手28次”，据此可列出关于x的方程．
【解答】解：设x人参加这次聚会，则每个人需握手：（x﹣1）次，
根据题意得：x（x﹣1）＝28．
故答案为：x（x﹣1）＝28．
17．（4分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4…，依次进行下去，则点A2021的坐标为 （﹣1011，10112） ．
【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y＝x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标．
【解答】解：∵A点坐标为（1，1），
∴直线OA为y＝x，A1（﹣1，1），
∵A1A2∥OA，
∴直线A1A2为y＝x+2，
解得或，
∴A2（2，4），
∴A3（﹣2，4），
∵A3A4∥OA，
∴直线A3A4为y＝x+6，
解得或，
∴A4（3，9），
∴A5（﹣3，9）
…，
∴A2021（﹣1011，10112），
故答案为（﹣1011，10112）．
三.解答题（一）（共3小题，每题6分，共18分）
18．（6分）解方程：3x2﹣x﹣1＝0．
【分析】利用求根公式x＝进行解答即可．
【解答】解：3x2﹣x﹣1＝0，
∵a＝3，b＝﹣1，c＝﹣1
∴Δ＝b2﹣4ac＝13＞0，
则x＝，
解得x1＝，x2＝．
19．（6分）已知二次函数的图象以点A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）．
（1）求该函数的解析式；
（2）直接写出y随x的增大而增大时自变量x的取值范围．
【分析】（1）设顶点式y＝a（x+1）2+4，然后把（2，﹣5）代入求出a的值即可；
（2）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）设抛物线解析式为y＝a（x+1）2+4，
把（2，﹣5）代入得a•9+4＝﹣5，
解得a＝﹣1，
所以抛物线解析式为y＝﹣（x+1）2+4，即y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
∴y随x的增大而增大时自变量x的取值范围是x＜﹣1．
20．（6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1；
（2）画出△ABC绕点B顺时针方向旋转90°得到的△A2BC2．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、C的对应点A2、C2即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2BC2为所作．
四.解答题（二）（共3小题，每题8分，共24分）
21．（8分）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2＝0．
（1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；
（2）求证：二次函数y＝x2+ax+a﹣2的图象与x轴有两个交点．
【分析】（1）将x＝1代入方程求a，根据x1•x2＝求方程另一个根．
（2）令y＝0，求出方程判别式Δ进行判断．
【解答】（1）解：把x＝1代入x2+ax+a﹣2＝0得1+2a﹣2＝0，
解得a＝，
∴原方程为x2+x﹣＝0，
∵x1＝1，
∵x1•x2＝x2＝﹣．
（2）证明：令y＝0，则0＝x2+ax+a﹣2，
∵Δ＝a2﹣4（a﹣2）＝（a﹣2）2+4＞0，
∴二次函数图象与x轴有2个交点．
22．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，连接BE、CF相交于点D．
（1）求证：BE＝CF；
（2）当四边形ABDF为菱形时，求CD的长．
【分析】（1）根据旋转的性质得AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，然后根据“SAS”证明△ABE≌△ACF，于是根据全等三角形的性质即可得到结论；
（2）根据菱形的性质得DF＝AF＝2，DF∥AB，再利用平行线的性质得∠1＝∠BAC＝45°，则可判断△ACF为等腰直角三角形，所以CF＝AF＝2，然后计算CF﹣DF即可．
【解答】（1）证明：∵△AEF是由△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到的，
∴AE＝AF＝AB＝AC＝2，∠EAF＝∠BAC＝45°，
∴∠BAC+∠3＝∠EAF+∠3，即∠BAE＝∠CAF，
在△ABE和△ACF中
，
∴△ABE≌△ACF，
∴BE＝CF；
（2）解：∵四边形ABDF为菱形，
∴DF＝AF＝2，DF∥AB，
∴∠1＝∠BAC＝45°，
∴△ACF为等腰直角三角形，
∴CF＝AF＝2，
∴CD＝CF﹣DF＝2﹣2．
23．（8分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件．
（1）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（2）设每件降价x元，每天盈利y元，则每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
【分析】（1）设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，每件盈利（40﹣x）元，根据：每件盈利×销售量＝总盈利，列方程求解．注意扩大销售量，实际上就是要降价多一些；
（2）根据（1）直接列出盈利的函数关系式，整理为二次函数的一般式，根据顶点坐标公式求二次函数的最大值．
【解答】解：（1）设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，
（40﹣x）（20+2x）＝1200，
解得x1＝10，x2＝20，
因为要减少库存，x＝20．即降价20元；
（2）y＝（40﹣x）（20+2x）
＝﹣2x2+60x+800
当x＝15元时，有最大值y＝1250，
答：降价20元时可降低库存，并使每天盈利1200元；每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元．
五.解答题（三）（共2小题，每题10分，共20分）
24．（10分）一位同学拿了两块45°三角尺△MNK，△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC＝BC＝4．
（1）如图（1），两三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 4 ，周长为 4+4 ．
（2）将图（1）中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图（2），此时重叠部分的面积为 4 ，周长为 8 ．
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图（1）和图（2）的图形，如图（3），请你猜想此时重叠部分的面积为 4 ．并证明你的结论．
【分析】（1）如图（1）中，根据AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出AM＝MC，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长．
（2）如图（2）中，易得重叠部分是正方形，边长为AC，面积为AC2，周长为2AC．
（3）如图（3）中，过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E．求得Rt△MHD≌Rt△MEG，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积．
【解答】解：（1）如图（1）中，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝＝＝4，
∵M是AB的中点，
∴AM＝2，
∵∠ACM＝45°，
∴AM＝MC，
∴重叠部分的面积是＝4，
∴周长为：AM+MC+AC＝2+2+4＝4+4；
故答案为：4，4+4．
（2）如图（2）中，∵叠部分是正方形，
∴边长为×4＝2，面积为×4×4＝4，
周长为2×4＝8．
故答案为：4，8．
（3）如图（3）中，过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC＝BC＝4，
∴MH＝BC，
ME＝AC，
∴MH＝ME，
又∵∠NMK＝∠HME＝90°，
∴∠NMH+∠HMK＝90°，∠EMG+∠HMK＝90°，
∴∠HMD＝∠EMG，
在△MHD和△MEG中，
，
∴△MHD≌△MEG（ASA），
∴阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，
∵正方形CEMH的面积是ME•MH＝×4××4＝4；
∴阴影部分的面积是4；
故答案为：4．
25．（10分）已知：如图，抛物线y＝ax2+3ax+c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧．点B的坐标为（1，0），OC＝3BO．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；
（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上．是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）已知了B点坐标，易求得OB、OC的长，进而可将B、C的坐标代入抛物线中，求出待定系数的值，即可得出抛物线的解析式．
（2）根据A、C的坐标，易求得直线AC的解析式．由于AB、OC都是定值，则△ABC的面积不变，若四边形ABCD面积最大，则△ADC的面积最大；可过D作x轴的垂线，交AC于M，x轴于N；易得△ADC的面积是DM与OA积的一半，可设出N点的坐标，分别代入直线AC和抛物线的解析式中，即可求出DM的长，进而可得出四边形ABCD的面积与N点横坐标间的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出四边形ABCD的最大面积．
（3）本题应分情况讨论：
①过C作x轴的平行线，与抛物线的交点符合P点的要求，此时P、C的纵坐标相同，代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标；
②将AC平移，令C点落在x轴（即E点）、A点落在抛物线（即P点）上；可根据平行四边形的性质，得出P点纵坐标（P、C纵坐标的绝对值相等），代入抛物线的解析式中即可求得P点坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），
∴OB＝1；
∵OC＝3BO，
∴C（0，﹣3）；（1分）
∵y＝ax2+3ax+c过B（1，0）、C（0，﹣3），
∴；
解这个方程组，得
∴抛物线的解析式为：（2分）
（2）过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M、N
在中，令y＝0，
得方程
解这个方程，得x1＝﹣4，x2＝1
∴A（﹣4，0）
设直线AC的解析式为y＝kx+b
∴
解这个方程组，得
∴AC的解析式为：（3分）
∵S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC
＝
＝
设，（4分）
当x＝﹣2时，DM有最大值3
此时四边形ABCD面积有最大值（5分）
（3）如图所示，
①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，此时四边形ACP1E1为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P1（x，﹣3）
∴
解得x1＝0，x2＝﹣3
∴P1（﹣3，﹣3）；
②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形，
∵C（0，﹣3）
∴设P（x，3），
∴，
x2+3x﹣8＝0
解得或，
此时存在点和
综上所述存在3个点符合题意，坐标分别是P1（﹣3，﹣3），，．
相关试卷
2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年广东省中山市九年级（上）期末数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年广东省中山市七年级（上）期中数学试卷(解析版)： 这是一份2022-2023学年广东省中山市七年级（上）期中数学试卷(解析版)，共14页。试卷主要包含了选择题等内容，欢迎下载使用。
初中数字七上2017-2018学年广东省中山市期中联考数学试卷含答案： 这是一份初中数字七上2017-2018学年广东省中山市期中联考数学试卷含答案，共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
