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    2021-2022学年广东省惠州市博罗实验学校九年级(上)期中数学试卷(解析版)

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    这是一份2021-2022学年广东省惠州市博罗实验学校九年级(上)期中数学试卷(解析版),共21页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    2017-2018学年广东省惠州市博罗实验学校九年级(上)期中数学试卷
     
    一、选择题(本题10小题,每小题3分,共30分.)
    1.(3分)方程x2﹣4=0的解是(  )
    A.4 B.±2 C.2 D.﹣2
    2.(3分)在平面直角坐标系内,点P(﹣2,3)关于原点的对称点Q的坐标为(  )
    A.(2,﹣3) B.(2,3) C.(3,﹣2) D.(﹣2,﹣3)
    3.(3分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    4.(3分)用配方法解方程:x2﹣4x+2=0,下列配方正确的是(  )
    A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=6
    5.(3分)由二次函数y=2(x﹣3)2+1,可知(  )
    A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=﹣3
    C.其最小值为1 D.当x<3时,y随x的增大而增大
    6.(3分)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD丄AB,∠CAB=20°,则∠AOD等于(  )

    A.160° B.150° C.140° D.120°
    7.(3分)如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是(  )

    A.22° B.26° C.32° D.68°
    8.(3分)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是(  )

    A.25° B.30° C.35° D.40°
    9.(3分)抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线解析式是(  )
    A.y=(x+1)2+3 B.y=(x+1)2﹣3 C.y=(x﹣1)2﹣3 D.y=(x﹣1)2+3
    10.(3分)如图,已知正△ABC的边长为2,E、F、G分别是AB、BC、CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是(  )

    A. B. C. D.
     
    二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
    11.(4分)如图, A、B、C三点在⊙O上,且∠AOB=70°,则∠C=   度.

    12.(4分)圣诞节时,一个小组有x人,他们每两人之间互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则可列方程为   .
    13.(4分)将一个正六边形绕着其中心,至少旋转   度可以和原来的图形重合.
    14.(4分)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为   .

    15.(4分)如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分,请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是   .

    16.(4分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是   m.
    [来源:学科网ZXXK]
     
    三、解答题(本大题3小题,每小题6分,共18分)
    17.(6分)解方程:x2﹣x﹣12=0.
    18.(6分)如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

    19.(6分)如图,已知点A、B、C的坐标分别为(0,0),(4,0),(5,2)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′.
    (1)画出△AB′C′;
    (2)求点C′的坐标.

     
    四、解答题(本大题3小题,每小题7分,共21分)
    20.(7分)现有一块长20cm,宽10cm的长方形铁皮,在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形,用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子,请求出剪去的小正方形的边长.
    [来源:学#科#网Z#X#X#K]
    21.(7分)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B1A1C=30°)按图1的方式放置,固定三角板A1B1C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图2所示的位置,AB与A1C交于点E,AC与A1B1交于点F,AB与A1B1交于点O.
    (1)求证:△BCE≌△B1CF;
    (2)当旋转角等于30°时,AB与A1B1垂直吗?请说明理由.

    22.(7分)如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm,水深GF=2cm.若水面上升2cm(EG=2cm),则此时水面宽AB为多少?

     
    五、解答题(本大题3小题,每小题9分,共27分)
    23.(9分)已知,如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
    (3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    24.(9分)如图,某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长25m,另外三边用木栏围着,木栏长40m.[来源:Z,xx,k.Com]
    (1)若养鸡场面积为200m2,求鸡场平行于墙的一边长.
    (2)养鸡场面积能达到250m2吗?如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理由.

    25.(9分)如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
    (1)求点P与点P′之间的距离;
    (2)求∠APB的大小.

     

    2017-2018学年广东省惠州市博罗实验学校九年级(上)期中数学试卷
    参考答案与试题解析
     
    一、选择题(本题10小题,每小题3分,共30分.)
    1.(3分)方程x2﹣4=0的解是(  )
    A.4 B.±2 C.2 D.﹣2
    【解答】解:x2﹣4=0,
    ∴x2=4,
    开平方得:x=±2.
    故选:B.
     
    2.(3分)在平面直角坐标系内,点P(﹣2,3)关于原点的对称点Q的坐标为(  )
    A.(2,﹣3) B.(2,3) C.(3,﹣2) D.(﹣2,﹣3)
    【解答】解:根据中心对称的性质,得点P(﹣2,3)关于原点对称点P′的坐标是(2,﹣3).
    故选:A.
     
    3.(3分)下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是(  )
    A. B. C. D.
    【解答】解:A、不是中心对称图形,是轴对称图形;
    B、是中心对称图形,不是轴对称图形;
    C、是中心对称图形,也是轴对称图形;
    D、是中心对称图形,也是轴对称图形.
    故选:B.
     
    4.(3分)用配方法解方程:x2﹣4x+2=0,下列配方正确的是(  )
    A.(x﹣2)2=2 B.(x+2)2=2 C.(x﹣2)2=﹣2 D.(x﹣2)2=6
    【解答】解:把方程x2﹣4x+2=0的常数项移到等号的右边,得到x2﹣4x=﹣2,
    方程两边同时加上一次项系数一半的平方,得到x2﹣4x+4=﹣2+4,
    配方得(x﹣2)2=2.
    故选:A.
     
    5.(3分)由二次函数y=2(x﹣3)2+1,可知(  )
    A.其图象的开口向下 B.其图象的对称轴为直线x=﹣3
    C.其最小值为1 D.当x<3时,y随x的增大而增大
    【解答】解:由二次函数y=2(x﹣3)2+1,可知:
    A:∵a>0,其图象的开口向上,故此选项错误;
    B.∵其图象的对称轴为直线x=3,故此选项错误;
    C.其最小值为1,故此选项正确;
    D.当x<3时,y随x的增大而减小,故此选项错误.
    故选:C.
     
    6.(3分)如图,线段AB是⊙O的直径,弦CD丄AB,∠CAB=20°,则∠AOD等于(  )

    A.160° B.150° C.140° D.120°
    【解答】解:∵线段AB是⊙O的直径,弦CD丄AB,
    ∴=,
    ∵∠CAB=20°,
    ∴∠BOD=40°,
    ∴∠AOD=140°.
    故选:C.
     
    7.(3分)如图,圆O是△ABC的外接圆,∠A=68°,则∠OBC的大小是(  )

    A.22° B.26° C.32° D.68°
    【解答】解:∵∠A与∠BOC是同弧所对的圆周角与圆心角,∠A=68°,
    ∴∠BOC=2∠A=136°.
    ∵OB=OC,
    ∴∠OBC==22°.
    故选:A.
     
    8.(3分)如图,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,若∠AOB=15°,则∠AOB′的度数是(  )

    A.25° B.30° C.35° D.40°
    【解答】解:∵将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′,
    ∴∠A′OA=45°,∠AOB=∠A′OB′=15°,
    ∴∠AOB′=∠A′OA﹣∠A′OB′=45°﹣15°=30°,
    故选:B.
     
    9.(3分)抛物线y=x2先向右平移1个单位,再向上平移3个单位,得到新的抛物线解析式是(  )
    A.y=(x+1)2+3 B.y=(x+1)2﹣3 C.y=(x﹣1)2﹣3 D.y=(x﹣1)2+3
    【解答】解:由“左加右减”的原则可知,抛物线y=x2向右平移1个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2;
    由“上加下减”的原则可知,抛物线y=(x﹣1)2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为:y=(x﹣1)2+3.
    故选:D.
     
    10.(3分)如图,已知正△ABC的边长为2,E、F、G分别是AB、BC、CA上的点,且AE=BF=CG,设△EFG的面积为y,AE的长为x,则y关于x的函数图象大致是(  )

    A. B. C. D.
    【解答】解:根据题意,有AE=BF=CG,且正三角形ABC的边长为2,
    故BE=CF=AG=2﹣x;
    故△AEG、△BEF、△CFG三个三角形全等.
    在△AEG中,AE=x,AG=2﹣x.
    则S△AEG=AE×AG×sinA=x(2﹣x);
    故y=S△ABC﹣3S△AEG
    =﹣3×x(2﹣x)=(3x2﹣6x+4).
    故可得其大致图象应类似于抛物线,且抛物线开口方向向上;
    故选:D.
     
    二、填空题(共6小题,每小题4分,满分24分)
    11.(4分)如图,A、B、C三点在⊙O上,且∠AOB=70°,则∠C= 35 度.

    【解答】解:∵∠AOB=70°,
    ∴∠C=∠AOB=35°.
    故答案为:35.
     
    12.(4分)圣诞节时,一个小组有x人,他们每两人之间互送贺卡一张,已知全组共送贺卡132张,则可列方程为 x(x﹣1)=132 .
    【解答】解:设这个小组有x人,则每人应送出x﹣1张贺卡,由题意得:
    x(x﹣1)=132,
    故答案为:x(x﹣1)=132.
     
    13.(4分)将一个正六边形绕着其中心,至少旋转 60 度可以和原来的图形重合.
    【解答】解:∵正六边形的中心角==60°,
    ∴一个正六边形绕着其中心,至少旋转60°可以和原来的图形重合.
    故答案60.
     
    14.(4分)如图,点A,B,C在⊙O上,CO的延长线交AB于点D,∠A=50°,∠B=30°,则∠ADC的度数为 110° .

    【解答】解:∵∠A=50°,
    ∴∠BOC=2∠A=100°,
    ∵∠B=30°,∠BOC=∠B+∠BDC,
    ∴∠BDC=∠BOC﹣∠B=100°﹣30°=70°,
    ∴∠ADC=180°﹣∠BDC=110°,
    故答案为110°.
     
    15.(4分)如图是抛物线y=ax2+bx+c的图象的一部分,请你根据图象写出方程ax2+bx+c=0的两根是 x1=﹣3,x2=1 .

    【解答】解:∵由图可知,抛物线与x轴的一个交点坐标为(﹣3,0),对称轴为直线x=﹣1,[来源:学科网ZXXK]
    ∴设抛物线与x轴的另一交点为(x,0),则=﹣1,解得x=1,
    ∴方程ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣3,x2=1.
    故答案为:x1=﹣3,x2=1.
     
    16.(4分)如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(图中的),点O是这段弧的圆心,C是上一点,OC⊥AB,垂足为D,AB=300m,CD=50m,则这段弯路的半径是 250 m.

    【解答】解:设半径为r,
    则OD=r﹣CD=r﹣50,
    ∵OC⊥AB,
    ∴AD=BD=AB,
    在直角三角形AOD中,AO2=AD2+OD2,
    即r2=(×300)2+(r﹣50)2=22500+r2+2500﹣100r,
    r=250m.
    答:这段弯路的半径是250m.
     
    三、解答题(本大题3小题,每小题6分,共18分)
    17.(6分)解方程:x2﹣x﹣12=0.
    【解答】解:分解因式得:(x+3)(x﹣4)=0,
    可得x+3=0或x﹣4=0,
    解得:x1=﹣3,x2=4.
     
    18.(6分)如图,在⊙O中,弦AB的长为8cm,圆心O到AB的距离为3cm,求⊙O的半径.

    【解答】解:过点O作OC⊥AB于点C,连接OB,则
    AC=BC=AB
    ∵AB=8cm,OC=3cm
    ∴BC=4cm
    在Rt△BOC中,OB==5cm
    即⊙O的半径是5cm.

     
    19.(6分)如图,已知点A、B、C的坐标分别为(0,0),(4,0),(5,2)将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′.
    (1)画出△AB′C′;
    (2)求点C′的坐标.

    【解答】解:(1)如图所示,△AB′C′即为所求;


    (2)由(1)可知,点C′的坐标为(﹣2,5).
     
    四、解答题(本大题3小题,每小题7分,共21分)
    20.(7分)现有一块长20cm,宽10cm的长方形铁皮,在它的四个角分别剪去一个大小完全相同的小正方形,用剩余的部分做成一个底面积为56cm2的无盖长方体盒子,请求出剪去的小正方形的边长.

    【解答】解:设剪去的小正方形的边长为xcm,
    根据题意得:(20﹣2x)(10﹣2x)=56,
    整理得:(x﹣3)(x﹣12)=0,
    解得:x=3或x=12,
    经检验x=12不合题意,舍去,
    ∴x=3,
    则剪去小正方形的边长为3cm.
     
    21.(7分)将两块大小相同的含30°角的直角三角板(∠BAC=∠B1A1C=30°)按图1的方式放置,固定三角板A1B1C,然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转(旋转角小于90°)至图2所示的位置,AB与A1C交于点E,AC与A1B1交于点F,AB与A1B1交于点O.
    (1)求证:△BCE≌△B1CF;
    (2)当旋转角等于30°时,AB与A1B1垂直吗?请说明理由.

    【解答】(1)证明:由题意得,BC=B1C,∠B=∠B1=60°,
    又∵∠BCE+∠ECF=90°,
    ∠B1CF+∠ECF=90°,
    ∴∠BCE=∠B1CF,
    在△BCE和△B1CF中,

    ∴△BCE≌△B1CF(ASA);
    (2)当旋转角等于30°时,AB与A1B1垂直.理由如下:
    证明:∵∠ECF=30°,
    ∴∠BCE=60°,[来源:Zxxk.Com]
    ∴△BCE是等边三角形,
    ∴∠BEC=60°,得∠A1EO=60°,
    又∵∠A1=30°,
    ∴∠A1EO=60°,
    即AB与A1B1垂直.
     
    22.(7分)如图,圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=20cm,水深GF=2cm.若水面上升2cm(EG=2cm),则此时水面宽AB为多少?

    【解答】解:连接OA、OC,

    ∵由题意知:AB∥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,CD=20cm,
    ∴CG=CD=10cm,
    在Rt△OGC中,由勾股定理得:OC2=CG2+OG2,
    OC2=102+(OC﹣2)2,
    解得:OC=26(cm),
    则OE=26cm﹣2cm﹣2cm=22cm,
    ∵在Rt△OEA中,由勾股定理得:OA2=OE2+AE2,
    ∴262=222+AE2,
    ∴AE=8,
    ∵OE⊥AB,OE过O,
    ∴AB=2AE=16cm.
     
    五、解答题(本大题3小题,每小题9分,共27分)
    23.(9分)已知,如图,抛物线y=ax2+2ax+c(a>0)与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
    (1)求抛物线的解析式;
    (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点,求四边形ABCD面积的最大值;
    (3)若点E在x轴上,点P在抛物线上.是否存在以A,C,E,P为顶点且以AC为一边的平行四边形?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

    【解答】解:(1)∵OC=3OB,B(1,0),
    ∴C(0,﹣3).
    把点B,C的坐标代入y=ax2+2ax+c,得a=1,c=﹣3,
    ∴抛物线的解析式y=x2+2x﹣3.

    (2)由A(﹣3,0),C(0,﹣3)得直线AC的解析式为y=﹣x﹣3,
    如图1,过点D作DM∥y轴分别交线段AC和x轴于点M,N.
    设M(m,﹣m﹣3)则D(m,m2+2m﹣3),
    DM=﹣m﹣3﹣(m2+2m﹣3)=﹣m2﹣3m=﹣(m+)2+,
    ∴﹣1<0,
    ∴当x=时,DM有最大值,
    ∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=×4×3+×3×DM,此时四边形ABCD面积有最大值为6+×=.

    (3)存在.
    讨论:①如图2,过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1,过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1,
    此时四边形ACP1E1为平行四边形.
    ∵C(0,﹣3),令﹣3=x2+2x﹣3
    ∴x1=0,x2=﹣2.
    ∴P1(﹣2,﹣3).
    ②平移直线AC交x轴于点E,交x轴上方的抛物线于点P,当AC=PE时,四边形ACEP为平行四边形,
    ∵C(0,﹣3),
    ∴可令P(x,3),3=x2+2x﹣3,得x2+2x﹣6=0
    解得x1=﹣1+,x2=﹣1﹣,
    此时存在点P2(﹣1+,3),P3(﹣1﹣,3),
    综上所述,存在3个点符合题意,坐标分别是:
    P1(﹣2,﹣3),P2(﹣1+,3),P3(﹣1﹣,3).


     
    24.(9分)如图,某农场要建一个长方形的养鸡场,鸡场的一边靠墙,墙长25m,另外三边用木栏围着,木栏长40m.
    (1)若养鸡场面积为200m2,求鸡场平行于墙的一边长.
    (2)养鸡场面积能达到250m2吗?如果能,请给出设计方案,如果不能,请说明理由.

    【解答】解:(1)设鸡场垂直于墙的一边长为xm,则鸡场平行于墙的一边长为(40﹣2x)m,
    根据题意得:x(40﹣2x)=200,
    解得:x1=x2=10,
    ∴40﹣2x=20.
    答:鸡场平行于墙的一边长为20m.
    (2)假设能,设鸡场垂直于墙的一边长为ym,则鸡场平行于墙的一边长为(40﹣2y)m,
    根据题意得:y(40﹣2y)=250,
    整理得:y2﹣20y+125=0.
    ∵△=(﹣20)2﹣4×1×125=﹣100<0,
    ∴该方程无解,
    ∴假设不成立,即养鸡场面积不能达到250m2.
     
    25.(9分)如图,P是正三角形ABC内的一点,且PA=6,PB=8,PC=10,若将△PAC绕点A逆时针旋转后得到△P′AB.
    (1)求点P与点P′之间的距离;
    (2)求∠APB的大小.

    【解答】解:(1)由旋转的性质知AP′=AP=6,∠P′AB=∠PAC,
    ∴∠P′AP=∠BAC=60°,
    ∴△P′AP是等边三角形,
    ∴PP′=6;
    (2)∵P′B=PC=10,PB=8,
    ∴P′B2=P′P2+PB2,
    ∴△P′PB为直角三角形,且∠P′PB=90°,
    ∴∠APB=∠P′PB+∠P′PA=90°+60°=150°.
     
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