河南省安阳市汤阴县2021-2022学年九年级（上）期末数学试卷(解析版)

2021-2022学年河南省安阳市汤阴县九年级（上）期末数学试卷

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 如下图形中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2. 抛物线的顶点坐标是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 二次函数，若点， 是它图象上的两点，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 不能确定

4. 疫情期间，若有人染上“新冠”，不及时治疗，经过两轮传染后有人染上“新冠”，平均一个人传染个人．(    )

A.  B.  C.  D.

5. 如图，为外一点，、分别切于点、，切于点且分别交、于点，，若，则的周长为(    )

A.
B.
C.
D.

6. 如图，在平行四边形中，点在边上，：：，连接交于点，则的面积与的面积之比为(    )

A. ：
B. ：
C. ：
D. ：

7. 如图，点是反比例函数的图象上任意一点，轴交反比例函数的图象于点，以为边作平行四边形，其中，在轴上，则为(    )

A.  B.  C.  D.

8. 一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标上数字、、随机摸出一个小球不放回其数字记为，再随机摸出另一个小球其数字记为，则满足关于的方程有实数根的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

9. 如图，等腰直角三角形中，，，以点为圆心画弧与斜边相切于点，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是(    )

A.
B.
C.
D.

10. 如图，在中，顶点，，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，是的中线，点的坐标为，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点的坐标为(    )

A.
B.
C.
D.

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11. 已知点与点关于原点对称，则______．
12. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，则它的侧面展开图的面积为______．
13. 已知关于的一元二次方程有一实数根为，则该方程的另一个实数根为______．
14. 如图，直角绕直角顶点顺时针方向旋转到的位置，的中点旋转到，已知，，则线段长为______ ．

15. 如图，抛物线与轴交于、两点，是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，连结则线段的最大值是______．

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16. 本小题分
    解下列方程．
    配方法
     
17. 本小题分
    如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
    画出关于轴对称的图形，并直接写出点的坐标；
    以原点为位似中心，位似比为：，在轴的左侧，画出放大后的图形，并直接写出点坐标；
    如果点在线段上，请直接写出经过的变化后的对应点的坐标．

18. 本小题分

使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点，例如，对于函数，令，可得，我们就说是函数的零点，已知函数其中为常数．

当时，求该函数的零点；

若函数的一个零点为，求函数的另一个零点．

19. 本小题分
    如图，直角三角形中，以斜边为直径作，的角平分线交于点，过点作的切线交延长线于点，连接，．
    求证：；
    若，，求的长．

20. 本小题分
    请根据学习函数的经验，将下列探究函数图象与性质的过程补充完整：
    函数的自变量的取值范围是______ ；
    下表列出了与的几组对应值，请写出其中、的值； ______ ， ______ ；

在如图所示的平面直角坐标系中，描全表中以各对对应值为坐标的点，并画出该函数的图象．
结合函数的图象，写出该函数的一条性质：______ ；
根据图象直接写出时的取值范围：______ ．

21. 本小题分
    如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点．
    求点，点的坐标：
    点是直线上一点，设点的横坐标为填空：
    当时，的取值范围是______ ；
    点在线段上，过点作轴于点，连接若的面积最小时，则的值为______ ．

22. 本小题分
    某公司生产的某种商品每件成本为元，经过市场调研发现，这种商品在未来天内的日销售量件与时间天的关系如下表：

未来天内，前天每天的价格元件与时间天的函数关系式为且为整数，后天每天的价格元件与时间天的函数关系式为且为整数．
       下面我们就来研究销售这种商品的有关问题：
认真分析上表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的件与天之间的表达式；
请预测未来天中哪一天的日销售利润最大，最大日销售利润是多少？

23. 本小题分
    若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做“比例三角形”．
    如图，在四边形中，，对角线平分，求证：是“比例三角形”；
    如图，在的条件下，当时，求的值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形．故本选项错误．
故选B．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
如果一个图形绕某一点旋转后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：
轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；
中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
 

2.【答案】 

【解析】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：．
根据函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．
本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：
当时，；
当时，；
，
，
故选：．
分别计算自变量为、时的函数值，然后比较函数值的大小即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．
 

4.【答案】 

【解析】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，根据题意，得
，
或舍去．
答：每轮传染中平均一个人传染了个人．
故选：．
据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为人，设平均每人感染人，则列式为即可解答．
本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．
 

5.【答案】 

【解析】解：、分别切于点、，
，
切于点且分别交、于点，，
，，
的周长，
故选：．
根据切线长定理得到、，，根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是切线长定理的应用，切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．
 

6.【答案】 

【解析】解：设，，则，
四边形是平行四边形，
，，
∽，
，
故选B．
设，，则，由四边形是平行四边形，推出，，推出∽，推出由此即可解决问题．
本题考查相似三角形的性质和判定、平行四边形的性质等知识，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
 

7.【答案】 

【解析】解：连接、，交轴于，如图，
轴，
轴，
，，
，
四边形为平行四边形，
．
故选：．
连接、，交轴于，由于轴，根据反比例函数系数的几何意义得到与，则四边形为平行四边形，然后根据平行四边形的性质得到．
本题考查反比例函数系数的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于．
 

8.【答案】 

【解析】

【分析】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率与一元二次方程判别式的知识．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意此题是放回实验还是不放回实验；注意概率所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与满足关于的方程有实数根的情况，继而利用概率公式即可求得答案．
【解答】
解：画树状图得：

有实数根，
，
共有种等可能的结果，满足关于的方程有实数根的有，，共种情况，
满足关于的方程有实数根的概率是：．
故选A．  

9.【答案】 

【解析】解：连接，如图，
是圆的切线，
，
是等腰直角三角形，
，
，
图中阴影部分的面积
．
故选：．
连接，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出的值，再分别计算出扇形的面积和等腰三角形的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影部分的面积．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质．
 

10.【答案】 

【解析】解：，，
，，
，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
第次点的坐标为，
次应该循环，
，
第次旋转结束时，点的坐标为，
故选：．
探究规律，利用规律解决问题即可．
本题考查坐标与图形变化旋转，解直角三角形，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
 

11.【答案】 

【解析】解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
则．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出，的值进而得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号是解题关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：圆锥的侧面积．
故答案为：．
圆锥的侧面积底面周长母线长，把相应数值代入即可求解．
本题考查了圆锥的计算，解题的关键是弄清圆锥的侧面积的计算方法，特别是圆锥的底面周长等于圆锥的侧面扇形的弧长．
 

13.【答案】 

【解析】解：把代入原方程得，
，即：，
解得，，不合题意舍去，
当时，原方程变为：，即，
解得，，
故答案为：．
把代入原方程求出的值，进而确定关于的一元二次方程，解出方程的根即可．
本题考查一元二次方程根的意义和解法，求解一元二次方程是得出正确答案的关键．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，连接、．

在中，，，
，
，都是直角三角形，，，
，，
旋转角相等，
是等腰直角三角形，
，
故答案为．
如图，连接、首先证明是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线定理可知，，即可解决问题．
本题考查旋转的性质、直角三角形斜边中线定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，注意旋转角相等的应用，属于中考常考题型．
 

15.【答案】 

【解析】解：令，则，
故点，
设圆的半径为，则，
当、、三点共线，且点在之间时，最大，
而点、分别为、的中点，故是的中位线，
则，
故答案为．
当、、三点共线，且点在之间时，最大，而是的中位线，即可求解．
本题考查的是抛物线与轴的交点，本题的关键是根据圆的基本性质，确定的最大值，进而求解．
 

16.【答案】解：，
，
，即，
，
或，
，；
，
，
，
或，
，． 

【解析】先把常数项移到等号的另一边，配方后利用直接开平方法求解；
移项，提取公因式分解因式，即可得到两个一元一次方程，解得即可．
本题考查了一元二次方程，掌握解一元二次方程的配方法、因式分解法的一般步骤是解决本题的关键．
 

17.【答案】解：如图所示


如图所示；

点的坐标为，
点的坐标为． 

【解析】分别作出点、、关于轴的对称点，再顺次连接即可得；
根据以原点为位似中心的坐标变换规律，把、、的横纵坐标都乘以即可得到、、的坐标，然后描点即可得到；
根据中规律即可得出答案．
此题主要考查了轴对称变换以及位似变换以及位似图形的性质，利用位似图形的性质得出对应点变化规律是解题关键．
 

18.【答案】解：当时，函数为，
当时，，
解得：，
所以该函数的零点为；
函数的一个零点为，
时，
则，
解得：，
所以函数解析式为，
当时，，
解得：，，
所以函数的另一个零点为． 

【解析】本题主要考查抛物线与轴的交点，主要利用了抛物线与轴的交点的求解方法，读懂题目信息，理解函数零点的定义是解题的关键．
将代入函数解析式得，再求出时的值即可得；
由一个零点为知时，代入求出的值，继而还原函数解析式，求出时的值可得答案．
 

19.【答案】证明：为的直径，
，
平分，
，
，
，
，
；
解：是的切线，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，，
，
． 

【解析】由圆周角定理得出，由等腰三角形的性质及直角三角形的性质得出结论；
证明∽，由相似三角形的性质得出，则可求出答案．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
 

20.【答案】     当时，随的增大而减小答案不唯一  或 

【解析】解：，
，
故答案为；
当时，；
当时，则，解得，
，；
如图所示：

由图象可得，当时，随的增大而减小答案不唯一，
故答案为当时，随的增大而减小答案不唯一；
由图象可知，时的取值范围为或．
故答案为：或．
依据函数表达式中分母不等于，即可得到自变量的取值范围；
把，分别代入函数解析式，即可得到、的值；
依据各点的坐标描点连线，即可得到函数图象；
依据函数图象，即可得到函数的增减性；
观察图象即可求得．
本题主要考查了反比例函数的图象与性质，用描点法画反比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
 

21.【答案】或  或 

【解析】解：将代入得：，
整理得：，
解得：，，
经检验，，是原方程的解，且符合题意．
当时，，
点的坐标为；
当时，，
点的坐标为．
观察两函数图象的上下位置关系，可知：当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象的下方，
当时，的取值范围是或．
故答案为：或．
点在线段上，
，点的坐标为．
轴于点，
，，
．
，
当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
当时，；
当时，．
，
若的面积最小时，则的值为或．
故答案为：或．
将代入中可得出关于的方程，解之即可得出的值，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点，的坐标；
观察函数图象，根据两函数图象的上下位置关系，可得出当时，的取值范围是或；
由点的横坐标可得出点的坐标，利用三角形的面积公式可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了反比例函数的综合题、一次函数图象上点的坐标特征、反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的性质，解题的关键是：将一次函数解析式代入反比例函数解析式中，通过解方程求出两点的横坐标；利用数型结合，解决问题；利用三角形的面积计算公式，找出关于的函数关系式．
 

22.【答案】解：经分析知：与成一次函数关系．设，
将，，，
代入，
解得，
；

前天日销售利润为元，后天日销售利润为元，
则，
当时，有最大值，为元．
，
当时，随的增大而减小，
时，有最大值，为元．
，
第天日销售利润最大，最大利润为元． 

【解析】从表格可看出每天比前一天少销售件，所以判断为一次函数关系式；
日利润日销售量每件利润，据此分别表示前天和后天的日利润，根据函数性质求最大值后比较得结论．
本题考查了二次函数的应用，解题的关键是：熟练掌握各函数的性质和图象特征，针对所给条件作出初步判断后需验证其正确性；最值问题需由函数的性质求解时，正确表达关系式是关键．同时注意自变量的取值范围．
 

23.【答案】证明：，
，．
又，
∽，
，即．
又平分，
，
，
，
，
根据“比例三角形”的定义可知是“比例三角形”．
过点作于点，由得，

．
，
，
又，
，
．
又，
∽，
，即，
．
又由可知，
，
． 

【解析】先判断出，得出∽即可；由∽得出，再由知，即可得出结论；
过点作于点，证∽，得，即，再由推出，据此可得答案．
本题是四边形综合题目，考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、比例三角形的定义以及分类讨论等知识，本题综合性强，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．