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2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷 解析版
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这是一份2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷 解析版，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．3x2+1＝（3x+1）（x﹣5） B．（a2+1）x2+2x﹣3＝0
C．2x2+y＝5 D．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
4．（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
5．（3分）某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10% B．12% C．15% D．17%
6．（3分）若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣4x+7，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下
B．函数图象与x轴有两个交点
C．当x≤2时，y随x的增大而增大
D．函数图象的顶点坐标是（2，3）
8．（3分）函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：
①2a﹣b＝0：
②4ac﹣b2＜0：
③点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上若x1＜x2，则y1＜y2；
④a+b+c＜0．
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ．
12．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ．
13．（3分）若点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，则xy的值为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 ．
15．（3分）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为 ．
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）解方程：
（1）3x（x﹣1）＝x﹣1．
（2）（y﹣1）2＝（3﹣2y）2．
17．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+k+2与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标．
18．（9分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并求出点A2、B2、C2的坐标．
（3）求线段CC2的长．
20．（9分）如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围．
（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？
21．（9分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
22．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．3x2+1＝（3x+1）（x﹣5） B．（a2+1）x2+2x﹣3＝0
C．2x2+y＝5 D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．化简为1＝﹣14x﹣5，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
4．（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
5．（3分）某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10% B．12% C．15% D．17%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后为800（1﹣x），第二次降价后为800（1﹣x）（1﹣x），然后根据每件的价格由原来的800元降为现在的578元即可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得800（1﹣x）2＝578，
∴（1﹣x）2＝，
∴1﹣x＝±0.85，
∴x＝0.15＝15%或x＝1.85（舍去）．
答：平均每次降价的百分率为15%．
故选：C．
6．（3分）若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【解答】解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．
故选：C．
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣4x+7，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下
B．函数图象与x轴有两个交点
C．当x≤2时，y随x的增大而增大
D．函数图象的顶点坐标是（2，3）
【分析】利用二次函数的性质直接对A进行判断；方程x2﹣4x+7＝0的判别式小于0可对B进行判断；通过配方把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质对C、D进行判断．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，所以A选项的说法错误；
∵y＝0时，x2﹣4x+7＝0，
而△＝42﹣4×7＝﹣12＜0，
∴函数图象与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；
∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线＝2，当x≤2时，y随x的增大而减小，所以C选项的说法错误；
抛物线的顶点坐标为（2，3），所以D选项的说法正确．
故选：D．
8．（3分）函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x＝﹣＝3．根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣＝3．
∵点（﹣1，y1）、（3，y2）、（5，y3）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，
∴点（﹣1，y1）关于直线x＝3的对称点为（7，y1），
∵3＜5＜7
∴y2＜y3＜y1
故选：B．
9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：
①2a﹣b＝0：
②4ac﹣b2＜0：
③点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上若x1＜x2，则y1＜y2；
④a+b+c＜0．
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．
【解答】解：①函数的对称轴是直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，则b＝2a，2a﹣b＝0，故本选项正确；
②函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故本选项正确；
③因为不知道点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上所处的位置，所以y1和y2的大小无法判断，则本选项错误．
④∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），且当x＝﹣3时，y＜0，
∴当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则本选项正确；
故选：C．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点，从而可以得到当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
13．（3分）若点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，则xy的值为 1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，
∴2x﹣1+3＝0，y﹣3﹣5＝0，
解得：x＝﹣1，y＝8，
则xy＝（﹣1）8＝1．
故答案为：1．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 y＝（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】先确定抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据点平移的规律点（0，﹣4）平移后得到点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把点（0，﹣4）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（2，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．
故答案为y＝（x﹣2）2﹣1．
15．（3分）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为 4 ．
【分析】把（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0看作为关于a2+b2的一元二次方程，利用因式分解法可求得a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3，然后根据非负数的性质可确定a2+b2＝4．
【解答】解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，
∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0，
∴（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0，
∴a2+b2﹣4＝0或a2+b2+3＝0，
∴a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3（舍去）．
故答案为4．
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）解方程：
（1）3x（x﹣1）＝x﹣1．
（2）（y﹣1）2＝（3﹣2y）2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝x﹣1，
3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝；
（2）（y﹣1）2＝（3﹣2y）2，
（y﹣1）2﹣（3﹣2y）2＝0，
[（y﹣1）+（3﹣2y）][（（y﹣1）﹣（3﹣2y）]＝0，
∴﹣y+2＝0或3y﹣4＝0，
∴y1＝2，y2＝．
17．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+k+2与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标．
【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而求解．
（2）将k＝1代入函数解析式，然后将解析式配方求顶点坐标，将y＝0代入解析式求抛物线与x轴交点坐标．
【解答】解：（1）由题意知b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣1）（k+2）＝4k+12＞0，
∴k＞﹣3．
（2）把k＝1代入二次函数得y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
18．（9分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝（m+1）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，进而可得出原方程，再利用两根之和等于﹣即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：将x＝1代入原方程，得：12﹣（m﹣1）×1﹣m＝0，
解得：m＝1，
∴原方程为x2﹣1＝0，
∴方程的另一个根为0﹣1＝﹣1．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并求出点A2、B2、C2的坐标．
（3）求线段CC2的长．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可，然后写出A2、B2、C2的坐标；
（3）利用勾股定理计算．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（﹣2，﹣4）、B1（﹣1，﹣1）、C1（﹣4，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；A2（﹣4，2）、B2（﹣1，1）、C3（﹣3，4）；
（3）CC2＝＝5．
20．（9分）如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围．
（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？
【分析】（1）已知AB＝x，BC＝24﹣3x，则y＝﹣3x2+24x．易求x的取值范围．
（2）当y＝45时，根据实际情况求出x的值即可．
【解答】解：（1）S＝（24﹣3x）x＝24x﹣3x2；
又∵x＞0，且10≥24﹣3x＞x，
∴≤x＜6；
（2）依题意有45＝24x﹣3x2，
x＝5或x＝3；
若x＝3，则AB＝3m，则BC＝15m＞10m，舍去．
答：AB的长为5米．
21．（9分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 x1＝﹣3，x2＝2 ．
【分析】当绝对值内的数不小于0时，可直接去掉绝对值，而当绝对值内的数为负数时，去绝对值时，绝对值内的数要变为原来的相反数．本题要求参照例题解题，要先对x的值进行讨论，再去除绝对值将原式化简．
【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
即x2﹣x＝0
解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝1（不合题意，舍去）；
（2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3＝0
即x2+x﹣6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2．
所以原方程的根是x1＝﹣3，x2＝2．
22．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”得出函数解析式并配方成顶点式，即可得函数最值；
（2）根据题意得出关于x的方程，解之可得x的值，根据“销售价不高于每千克28元”取舍即可．
【解答】解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；
（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x＝35或x＝25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x＝25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），
∴点A的坐标为（1，0）．
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AM＝BM．
∵点B，C，M三点共线，
∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），
∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），
∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．
分三种情况考虑（如图2）：
①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，
∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，
解得：m＝4，
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，
∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，
解得：m＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，
∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，
整理得：m2﹣3m﹣2＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．
综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．
2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．3x2+1＝（3x+1）（x﹣5） B．（a2+1）x2+2x﹣3＝0
C．2x2+y＝5 D．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
4．（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
5．（3分）某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10% B．12% C．15% D．17%
6．（3分）若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣4x+7，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下
B．函数图象与x轴有两个交点
C．当x≤2时，y随x的增大而增大
D．函数图象的顶点坐标是（2，3）
8．（3分）函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：
①2a﹣b＝0：
②4ac﹣b2＜0：
③点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上若x1＜x2，则y1＜y2；
④a+b+c＜0．
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ．
12．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ．
13．（3分）若点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，则xy的值为 ．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 ．
15．（3分）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为 ．
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）解方程：
（1）3x（x﹣1）＝x﹣1．
（2）（y﹣1）2＝（3﹣2y）2．
17．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+k+2与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标．
18．（9分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并求出点A2、B2、C2的坐标．
（3）求线段CC2的长．
20．（9分）如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围．
（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？
21．（9分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 ．
22．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10小题，每题3分，共计30分）
1．（3分）如图所示的图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、不是中心对称图形，不符合题意；
B、不是中心对称图形，不符合题意；
C、不是中心对称图形，不符合题意；
D、是中心对称图形，符合题意．
故选：D．
2．（3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（ ）
A．3x2+1＝（3x+1）（x﹣5） B．（a2+1）x2+2x﹣3＝0
C．2x2+y＝5 D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．化简为1＝﹣14x﹣5，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．是二元二次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．是分式方程，不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）将二次函数y＝x2﹣2x+3化为y＝（x﹣h）2+k的形式，结果为（ ）
A．y＝（x+1）2+4 B．y＝（x﹣1）2+4 C．y＝（x+1）2+2 D．y＝（x﹣1）2+2
【分析】本题是将一般式化为顶点式，由于二次项系数是1，只需加上一次项系数的一半的平方来凑成完全平方式即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3＝x2﹣2x+1﹣1+3＝（x﹣1）2+2．
故选：D．
4．（3分）组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（ ）
A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28
C．x（x﹣1）＝28 D．x（x+1）＝28
【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2＝4×7，把相关数值代入即可．
【解答】解：每支球队都需要与其他球队赛（x﹣1）场，但2队之间只有1场比赛，
所以可列方程为：x（x﹣1）＝4×7．
故选：B．
5．（3分）某种商品零售价经过两次降价后，每件的价格由原来的800元降为现在的578元，则平均每次降价的百分率为（ ）
A．10% B．12% C．15% D．17%
【分析】设平均每次降价的百分率为x，那么第一次降价后为800（1﹣x），第二次降价后为800（1﹣x）（1﹣x），然后根据每件的价格由原来的800元降为现在的578元即可列出方程，解方程即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，
依题意得800（1﹣x）2＝578，
∴（1﹣x）2＝，
∴1﹣x＝±0.85，
∴x＝0.15＝15%或x＝1.85（舍去）．
答：平均每次降价的百分率为15%．
故选：C．
6．（3分）若点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，那么这条抛物线的对称轴是（ ）
A．直线x＝1 B．直线x＝2 C．直线x＝3 D．直线x＝4
【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．
【解答】解：∵点（2，5），（4，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．
∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．
故选：C．
7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣4x+7，下列说法中正确的是（ ）
A．函数图象是抛物线，且开口向下
B．函数图象与x轴有两个交点
C．当x≤2时，y随x的增大而增大
D．函数图象的顶点坐标是（2，3）
【分析】利用二次函数的性质直接对A进行判断；方程x2﹣4x+7＝0的判别式小于0可对B进行判断；通过配方把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质对C、D进行判断．
【解答】解：∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上，所以A选项的说法错误；
∵y＝0时，x2﹣4x+7＝0，
而△＝42﹣4×7＝﹣12＜0，
∴函数图象与x轴没有交点，所以B选项的说法错误；
∵y＝x2﹣4x+7＝（x﹣2）2+3，
∴抛物线的对称轴为直线＝2，当x≤2时，y随x的增大而减小，所以C选项的说法错误；
抛物线的顶点坐标为（2，3），所以D选项的说法正确．
故选：D．
8．（3分）函数y＝x2﹣6x+c的图象过A（﹣1，y1），B（3，y2），C（5，y3），则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y2＞y1＞y3 D．y3＞y1＞y2
【分析】二次函数抛物线向下，且对称轴为x＝﹣＝3．根据二次函数的对称性和增减性即可得到结论．
【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c，
∴该二次函数的抛物线开口向上，且对称轴为：x＝﹣＝3．
∵点（﹣1，y1）、（3，y2）、（5，y3）都在二次函数y＝x2﹣6x+c的图象上，
∴点（﹣1，y1）关于直线x＝3的对称点为（7，y1），
∵3＜5＜7
∴y2＜y3＜y1
故选：B．
9．（3分）一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx在同一坐标系中的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【分析】对于每个选项，先根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在．
【解答】解：A、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第一、三、四象限，且它们的交点为（1，0），所以A选项正确；
B、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＞0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、三象限，所以B选项错误；
C、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、由二次函数y＝ax2+bx的图象得a＜0，b＜0，则一次函数y＝ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误．
故选：A．
10．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则下列结论：
①2a﹣b＝0：
②4ac﹣b2＜0：
③点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上若x1＜x2，则y1＜y2；
④a+b+c＜0．
正确结论的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据函数与x轴的交点的个数，以及对称轴的解析式，函数值的符号的确定即可作出判断．
【解答】解：①函数的对称轴是直线x＝﹣1，即﹣＝﹣1，则b＝2a，2a﹣b＝0，故本选项正确；
②函数与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，故本选项正确；
③因为不知道点（x1，y1），（x2，y2）在抛物线上所处的位置，所以y1和y2的大小无法判断，则本选项错误．
④∵（﹣3，0）关于直线x＝﹣1的对称点是（1，0），且当x＝﹣3时，y＜0，
∴当x＝1时，函数对应的点在x轴下方，则a+b+c＜0，则本选项正确；
故选：C．
二、填空题（本题共计5小题，每题3分，共计15分）
11．（3分）关于x的方程是一元二次方程，则m＝ ﹣2 ．
【分析】根据一元二次方程的定义得出m﹣2≠0且m2﹣2＝2，再求出m即可．
【解答】解：∵关于x的方程是一元二次方程，
∴m﹣2≠0且m2﹣2＝2，
解得：m＝﹣2，
故答案为：﹣2．
12．（3分）已知抛物线y＝x2+bx+c的部分图象如图所示，当y＜0时，x的取值范围是 ﹣1＜x＜3 ．
【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以得到该抛物线与x轴的另一个交点，从而可以得到当y＜0时，x的取值范围．
【解答】解：由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点为（﹣1，0），
故抛物线与x轴的另一个交点为（3，0），
故当y＜0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．
13．（3分）若点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，则xy的值为 1 ．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质（两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反）得出x，y的值，进而得出答案．
【解答】解：∵点A（2x﹣1，﹣5）和点B（3，y﹣3）关于原点对称，
∴2x﹣1+3＝0，y﹣3﹣5＝0，
解得：x＝﹣1，y＝8，
则xy＝（﹣1）8＝1．
故答案为：1．
14．（3分）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线解析式为 y＝（x﹣2）2﹣1 ．
【分析】先确定抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），再根据点平移的规律点（0，﹣4）平移后得到点的坐标为（2，﹣1），然后根据顶点式写出平移后抛物线的解析式．
【解答】解：抛物线y＝x2﹣4的顶点坐标为（0，﹣4），把点（0，﹣4）先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到点的坐标为（2，﹣1），所以平移后的抛物线解析式为y＝（x﹣2）2﹣1．
故答案为y＝（x﹣2）2﹣1．
15．（3分）设a，b是一个直角三角形两条直角边的长，且（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，则a2+b2的值为 4 ．
【分析】把（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0看作为关于a2+b2的一元二次方程，利用因式分解法可求得a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3，然后根据非负数的性质可确定a2+b2＝4．
【解答】解：∵（a2+b2）（a2+b2﹣1）＝12，
∴（a2+b2）2﹣（a2+b2）﹣12＝0，
∴（a2+b2﹣4）（a2+b2+3）＝0，
∴a2+b2﹣4＝0或a2+b2+3＝0，
∴a2+b2＝4或a2+b2＝﹣3（舍去）．
故答案为4．
三、解答题（本题共计8小题，共计75分）
16．（8分）解方程：
（1）3x（x﹣1）＝x﹣1．
（2）（y﹣1）2＝（3﹣2y）2．
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【解答】解：（1）3x（x﹣1）＝x﹣1，
3x（x﹣1）﹣（x﹣1）＝0，
（x﹣1）（3x﹣1）＝0，
∴x﹣1＝0或3x﹣1＝0，
∴x1＝1，x2＝；
（2）（y﹣1）2＝（3﹣2y）2，
（y﹣1）2﹣（3﹣2y）2＝0，
[（y﹣1）+（3﹣2y）][（（y﹣1）﹣（3﹣2y）]＝0，
∴﹣y+2＝0或3y﹣4＝0，
∴y1＝2，y2＝．
17．（9分）已知二次函数y＝﹣x2+2x+k+2与x轴有两个交点．
（1）求k的取值范围；
（2）当k＝1时，求抛物线与x轴的交点坐标及顶点坐标．
【分析】（1）由抛物线与x轴有两个交点可得b2﹣4ac＞0，进而求解．
（2）将k＝1代入函数解析式，然后将解析式配方求顶点坐标，将y＝0代入解析式求抛物线与x轴交点坐标．
【解答】解：（1）由题意知b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac＝22﹣4×（﹣1）（k+2）＝4k+12＞0，
∴k＞﹣3．
（2）把k＝1代入二次函数得y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4）．
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣1
∴抛物线与x轴交点坐标为（﹣1，0），（3，0）．
18．（9分）已知：关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个根是1，求另一个根．
【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，即可得出Δ＝（m+1）2≥0，进而可证出方程总有两个实数根；
（2）将x＝1代入原方程可求出m的值，进而可得出原方程，再利用两根之和等于﹣即可求出方程的另一个根．
【解答】（1）证明：∵a＝1，b＝﹣（m﹣1），c＝﹣m，
∴Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（m﹣1）]2﹣4×1×（﹣m）＝m2+2m+1＝（m+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）解：将x＝1代入原方程，得：12﹣（m﹣1）×1﹣m＝0，
解得：m＝1，
∴原方程为x2﹣1＝0，
∴方程的另一个根为0﹣1＝﹣1．
19．（9分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（4，3）．
（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）请画出△ABC绕原点O按逆时针方向旋转90°后的图形△A2B2C2，并求出点A2、B2、C2的坐标．
（3）求线段CC2的长．
【分析】（1）根据关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A2、B2、C2即可，然后写出A2、B2、C2的坐标；
（3）利用勾股定理计算．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；A1（﹣2，﹣4）、B1（﹣1，﹣1）、C1（﹣4，﹣3）；
（2）如图，△A2B2C2为所作；A2（﹣4，2）、B2（﹣1，1）、C3（﹣3，4）；
（3）CC2＝＝5．
20．（9分）如图，有一个长为24米的篱笆，一面有围墙（墙的最大长度为10米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S米2．
（1）求S与x的函数关系式及x的取值范围．
（2）如果要围成的花圃ABCD的面积是45平方米，则AB的长为多少米？
【分析】（1）已知AB＝x，BC＝24﹣3x，则y＝﹣3x2+24x．易求x的取值范围．
（2）当y＝45时，根据实际情况求出x的值即可．
【解答】解：（1）S＝（24﹣3x）x＝24x﹣3x2；
又∵x＞0，且10≥24﹣3x＞x，
∴≤x＜6；
（2）依题意有45＝24x﹣3x2，
x＝5或x＝3；
若x＝3，则AB＝3m，则BC＝15m＞10m，舍去．
答：AB的长为5米．
21．（9分）阅读下面的例题：
解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍去）．
（2）当x＜0时，原方程化为x2+x﹣2＝0，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣2
∴原方程的根是x1＝2，x2＝﹣2．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是 x1＝﹣3，x2＝2 ．
【分析】当绝对值内的数不小于0时，可直接去掉绝对值，而当绝对值内的数为负数时，去绝对值时，绝对值内的数要变为原来的相反数．本题要求参照例题解题，要先对x的值进行讨论，再去除绝对值将原式化简．
【解答】解：（1）当x≥3时，原方程化为x2﹣（x﹣3）﹣3＝0，
即x2﹣x＝0
解得x1＝0（不合题意，舍去），x2＝1（不合题意，舍去）；
（2）当x＜3时，原方程化为x2+x﹣3﹣3＝0
即x2+x﹣6＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝2．
所以原方程的根是x1＝﹣3，x2＝2．
22．（10分）为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加，某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y（千克）与销售价x（元/千克）有如下关系：y＝﹣2x+80．设这种产品每天的销售利润为w元．
（1）求w与x之间的函数关系式．并指出该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
（2）如果物价部门规定这种产品的销售价不高于每千克28元，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克多少元？
【分析】（1）根据“总利润＝单件利润×销售量”得出函数解析式并配方成顶点式，即可得函数最值；
（2）根据题意得出关于x的方程，解之可得x的值，根据“销售价不高于每千克28元”取舍即可．
【解答】解：（1）根据题意得，w＝（x﹣20）（﹣2x+80）＝﹣2x2+120x﹣1600＝﹣2（x﹣30）2+200，
∴当x＝30时，每天的利润最大，最大利润为200元；
（2）令﹣2（x﹣30）2+200＝150，
解得：x＝35或x＝25，
∵这种产品的销售价不高于每千克28元，
∴x＝25，
答：该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为每千克25元．
23．（12分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，图象经过B（﹣3，0）、C（0，3）两点，且与x轴交于点A．
（1）求二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使△ACM周长最短，求出点M的坐标；
（3）若点P为抛物线对称轴上的一个动点，直接写出使△BPC为直角三角形时点P的坐标．
【分析】（1）由抛物线的对称轴及点B的坐标可求出点A的坐标，由点A，B，C的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式；
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，此时△ACM周长最短，由点B，C的坐标，利用待定系数法可求出直线BC的函数表达式，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点M的坐标；
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），结合点B，C的坐标可得出PB2，PC2，BC2的值，分∠BCP＝90°，∠CBP＝90°，∠BPC＝90°三种情况考虑，①当∠BCP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；②当∠CBP＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元一次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标；③当∠BPC＝90°时，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程，解之可得出m的值，进而可得出点P的坐标．综上，此题得解．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，点B的坐标为（﹣3，0），
∴点A的坐标为（1，0）．
将A（1，0），B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝ax2+bx+c，得：，
解得：，
∴二次函数的表达式为y＝﹣x2﹣2x+3．
（2）连接BC，交直线x＝﹣1于点M，如图1所示．
∵点A，B关于直线x＝﹣1对称，
∴AM＝BM．
∵点B，C，M三点共线，
∴此时AM+CM取最小值，最小值为BC．
设直线BC的函数表达式为y＝kx+d（k≠0），
将B（﹣3，0），C（0，3）代入y＝kx+d，得：，
解得：，
∴直线BC的函数表达式为y＝x+3．
当x＝﹣1时，y＝x+3＝2，
∴当点M的坐标为（﹣1，2）时，△ACM周长最短．
（3）设点P的坐标为（﹣1，m），
∵点B的坐标为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3），
∴PB2＝[﹣3﹣（﹣1）]2+（0﹣m）2＝m2+4，PC2＝[0﹣（﹣1）]2+（3﹣m）2＝m2﹣6m+10，BC2＝[0﹣（﹣3）]2+（3﹣0）2＝18．
分三种情况考虑（如图2）：
①当∠BCP＝90°时，BC2+PC2＝PB2，
∴18+m2﹣6m+10＝m2+4，
解得：m＝4，
∴点P的坐标为（﹣1，4）；
②当∠CBP＝90°时，BC2+PB2＝PC2，
∴18+m2+4＝m2﹣6m+10，
解得：m＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
③当∠BPC＝90°时，PB2+PC2＝BC2，
∴m2+4+m2﹣6m+10＝18，
整理得：m2﹣3m﹣2＝0，
解得：m1＝，m2＝，
∴点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，）．
综上所述：使△BPC为直角三角形时点P的坐标为（﹣1，﹣2），（﹣1，），（﹣1，）或（﹣1，4）．
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