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2021-2022学年广东省广州市部分学校中学九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年广东省广州市部分学校中学九年级（上）期中数学试卷 解析版，共24页。
2021-2022学年广东省广州市部分学校中学九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（ ）
A．（x+1）2＝8 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11
3．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
4．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝56°，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣4 B．k≥4 C．k＞﹣4 D．k≥﹣4且k≠0
7．（3分）A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
8．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线口向上
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴为x＝﹣1
D．c的值为﹣3
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．
13．（3分）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为 ．
14．（3分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为 ．
15．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝ °．
三.解答题（共9题，总分72分）
17．（6分）（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（2）（x﹣2）（x﹣5）+1＝0．
18．（6分）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值．
20．（8分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）用五点法画函数图象：
x
…
…
y
…
…
根据图象回答：
（3）当y＞0时，则x的取值范围为 ．
（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为 ．
21．（6分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
22．（8分）浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）每月销售260件，则每件利润是多少？
（2）如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？
（3）设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？
23．（8分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1，并求证：△ABP≌△ADQ．
（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
25．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
2021-2022学年广东省广州市部分学校中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（ ）
A．（x+1）2＝8 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，即可确定出结果．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（x﹣1）2＝8，
故选：C．
3．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
根据题意得：﹣1+a＝4，
解得：a＝5．
故选：C．
4．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y＝（x+1）2+2．
故选：B．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝56°，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝56°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故选：C．
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣4 B．k≥4 C．k＞﹣4 D．k≥﹣4且k≠0
【分析】根据已知方程的根的情况来确定根的判别式△≥0，通过解不等式来求k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k•（﹣1）≥0，且k≠0，
解得，kk≥﹣4且k≠0．
故选：D．
7．（3分）A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，C（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y3＜y2＜y1．
故选：C．
8．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线口向上
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴为x＝﹣1
D．c的值为﹣3
【分析】由条件可求得点c的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可．
【解答】解：
∵y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），
∴c＝﹣3，故D正确，不符合题意，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故A、C正确，不符合题意，B不正确，
故选：B．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项B符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性可对③进行判断；找图形中x＝﹣3时对应的y的值即可对④进行判断．
【解答】解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，
∴b＜0，
∴b2＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴c3＜0，
∴ab2c3＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣2，x2＝4，故③正确；
④由图象得：x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴9a+c＞3b，故④正确；
故选：C．
二.填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．
【解答】解：∵∠B＝110°，
∴∠ADE＝110°．
故答案为：110°．
13．（3分）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为 x2+x+1＝73 ．
【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝73，整理即可．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝73，
故答案为：x2+x+1＝73．
14．（3分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为 1＜x＜3 ．
【分析】求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的位置，可求范围
【解答】解：依题意得求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，
实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，
而y＝x2+bx+c的开口方向向上，且由两个函数图象的交点为A（1，0），B（3，2），
结合两个图象的位置，可以得到此时x的取值范围：1＜x＜3．
故填空答案：1＜x＜3．
15．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒．
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴a＝﹣6＜0，s有最大值，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝ 120 °．
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠CDE＝∠ABC＝75°，由等腰三角形的性质可求∠CBD＝∠CDB＝75°，由三角形内角和定理和外角性质可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝75°，
∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，
∴BC＝CD，∠CDE＝∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝∠CDB＝75°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠1＝∠ACD+∠CDE＝45°+75°＝120°，
故答案为：120．
三.解答题（共9题，总分72分）
17．（6分）（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（2）（x﹣2）（x﹣5）+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x2﹣7x+11＝0，
△＝（﹣7）2﹣4×11＝5，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
18．（6分）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（3）如图，△A2B2C2为所作．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根可得判别式Δ≥0，进而求解．
（2）由根与系数的关系，用含k的代数式表示x1x2＝k2，x1+x2＝2k﹣1，然后将代数式代入（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求解．
【解答】解：（1）由题意得 Δ≥0，
∴（2k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤．
（2）由一元二次方程根与系数关系得：x1x2＝k2，x1+x2＝2k﹣1，
由（x1﹣1）（x2﹣1）＝5得：x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，
∴k2﹣（2k﹣1）＝5，
解得k＝﹣1或k＝3，
∵k≤．
∴k＝﹣1．
20．（8分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）用五点法画函数图象：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣6
﹣8
﹣6
0
10
…
根据图象回答：
（3）当y＞0时，则x的取值范围为 x＞1或x＜﹣3 ．
（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为 ﹣8≤y＜0 ．
【分析】（1）用配方法把函数解析式化为顶点式即可；
（2）求出函数的对称轴、顶点纵坐标、抛物线与坐标轴的交点以及根据函数的对称性求出第五个点的坐标，然后用五点法画出二次函数的简图即可；
（3）根据图象直接得出y＞0时x的取值范围；
（4）根据图象直接得﹣3＜x＜0时y的取值范围．
【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6
＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6
＝2（x+1）2﹣8，
∴y＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，
抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣8）；
令x＝0，则y＝﹣6，
∴抛物线与y轴交点为（0，﹣6）；
令y＝0，则2x2+4x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）和（1，0）；
根据函数的对称性，当x＝﹣2时，y＝﹣6．
图象如图所示：
故答案为：（﹣3，0），（﹣2，﹣6），（﹣1，﹣8），（0，﹣6），（1，0）；
（3）由图象得：当y＞0时，则x的取值范围为x＞1或x＜﹣3，
故答案为：x＞1或x＜﹣3；
（4）由图象得：当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为﹣8≤y＜0，
故答案为：﹣8≤y＜0．
21．（6分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
【分析】（1）∠APO＝∠AOP得到AP＝AO；
（2）过O点作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，则可利用勾股定理可计算出OH＝3，然后在Rt△POH中利用勾股定理计算OP．
【解答】（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO＝∠APO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO＝∠AOP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴AP＝AO；
（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH＝AB＝4，
在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，
∴OH＝＝3，
∵AP＝AO＝5，
∴PH＝PA+AH＝9，
在Rt△POH中，OP＝＝3．
22．（8分）浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）每月销售260件，则每件利润是多少？
（2）如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？
（3）设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？
【分析】（1）由题意得，y＝260，进而得出x的值，即可得出答案；
（2）利用利润＝销量×每件利润＝2160，进而解方程得出答案；
（3）首先得出二次函数解析式，进而根据二次函数最值求法得出答案．
【解答】解：（1）令y＝260，则260＝﹣10x+500，
解得：x＝24，
所以每件利润是24﹣20＝4（元）；
（2）由题意可得：
（﹣10x+500）（x﹣20）＝2160，
﹣10x2+700x﹣10000＝2160，
解得：x1＝32，x2＝38，
当x1＝32时，y＝﹣10×32+500＝180，成本为：180×20＝3600（元），
当x2＝38时，y＝﹣10×38+500＝120，成本为：120×20＝2400（元），
∴专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为38元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）•y＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝35时，w最大＝2250（元），
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元．
23．（8分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1，并求证：△ABP≌△ADQ．
（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）解：补全图形如图1：
（2）证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），利用S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC，可得S△BCM＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，建立方程求解即可；
（3）根据△BCP是以BC为底边的等腰三角形，可得点P在BC的垂直平分线上，求出BC的中点D（，），利用待定系数法求得直线OD的解析式为y＝x，联立方程组求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得：．
解得：，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，
∵S△BCM＝3，
∴m+（﹣m2+2m+3）﹣＝3，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点m的坐标为（1，4）或（2，3）；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC的中点D（，），
则直线OD垂直平分BC，
设直线OD的解析式为y＝kx，将D（，）代入，
得：k＝，
∴k＝1，
∴直线OD的解析式为y＝x，
联立方程组，得：，
解得：，；
∴点P的坐标为．
25．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
【分析】（1）令y＝0，得：x2+bx+b﹣1＝0，运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）①当b＜2时，利用不等式性质可得：1﹣b＞﹣1，根据点A在点B的左侧，可得A（﹣1，0），利用待定系数法求得直线AM的解析式为y＝mx+m，联立方程组，消去y，得：x2+（b﹣m）x+b﹣m﹣1＝0，由根与系数关系，得xA+xP＝﹣（b﹣m）＝m﹣b，即可得出答案；
②当b＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣4，根据条件可得P（m+4，m2+5m），Q（n+4，n2+5），再根据直线PQ过点E（4，2），可推出（mn+2）（m﹣n）＝0，再由P、Q不重合，即m≠n，得出mn＝﹣2即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2+bx+b﹣1＝0，
∴（x+1）（x+b﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x+b﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣b；
（2）①当b＜2时，由（1）可知：x1＝﹣1，x2＝1﹣b，
∵b＜2，
∴﹣b＞﹣2，
∴1﹣b＞﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
∵A（﹣1，0），M（0，m），
∴，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝mx+m，
联立方程组，得：，
消去y，得：x2+（b﹣m）x+b﹣m﹣1＝0，
由根与系数关系，得xA+xP＝﹣（b﹣m）＝m﹣b，
∴xP＝m﹣b+1，
②证明：当b＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∵xP＝m+4，
∴yP＝（m+4）2﹣3（m+4）﹣4＝m2+5m，
∴P（m+4，m2+5m），
直线AN的解析式为：y＝（x+1）＝nx+n，
联立方程组，得：，
∴x2﹣（3+n）x﹣4﹣n＝0，
∴xQ＝4+n，yQ＝n2+5n，
即Q（n+4，n2+5n），
∵直线PQ过点E（4，2），
∴kEP＝kEQ，
∴＝，
即＝，
∴mn2+5mn﹣2m＝m2n+5mn﹣2n，
（mn+2）（m﹣n）＝0，
∵P、Q不重合，即m≠n，
∴mn＝﹣2，
∴OM•ON＝|mn|＝2为定值．
2021-2022学年广东省广州市部分学校中学九年级（上）期中数学试卷
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（ ）
A．（x+1）2＝8 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11
3．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
4．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝56°，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣4 B．k≥4 C．k＞﹣4 D．k≥﹣4且k≠0
7．（3分）A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
8．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线口向上
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴为x＝﹣1
D．c的值为﹣3
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二.填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 ．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 ．
13．（3分）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为 ．
14．（3分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为 ．
15．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 秒．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝ °．
三.解答题（共9题，总分72分）
17．（6分）（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（2）（x﹣2）（x﹣5）+1＝0．
18．（6分）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值．
20．（8分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）用五点法画函数图象：
x
…
…
y
…
…
根据图象回答：
（3）当y＞0时，则x的取值范围为 ．
（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为 ．
21．（6分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
22．（8分）浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）每月销售260件，则每件利润是多少？
（2）如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？
（3）设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？
23．（8分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1，并求证：△ABP≌△ADQ．
（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
25．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
2021-2022学年广东省广州市部分学校中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.选择题（共10小题，每小题3分）
1．（3分）下列图形中既是中心对称图又是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C．是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：C．
2．（3分）一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（ ）
A．（x+1）2＝8 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣1）2＝8 D．（x﹣2）2＝11
【分析】方程常数项移到右边，两边加上1，即可确定出结果．
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x﹣7＝0用配方法可变形为（x﹣1）2＝8，
故选：C．
3．（3分）关于x的方程x2﹣4x+m+2＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（ ）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【分析】设方程的另一个根为a，由根与系数的关系即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设方程的另一个根为a，
根据题意得：﹣1+a＝4，
解得：a＝5．
故选：C．
4．（3分）若要得到函数y＝（x+1）2+2的图象，只需将函数y＝x2的图象（ ）
A．先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
B．先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度
C．先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
D．先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度
【分析】找出两抛物线的顶点坐标，由a值不变即可找出结论．
【解答】解：∵抛物线y＝（x+1）2+2的顶点坐标为（﹣1，2），抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），
∴将抛物线y＝x2先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度即可得出抛物线y＝（x+1）2+2．
故选：B．
5．（3分）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是弦，若∠ABD＝56°，则∠BCD等于（ ）
A．16° B．24° C．34° D．46°
【分析】先根据圆周角定理由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠A＝90°﹣∠ABD＝34°，然后根据圆周角定理求解．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵∠ABD＝56°，
∴∠A＝90°﹣∠ABD＝90°﹣56°＝34°，
∴∠BCD＝∠A＝34°，
故选：C．
6．（3分）关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，则k的取值范围是（ ）
A．k≥﹣4 B．k≥4 C．k＞﹣4 D．k≥﹣4且k≠0
【分析】根据已知方程的根的情况来确定根的判别式△≥0，通过解不等式来求k的取值范围．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣1＝0有两个实根，
∴Δ＝（﹣4）2﹣4k•（﹣1）≥0，且k≠0，
解得，kk≥﹣4且k≠0．
故选：D．
7．（3分）A（﹣2，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y＝﹣2（x+1）2+k上三点，y1，y2，y3的大小关系为（ ）
A．y1＞y3＞y2 B．y3＞y1＞y2 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y2＞y1
【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y＝﹣2（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．
【解答】解：∵抛物线y＝﹣2（x+1）2+k的开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，
而A（2，y3）离直线x＝﹣1的距离最远，C（﹣2，y1）点离直线x＝﹣1最近，
∴y3＜y2＜y1．
故选：C．
8．（3分）若抛物线y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（ ）
A．抛物线口向上
B．当x＞﹣1时，y随x的增大而减小
C．对称轴为x＝﹣1
D．c的值为﹣3
【分析】由条件可求得点c的值，再利用二次函数解析式，逐项判断即可．
【解答】解：
∵y＝x2+2x+c与y轴交点为（0，﹣3），
∴c＝﹣3，故D正确，不符合题意，
∴抛物线解析式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴抛物线开口向上，对称轴为x＝﹣1，当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，故A、C正确，不符合题意，B不正确，
故选：B．
9．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）与直线y＝bx+c在同一坐标系中的大致图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＜0，b＞0，c＞0，故选项A不符合题意；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项B符合题意；
选项C中，由一次函数的图象可知b＞0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＞0，故选项C不符合题意；
选项D中，由一次函数的图象可知b＜0，c＞0，由二次函数的图象可知a＞0，b＜0，c＜0，故选项D不符合题意；
故选：B．
10．（3分）如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，其对称轴为x＝1，过（﹣2，0），则下列结论：①ab2c3＞0；②b+2a＝0；③方程ax2+bx+c＝0的两根为x1＝﹣2，x2＝4；④9a+c＞3b，其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】利用抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线的对称轴方程得到b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；②利用对称轴可对②进行判断；观察图形与x轴的交点的横坐标与对称性可对③进行判断；找图形中x＝﹣3时对应的y的值即可对④进行判断．
【解答】解：①∵开口向上，
∴a＞0，
∵对称轴在y轴右侧，a、b异号，
∴b＜0，
∴b2＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴c3＜0，
∴ab2c3＜0，故①错误；
②∵对称轴x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，
∴2a+b＝0，故②正确；
③根据对称性可知抛物线与x轴另一交点为（4，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的两个根为x1＝﹣2，x2＝4，故③正确；
④由图象得：x＝﹣3时，y＞0，
∴9a﹣3b+c＞0，
∴9a+c＞3b，故④正确；
故选：C．
二.填空题（共6小题，每小题3分）
11．（3分）在平面直角坐标系中，点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是 （2，﹣3） ．
【分析】根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答．
【解答】解：点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．
故答案是：（2，﹣3）．
12．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为CD延长线上一点．若∠B＝110°，则∠ADE的度数为 110° ．
【分析】根据圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）可得答案．
【解答】解：∵∠B＝110°，
∴∠ADE＝110°．
故答案为：110°．
13．（3分）某种植物的主干长出若干相同数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，求每个支干又长出多少小分支？如果设每个支干又长出x个小分支，那么依题意可得方程为 x2+x+1＝73 ．
【分析】设主干长出x个支干，每个支干又长出x个小分支，得方程1+x+x2＝73，整理即可．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝73，
故答案为：x2+x+1＝73．
14．（3分）如图，直线y＝x+m和抛物线y＝x2+bx+c都经过点A（1，0），B（3，2），不等式x2+bx+c＜x+m的解集为 1＜x＜3 ．
【分析】求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，由两个函数图象的交点及图象的位置，可求范围
【解答】解：依题意得求关于x的不等式x2+bx+c＜x+m的解集，
实质上就是根据图象找出函数y＝x+m的值大于函数y＝x2+bx+c值时x的取值范围，
而y＝x2+bx+c的开口方向向上，且由两个函数图象的交点为A（1，0），B（3，2），
结合两个图象的位置，可以得到此时x的取值范围：1＜x＜3．
故填空答案：1＜x＜3．
15．（3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为 1.25 秒．
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，
∴a＝﹣6＜0，s有最大值，
∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．
故答案为：1.25．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝75°，把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，若点B恰好落在AB边上D处，则∠1＝ 120 °．
【分析】由旋转的性质可得BC＝CD，∠CDE＝∠ABC＝75°，由等腰三角形的性质可求∠CBD＝∠CDB＝75°，由三角形内角和定理和外角性质可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝75°，
∵把△ABC绕点C顺时针旋转得到△EDC，
∴BC＝CD，∠CDE＝∠ABC＝75°，
∴∠CBD＝∠CDB＝75°，
∴∠BCD＝30°，
∴∠ACD＝45°，
∴∠1＝∠ACD+∠CDE＝45°+75°＝120°，
故答案为：120．
三.解答题（共9题，总分72分）
17．（6分）（1）x2﹣2x﹣8＝0．
（2）（x﹣2）（x﹣5）+1＝0．
【分析】（1）利用因式分解法解方程；
（2）先把方程化为一般式，然后利用求根公式法解方程．
【解答】解：（1）（x﹣4）（x+2）＝0，
x﹣4＝0或x+2＝0，
所以x1＝4，x2＝﹣2；
（2）x2﹣7x+11＝0，
△＝（﹣7）2﹣4×11＝5，
x＝，
所以x1＝，x2＝．
18．（6分）如图，△ABC绕点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1．已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出旋转后的△A1B1C1；
（2）点B1的坐标为 （﹣1，﹣3） ；
（3）作出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2．
【分析】（1）（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可；
（3）利用关于原点对称的点的坐标特征写出点A2、B2、C2的坐标，然后描点即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）点B1的坐标为（﹣1，﹣3）；
故答案为（﹣1，﹣3）；
（3）如图，△A2B2C2为所作．
19．（6分）已知关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求实数k的值．
【分析】（1）由方程有两个实数根可得判别式Δ≥0，进而求解．
（2）由根与系数的关系，用含k的代数式表示x1x2＝k2，x1+x2＝2k﹣1，然后将代数式代入（x1﹣1）（x2﹣1）＝5求解．
【解答】解：（1）由题意得 Δ≥0，
∴（2k﹣1）2﹣4k2≥0，
解得k≤．
（2）由一元二次方程根与系数关系得：x1x2＝k2，x1+x2＝2k﹣1，
由（x1﹣1）（x2﹣1）＝5得：x1x2﹣（x1+x2）+1＝5，
∴k2﹣（2k﹣1）＝5，
解得k＝﹣1或k＝3，
∵k≤．
∴k＝﹣1．
20．（8分）已知二次函数y＝2x2+4x﹣6．
（1）把函数配成y＝a（x﹣h）2+k的形式；
（2）用五点法画函数图象：
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
0
﹣6
﹣8
﹣6
0
10
…
根据图象回答：
（3）当y＞0时，则x的取值范围为 x＞1或x＜﹣3 ．
（4）当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为 ﹣8≤y＜0 ．
【分析】（1）用配方法把函数解析式化为顶点式即可；
（2）求出函数的对称轴、顶点纵坐标、抛物线与坐标轴的交点以及根据函数的对称性求出第五个点的坐标，然后用五点法画出二次函数的简图即可；
（3）根据图象直接得出y＞0时x的取值范围；
（4）根据图象直接得﹣3＜x＜0时y的取值范围．
【解答】解：（1）y＝2x2+4x﹣6
＝2（x2+2x+1﹣1）﹣6
＝2（x+1）2﹣8，
∴y＝2（x+1）2﹣8；
（2）由（1）知，
抛物线对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，﹣8）；
令x＝0，则y＝﹣6，
∴抛物线与y轴交点为（0，﹣6）；
令y＝0，则2x2+4x﹣6＝0，
解得：x1＝﹣3，x2＝1，
∴抛物线与x轴的交点为（﹣3，0）和（1，0）；
根据函数的对称性，当x＝﹣2时，y＝﹣6．
图象如图所示：
故答案为：（﹣3，0），（﹣2，﹣6），（﹣1，﹣8），（0，﹣6），（1，0）；
（3）由图象得：当y＞0时，则x的取值范围为x＞1或x＜﹣3，
故答案为：x＞1或x＜﹣3；
（4）由图象得：当﹣3＜x＜0时，则y的取值范围为﹣8≤y＜0，
故答案为：﹣8≤y＜0．
21．（6分）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；
（2）若弦AB＝8，求OP的长．
【分析】（1）∠APO＝∠AOP得到AP＝AO；
（2）过O点作OH⊥AB于H，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝4，则可利用勾股定理可计算出OH＝3，然后在Rt△POH中利用勾股定理计算OP．
【解答】（1）证明：∵PG平分∠EPF，
∴∠DPO＝∠APO，
∵OA∥PE，
∴∠DPO＝∠AOP，
∴∠APO＝∠AOP，
∴AP＝AO；
（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BH＝AB＝4，
在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，
∴OH＝＝3，
∵AP＝AO＝5，
∴PH＝PA+AH＝9，
在Rt△POH中，OP＝＝3．
22．（8分）浙北商场一专柜销售某种品牌的玩具，每件进价为20元．销售过程中发现，每月销售y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：y＝﹣10x+500．
（1）每月销售260件，则每件利润是多少？
（2）如果该专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为多少元？
（3）设专柜每月获得的利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润多少元？
【分析】（1）由题意得，y＝260，进而得出x的值，即可得出答案；
（2）利用利润＝销量×每件利润＝2160，进而解方程得出答案；
（3）首先得出二次函数解析式，进而根据二次函数最值求法得出答案．
【解答】解：（1）令y＝260，则260＝﹣10x+500，
解得：x＝24，
所以每件利润是24﹣20＝4（元）；
（2）由题意可得：
（﹣10x+500）（x﹣20）＝2160，
﹣10x2+700x﹣10000＝2160，
解得：x1＝32，x2＝38，
当x1＝32时，y＝﹣10×32+500＝180，成本为：180×20＝3600（元），
当x2＝38时，y＝﹣10×38+500＝120，成本为：120×20＝2400（元），
∴专柜想要每月获2160元的利润，且成本要低，那么销售单价应定为38元；
（3）由题意可得：
w＝（x﹣20）•y＝﹣10x2+700x﹣10000
＝﹣10（x﹣35）2+2250，
∵a＝﹣10＜0，
∴当x＝35时，w最大＝2250（元），
∴当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润为2250元．
23．（8分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，且点M不与B、C重合，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1，并求证：△ABP≌△ADQ．
（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：DP2+DQ2＝2AB2．
【分析】（1）根据要求画出图形即可；
（2）连接BD，如图2，只要证明△ADQ≌△ABP，∠DPB＝90°即可解决问题．
【解答】（1）解：补全图形如图1：
（2）证明：连接BD，如图2，
∵线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，
∴AQ＝AP，∠QAP＝90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝AB，∠DAB＝90°，
∴∠1＝∠2．
∴△ADQ≌△ABP（SAS），
∴DQ＝BP，∠Q＝∠3，
在Rt△QAP中，∠Q+∠QPA＝90°，
∴∠BPD＝∠3+∠QPA＝90°，
在Rt△BPD中，DP2+BP2＝BD2，
又∵DQ＝BP，BD2＝2AB2，
∴DP2+DQ2＝2AB2．
24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），交y轴于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）若点M是该二次函数图象上第一象限内一点，且S△BCM＝3，求点M的坐标；
（3）在二次函数图象上是否存在一点P使△BCP是以BC为底边的等腰三角形，若不存在，请说明理由；若存在，请求出点P的坐标．
【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案；
（2）如图1，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），利用S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC，可得S△BCM＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，建立方程求解即可；
（3）根据△BCP是以BC为底边的等腰三角形，可得点P在BC的垂直平分线上，求出BC的中点D（，），利用待定系数法求得直线OD的解析式为y＝x，联立方程组求解即可．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、B（3，0）的坐标分别代入y＝﹣x2+bx+c，
得：．
解得：，
∴此二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x+3；
（2）如图1，连接OM，设点M（m，﹣m2+2m+3），
在y＝﹣x2+2x+3中，当x＝0时，y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
∴S△BCM＝S△COM+S△BOM﹣S△OBC＝m+（﹣m2+2m+3）﹣，
∵S△BCM＝3，
∴m+（﹣m2+2m+3）﹣＝3，
解得：m1＝1，m2＝2，
∴点m的坐标为（1，4）或（2，3）；
（3）∵B（3，0），C（0，3），
∴OB＝OC＝3，
∴BC的中点D（，），
则直线OD垂直平分BC，
设直线OD的解析式为y＝kx，将D（，）代入，
得：k＝，
∴k＝1，
∴直线OD的解析式为y＝x，
联立方程组，得：，
解得：，；
∴点P的坐标为．
25．（12分）已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM•ON是一个定值．
【分析】（1）令y＝0，得：x2+bx+b﹣1＝0，运用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）①当b＜2时，利用不等式性质可得：1﹣b＞﹣1，根据点A在点B的左侧，可得A（﹣1，0），利用待定系数法求得直线AM的解析式为y＝mx+m，联立方程组，消去y，得：x2+（b﹣m）x+b﹣m﹣1＝0，由根与系数关系，得xA+xP＝﹣（b﹣m）＝m﹣b，即可得出答案；
②当b＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣4，根据条件可得P（m+4，m2+5m），Q（n+4，n2+5），再根据直线PQ过点E（4，2），可推出（mn+2）（m﹣n）＝0，再由P、Q不重合，即m≠n，得出mn＝﹣2即可．
【解答】解：（1）当y＝0时，x2+bx+b﹣1＝0，
∴（x+1）（x+b﹣1）＝0，
∴x+1＝0或x+b﹣1＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣b；
（2）①当b＜2时，由（1）可知：x1＝﹣1，x2＝1﹣b，
∵b＜2，
∴﹣b＞﹣2，
∴1﹣b＞﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），
设直线AM的解析式为y＝kx+a，
∵A（﹣1，0），M（0，m），
∴，
解得：，
∴直线AM的解析式为y＝mx+m，
联立方程组，得：，
消去y，得：x2+（b﹣m）x+b﹣m﹣1＝0，
由根与系数关系，得xA+xP＝﹣（b﹣m）＝m﹣b，
∴xP＝m﹣b+1，
②证明：当b＝﹣3时，二次函数解析式为y＝x2﹣3x﹣4，
∴A（﹣1，0），B（4，0），
∵xP＝m+4，
∴yP＝（m+4）2﹣3（m+4）﹣4＝m2+5m，
∴P（m+4，m2+5m），
直线AN的解析式为：y＝（x+1）＝nx+n，
联立方程组，得：，
∴x2﹣（3+n）x﹣4﹣n＝0，
∴xQ＝4+n，yQ＝n2+5n，
即Q（n+4，n2+5n），
∵直线PQ过点E（4，2），
∴kEP＝kEQ，
∴＝，
即＝，
∴mn2+5mn﹣2m＝m2n+5mn﹣2n，
（mn+2）（m﹣n）＝0，
∵P、Q不重合，即m≠n，
∴mn＝﹣2，
∴OM•ON＝|mn|＝2为定值．
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